Quadrilátero

A soma dos seus ângulos internos é igual a ${\displaystyle 360^{\circ },}$ bem como a soma dos seus ângulos externos.

Sejam ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$  e ${\displaystyle D}$  quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ , ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ , ${\displaystyle {\overline {CD}}}$  e ${\displaystyle {\overline {DA}}}$  interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero.

Logo, podemos definir da seguinte forma:

Quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$  é definido como a união ${\displaystyle {\overline {AB}}\cup {\overline {BC}}\cup {\overline {CD}}\cup {\overline {DA}}}$ 

 

.

 

Identificamos os seguintes elementos em um quadrilátero ${\displaystyle ABCD:}$ 

• vértices: os pontos ${\displaystyle A,}$  ${\displaystyle B,}$  ${\displaystyle C}$  e ${\displaystyle D;}$ 
• lados: os segmentos de reta ${\displaystyle {\overline {AB}},}$  ${\displaystyle {\overline {BC}},}$  ${\displaystyle {\overline {CD}}}$  e ${\displaystyle {\overline {DA}};}$ 
• diagonais: A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono, portanto os segmentos ${\displaystyle {\overline {AC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$  são chamados de diagonais do quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$ .
• ângulos internos: os ângulos ${\displaystyle D{\hat {A}}B({\hat {a}}),}$  ${\displaystyle A{\hat {B}}C({\hat {b}}),}$  ${\displaystyle B{\hat {C}}D({\hat {c}}),}$  ${\displaystyle C{\hat {D}}A({\hat {d}});}$ 
• Os ângulos ${\displaystyle {\hat {e}},}$  ${\displaystyle {\hat {f}},}$  ${\displaystyle {\hat {g}}}$  e ${\displaystyle {\hat {h}}}$  são os ângulos externos do quadrilátero.

Cada ângulo interno de um quadrilátero tem por suplemento o seu respectivo ângulo externo.

• ${\displaystyle {\hat {e}}}$  é o suplemento do ângulo ${\displaystyle {\hat {a}}}$ 
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$  é o suplemento do ângulo ${\displaystyle {\hat {b}}}$ 
• ${\displaystyle {\hat {g}}}$  é o suplemento do ângulo ${\displaystyle {\hat {c}}}$ 
• ${\displaystyle {\hat {h}}}$  é o suplemento do ângulo ${\displaystyle {\hat {d}}}$ 

Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.

 

Trapézio

 Ver artigo principal: Trapézio (geometria)

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.

 

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é trapézio }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{ou}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)}$ 

Paralelogramo

 Ver artigo principal: Paralelogramo

Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é paralelogramo }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)}$ 

Retângulo

 Ver artigo principal: Retângulo

Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulo congruentes.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é retângulo }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\equiv {\hat {D}}}}$ 

 

Losango

 Ver artigo principal: Losango

Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é losango }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}}$ 

Quadrado

 Ver artigo principal: Quadrado

Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.os quatro lados possuem a mesma medida

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é quadrado }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\equiv {\hat {D}}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}}$ 

Em um quadrilátero, tanto a soma das medidas dos ângulos internos quanto a soma dos ângulos externos são iguais a ${\displaystyle 360^{\circ }}$ .

Assim, seja ${\displaystyle ABCD}$  um quadrilátero qualquer, cujos ângulos internos medem ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$  e ${\displaystyle d}$  e seus ângulos externos, respectivamente ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle g}$  e ${\displaystyle h}$ , temos:

 

 

${\displaystyle a+b+c+d=360^{\circ }}$  e ${\displaystyle e+f+g+h=360^{\circ }}$ 

 

Demonstração

Para demonstrar essa propriedade vamos traçar a diagonal ${\displaystyle {\overline {AC}}}$  (sem perda de generalidade), de modo a decompor o quadrilátero em dois triângulos, ${\displaystyle \triangle {ABC}}$  e ${\displaystyle \triangle {ACD}}$ .

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é ${\displaystyle 180^{\circ }}$ , temos:

${\displaystyle \triangle {ABC}}$ : ${\displaystyle a'+b+c'=180^{\circ }}$ 

${\displaystyle \triangle {ACD}}$ : ${\displaystyle a''+c''+d=180^{\circ }}$ 

Assim, se somarmos as duas equações acima, obtemos:

${\displaystyle a'+a''+b+d+c'+c''=360^{\circ }\qquad \Longleftrightarrow \qquad {a+b+c+d=360^{\circ }}}$ 

Sabemos que cada ângulo interno é suplementar ao seu interno adjacente. Assim temos:

${\displaystyle a=180^{\circ }-e}$ 

${\displaystyle b=180^{\circ }-f}$ 

${\displaystyle c=180^{\circ }-g}$ 

${\displaystyle d=180^{\circ }-h}$ 

Ou seja:

${\displaystyle 180^{\circ }-e+180^{\circ }-f+180^{\circ }-g+180^{\circ }-h=360^{\circ }\qquad \Longleftrightarrow \qquad {e+f+g+h=360^{\circ }-360^{\circ }+360^{\circ }}}$ 

Logo

${\displaystyle e+f+g+h=360^{\circ }}$ .

Os quadriláteros são classificados em quadriláteros convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a região plana limitada por seus lados é convexa, caso contrário ele é côncavo.

Uma outra forma de definir quadriláteros convexos e côncavos é a seguinte:

• Um polígono é convexo se a reta que contém qualquer de seus lados deixa todos os demais lados no mesmo semiplano. De forma contrária, um polígono é côncavo se existe uma reta que contém um de seus lados e deixa parte dos demais lados num semiplano e parte no outro semiplano. (figura 11)

 

Dentre os quadriláteros convexos existem dois grupos que se destacam: os trapézios e os paralelogramos.

Área do trapézio

${\displaystyle A={\dfrac {(B+b).h}{2}}}$ 

onde, B é a base maior do trapézio; b é a base menor do trapézio; h é a altura do trapézio.

Área dos paralelogramos

${\displaystyle A=b.h}$ 

onde, b é a base do paralelogramo; h é a altura do paralelogramo. Como todo retângulo, losango e quadrado é um paralelogramo, o calculo de sua área é feito da mesma forma.

 

Considere D e d a diagonal maior e a diagonal menor do losango, respectivamente. Note que a área do losango é a metade da área de um retângulo cujos lados são as respectivas diagonais do losango.

Um quadrilátero convexo é circunscritível a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes a circunferência.

Propriedade

 

Um quadrilátero só é circunscritível a uma circunferência se a soma de quaisquer dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados opostos.

Isso pode ser enunciado através do seguinte teorema:

"Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois."

Por se tratar de uma equivalência, precisamos demonstrar esse teorema em duas partes.

Primeira parte

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Assim, queremos mostrar que:

${\displaystyle ABCD\quad {\text{circunscrito a }}\quad \lambda \qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}}}$ 

Sejam ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle Y}$ , ${\displaystyle Z}$  e ${\displaystyle T}$  os pontos de tangência de ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ , ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ , ${\displaystyle {\overline {CD}}}$  e ${\displaystyle {\overline {DA}}}$ , respectivamente, e, aplicando as propriedades dos segmentos tangentes, temos:

${\displaystyle {\overline {AX}}\equiv {\overline {AT}}}$ , ${\displaystyle {\overline {BX}}\equiv {\overline {BY}}}$ , ${\displaystyle {\overline {CZ}}\equiv {\overline {CY}}}$  e ${\displaystyle {\overline {DZ}}\equiv {\overline {DT}}}$ .

Se somarmos as quatro equações, teremos:

${\displaystyle {\color {blue}{\overline {AX}}}+{\color {blue}{\overline {BX}}}+{\color {red}{\overline {CZ}}}+{\color {red}{\overline {DZ}}}={\color {green}{\overline {AT}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {BY}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {CY}}}+{\color {green}{\overline {DT}}}}$ 

Isso é equivalente a dizer:

${\displaystyle {\color {blue}{\overline {AB}}}+{\color {red}{\overline {CD}}}={\color {green}{\overline {AD}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {BC}}}}$ .

Segunda parte

Se num quadrilátero convexo a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois, então o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.

 

Assim, queremos mostrar que:

${\displaystyle {{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {ABCD}\quad {\text{é circunscritível a uma circunferência}}}$ 

Para demonstrar essa propriedade começaremos por enunciar que ${\displaystyle ABCD}$  não é circunscritível e, então, encontraremos uma contradição.

Assim, tomaremos uma circunferência ${\displaystyle \lambda }$  tangente aos lados ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ , ${\displaystyle {\overline {BC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {CD}}}$  do quadrilátero.

 

Como enunciamos que ${\displaystyle ABCD}$  não é circunscritível a ${\displaystyle \lambda }$ , existe um quadrilátero ${\displaystyle ABCX}$ , com ${\displaystyle X}$  na reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}}$  que é circunscrito a ${\displaystyle \lambda }$ .

Visto que ${\displaystyle ABCX}$  é circunscrito a ${\displaystyle \lambda }$ , temos, conforme foi demonstrado acima:

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {BC}}+{\overline {AX}}}$ .

Por hipótese, temos: ${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}}$ .

Note que ${\displaystyle X}$  está sob a reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}}$ , ou seja, precisamos admitir, sem perda de rigor, que ${\displaystyle X}$  pode estar ou sob o segmento ${\displaystyle {\overline {CD}}}$  ou fora dele.

Para cada um dos casos temos:

1. ${\displaystyle X\in {\overline {CD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {CX}}+{\overline {XD}}={\overline {CD}}}}$ 
2. ${\displaystyle X\notin {\overline {CD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {CX}}-{\overline {XD}}={\overline {CD}}}$ 

No primeiro caso, temos:

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AB}}+{\overline {CX}}+{\overline {XD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}-{\overline {XD}}}}$ 

Como, anteriormente vimos que ${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {BC}}+{\overline {AX}}}$ , obtemos:

${\displaystyle {\overline {BC}}+{\overline {AX}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}-{\overline {XD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AX}}={\overline {AD}}+{\overline {XD}}}}$ 

Porém, observe que essa última relação é um absurdo, pois contradiz a existência de ${\displaystyle \triangle {ADX}}$ , fazendo com que ${\displaystyle X=D}$ .

Logo, para esse primeiro caso temos que ${\displaystyle ABCD}$  é circunscritível a uma circunferência.

O segundo caso prova-se de modo análogo, fazendo relações algébricas similares de modo a obter que ${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {AD}}-{\overline {XD}}}$ , o que também obriga ser verdadeiro ${\displaystyle X=D}$ .

Portanto, podemos afirmar que, se num quadrilátero convexo a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois, então o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.

Os Elementos de Euclides

Os Elementos de Euclides foi um dos mais antigos tratados gregos existentes; a mais renomada obra na história da matemática. Segundo Proclus tal obra está relacionada com o resto da matemática, assim como as letras do alfabeto estão relacionadas com a linguagem^{[carece de fontes?]}. Euclides em sua obra, “Os Elementos”, livro I, Definições, admite as seguintes definições para as figuras quadriláteros:

• Rombóide é a que tem tanto os lados opostos quanto os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular (p. 98). Ser retangular para Euclides é ter cada um dos ângulos opostos reto
• Das áreas paralelogrâmicas ACDB­­­, tanto os lados quanto os ângulos opostos são iguais entre si (p. 124). “... digo que tanto os lados quanto os ângulos opostos do paralelogramo ACDB são iguais entre si...”

•  

  paralelogramo retangular ou retângulo é dito ser contido pelas duas retas que contêm o ângulo reto
• paralelogramo equilátero é tido por Euclides como uma figura quadrilátera que tem os quatro lados com a mesma medida
• oblongo é retangular e não é equilátera
• losango é equilátera e não é retangular
• quadrado é aquela que é tanto equilátera quanto retangular
• trapézios são as figuras quadriláteras além dessas

Em resumo Euclides define os quadriláteros da seguinte forma:

 

No século XVIII, momento da Revolução Francesa (1789) e período do apogeu das ideias iluministas podemos destacar Legendre como um matemático, que como resposta a sua inquietação com relação à necessidade de maior rigor matemático, revive em sua obra intitulada por “Elements de geométrie”, a qualidade intelectual de Euclides, Legendre nesta obra, especificamente no capítulo, Princípios, livro I, afirma que os polígonos de quatro lados são chamados de quadriláteros e entre os quadriláteros, os que mais se distingue são:

• o paralelogramo ou rombo, que tem os lados paralelos (p.25).
• o retângulo, que tem os ângulos retos e não tem os lados iguais (p. 25).
• o losango, que tem os lados iguais, mas os ângulos não (necessariamente) retos (p. 25).
• o quadrado, que tem os lados iguais e os ângulos retos (p. 25).
• o trapézio, que só têm dois lados paralelos (p. 25).

Em resumo Legendre define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 3)

 

Em seu livro: Geometria Elementar, primeira edição em 1971. Edwin M. Hemmerling, define os quadriláteros da seguinte maneira:

• Quadriláteros: um polígono é um quadrilátero quando tem quatro lados (p. 205).
• Trapézio: um quadrilátero é um trapézio se, e somente se ele tiver um, e apenas um par de lados paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio. Os lados não paralelos são simplesmente lados (p. 207).
• Trapézio isósceles: é aquele em que os lados não adjacentes são congruentes. Um par de ângulos que compartilham uma mesma base são chamados ângulos da base (p. 207).
• Paralelogramo: um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, os pares de lados opostos são paralelos. Qualquer lado pode ser considerado base (p. 208).
• Losango: é um paralelogramo equilátero (p. 208).
• Retângulo: é um paralelogramo que tem um ângulo reto. Um retângulo é quadrado se, e somente se, tem os quatro lados congruentes. Portanto é um retângulo equilátero (p. 208).

Em resumo Hemmerling define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 4)

 

Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa

O livro “Geometria Euclidiana Plana” de João Lucas Marques Barbosa é um dos mais vendidos da Sociedade Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985. É tido como o livro que aborda a geometria axiomática de forma mais acessível para um educando iniciante nos estudos da Geometria Plana Euclidiana. Atualmente é o livro adotado pela Universidade Federal de Pernambuco para a formação de professores de Matemática na cadeira de Geometria Plana. Dessa forma, foi escolhido para a análise das definições dos quadriláteros. As definições seguintes foram adotadas por João Lucas neste livro:

• Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos (p. 91).
• Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos, retos (p. 98).
• Um losango (também denominado rombo) é um paralelogramo que tem todos os seus lados congruentes (p. 98).
• Um quadrado é um retângulo que também é um losango (p. 98).
• Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados de laterais (p. 98).

Em resumo João Lucas M.B. classifica os quadriláteros conforme exposto figura 5.

 

Note que todos estes matemáticos consideram o conjunto dos quadriláteros como uma bipartição por disjunção, ou seja, não existem paralelogramos que são trapézios e vice – versa. Isto não anula a existência de estudos e literaturas que discutam a possibilidade de o conjunto dos paralelogramos ser um subconjunto do conjunto dos trapézios. É o caso dos estudos dos matemáticos: Guy Laville; Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder em seu Atlas des Mathématiques; Vicenzo Bongiovanni na Revista do Professor de Matemática, Nª 72 e José Adelino Serrasqueiro no seu Tratado de Geometria Elementar.

 

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