Circunferência: Comprimento de uma curva ou objeto circular fechado

A circunferência é a linha que contem o círculo, sendo portanto o comprimento do arco do círculo. A circunferência de uma esfera é a circunferência, ou comprimento, de qualquer um de seus círculos máximos.

 

Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.

Assim, dados um plano ${\displaystyle \alpha }$ , um ponto ${\displaystyle O}$  e uma distância ${\displaystyle r}$ , temos:

${\displaystyle \lambda \left(O,r\right)=\left\{P\in \alpha /\quad {d_{P,O}=r}\right\}}$ ,

onde ${\displaystyle \lambda \left(O,r\right)}$  representa a circunferência de centro ${\displaystyle O}$  e raio ${\displaystyle r}$ .

A circunferência de um círculo pode ser definida como o limite dos perímetros de polígonos regulares inscritos à medida que o número de lados aumenta infinitamente. O termo circunferência também é usado ao medir objetos físicos, bem como ao considerar formas geométricas abstratas.

 

 

Dado um ponto ${\displaystyle X}$  e uma circunferência ${\displaystyle \lambda \left(O,r\right)}$ , temos

• ${\displaystyle X\quad {\text{é interno a }}\lambda \qquad \Longleftrightarrow \quad {d_{X,O}$ , ou seja, um ponto qualquer é interno a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é menor do que o raio da circunferência.
• ${\displaystyle X\quad {\text{pertence a }}\lambda \qquad \Longleftrightarrow \quad {d_{X,O}=r}}$ , ou seja, um ponto qualquer pertence (ou está sobre) a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência.
• ${\displaystyle X\quad {\text{é externo a }}\lambda \qquad \Longleftrightarrow \quad {d_{X,O}>r}}$ , ou seja, um ponto qualquer é externo a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é maior do que o raio da circunferência.

Assim, com base nessas definições, podemos definir interior e exterior de uma circunferência.

O interior de uma circunferência é o conjunto dos pontos internos a ela e o exterior de uma circunferência é o conjunto de pontos externos a ela.

Quando unimos o interior de uma circunferência à própria circunferência temos um círculo ou um disco. Logo, um círculo é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado nesse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) dada.

 Ver artigo principal: Corda (geometria)

Corda, diâmetro e raio são segmentos que estão associados a uma circunferência.

Corda

Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.

Diâmetro

Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro da circunferência, a maior corda da mesma, também sendo o dobro do raio.

Raio

Raio de uma circunferência é um segmento com uma extremidade no centro e outra num ponto da circunferência.

 

 

 

 

 Ver artigo principal: Arco (matemática)

Arco de circunferência é uma parte do comprimento da circunferência delimitado por dois pontos quaisquer (que são os extremos do arco).

De maneira mais formal, consideremos uma circunferência ${\displaystyle \lambda }$  de centro ${\displaystyle O}$  e, sejam ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  dois pontos de ${\displaystyle \lambda }$  que não sejam extremidades de um diâmetro, temos:

1. Arco menor ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$  é a reunião dos conjuntos dos pontos ${\displaystyle \{A\}}$ , ${\displaystyle \{B\}}$  e de todos os pontos de ${\displaystyle \lambda }$  que estão no interior do ângulo ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$ .
2. Arco maior ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$  é a reunião dos conjuntos dos pontos ${\displaystyle \{A\}}$ , ${\displaystyle \{B\}}$  e de todos os pontos de ${\displaystyle \lambda }$  que estão no exterior do ângulo ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$ .

Arcos congruentes

Dois arcos ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$  e ${\displaystyle {\widehat {CD}}}$  de uma circunferência de centro ${\displaystyle O}$  são congruentes se, e somente se, os ângulos ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$  e ${\displaystyle C{\hat {O}}D}$  são congruentes.

Ou seja:

${\displaystyle {\widehat {AB}}\equiv {\widehat {CD}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {A{\hat {O}}B\equiv {C{\hat {O}}D}}}$ 

Adição de arcos

Numa circunferência de centro ${\displaystyle O}$ , o arco ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$  é a soma dos arcos ${\displaystyle {\widehat {AC}}}$  e ${\displaystyle {\widehat {CB}}}$  se, e somente se, o ângulo ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$  é soma dos ângulos ${\displaystyle A{\hat {O}}C}$  e ${\displaystyle C{\hat {O}}B}$ .

Ou seja:

${\displaystyle {\widehat {AB}}={\widehat {AC}}+{\widehat {CB}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {A{\hat {O}}B=A{\hat {O}}C+C{\hat {O}}B}}$ 

Desigualdade de arcos

Numa circunferência de centro ${\displaystyle O}$ , o arco ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$  é maior que o arco ${\displaystyle {\widehat {CD}}}$  se, e somente se, o ângulo ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$  é maior que o ângulo ${\displaystyle C{\hat {O}}D}$ .

Ou seja:

${\displaystyle {\widehat {AB}}>{\widehat {CD}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {A{\hat {O}}B>C{\hat {O}}D}}$ 

 

Para essas definição vamos considerar um círculo ${\displaystyle c}$  de centro ${\displaystyle O}$  e sejam ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  dois pontos na circunferência de ${\displaystyle c}$  que não sejam extremidades de um diâmetro.

Setor circular

 Ver artigo principal: Setor circular

• Setor circular menor ${\displaystyle AOB}$  é a reunião dos conjuntos dos pontos dos raios ${\displaystyle {\overline {OA}}}$  e ${\displaystyle {\overline {OB}}}$  e de todos os pontos do círculo ${\displaystyle c}$  que estão no interior do ângulo ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$ .
• Setor circular maior ${\displaystyle AOB}$  é a reunião dos conjuntos dos pontos dos raios ${\displaystyle {\overline {OA}}}$  e ${\displaystyle {\overline {OB}}}$  e de todos os pontos do círculo ${\displaystyle c}$  que estão no exterior do ângulo ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$ .

Segmento circular

 Ver artigo principal: Segmento circular

Segmento circular menor ${\displaystyle AB}$  é a intersecção do círculo ${\displaystyle c}$  com o semiplano de origem na reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$  e que não contém o centro de ${\displaystyle c}$ .

Segmento circular maior ${\displaystyle AB}$  é a intersecção do círculo ${\displaystyle c}$  com o semiplano de origem na reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$  e que contém o centro de ${\displaystyle c}$ .

Dados uma reta ${\displaystyle r}$  e uma circunferência ${\displaystyle \lambda }$  em um plano qualquer, podemos ter apenas uma das duas condições abaixo:

• ${\displaystyle r}$  é secante a ${\displaystyle \lambda }$ ;
• ${\displaystyle r}$  é tangente a ${\displaystyle \lambda }$ .
• ${\displaystyle r}$  é exterior a ${\displaystyle \lambda }$ 

Secante

 

Uma reta é secante a uma circunferência quando elas se interceptam em dois pontos distintos.

Assim dizemos que a reta e a circunferência são secantes.

${\displaystyle r\cap \lambda =\{A,B\}}$ 

Toda reta secante a uma circunferência define uma corda na mesma circunferência.

Propriedades da secante

Como toda reta secante define uma corda em uma circunferência, nessas propriedades, trataremos que as cordas e as retas secantes possuem as mesmas propriedades.

• Toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio.
• Todo raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular a mesma corda.

Assim, essa propriedade pode ser interpretada como sendo a "ida" e a volta do mesmo "teorema", que afirma, sem perda de generalidade que:

"Uma reta é secante a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto médio da corda definida pela intersecção da reta com a circunferência."

Demonstração

 

Primeira parte

Primeiramente vamos demonstrar que toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio.

Ou seja, vamos demonstrar o seguinte teorema:

${\displaystyle A,B\in \lambda (O,r),\quad {M}{\text{ é ponto médio de }}{\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {OM}}\perp {\overline {AB}}}}$ 

Para fazer essa demonstração vamos observar os triângulos ${\displaystyle \triangle {AMO}}$  e ${\displaystyle \triangle {BMO}}$ .

Pode-se observar que esses triângulos são congruentes, da seguinte forma:

${\displaystyle {\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}},\quad {\overline {OM}}\equiv {\overline {OM}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}\quad \left(LLL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMO}\equiv \triangle {BMO}}$ .

Assim, temos que ${\displaystyle A{\hat {M}}O\equiv {B{\hat {M}}O}}$ .

Temos também que esses dois ângulos são suplementares, visto que um é o ângulo externo adjacente ao outro.

Assim temos:

${\displaystyle med\left(A{\hat {M}}O\right)+med\left(B{\hat {M}}O\right)=180^{\circ }\qquad \Longrightarrow \qquad {2.med\left(A{\hat {M}}O\right)}=180^{\circ }\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(A{\hat {M}}O\right)}=90^{\circ }}$ 

 

Logo, ${\displaystyle {\overline {OM}}\equiv {\overline {AB}}}$ .

Tento isso demonstrado, podemos afirmar, sem perda de generalidade que toda reta secante é perpendicular ao raio no ponto médio da corda que define na circunferência.

Segunda parte

Agora vamos demonstrar que todo raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular a mesma corda.

Ou seja, vamos demonstrar o seguinte teorema:

${\displaystyle A,B\in \lambda (O,r),\quad {\overline {OM}}\perp {\overline {AB}},\quad {M}\in {\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}}}$ 

Para fazer essa demonstração vamos observar os triângulos ${\displaystyle \triangle {AMO}}$  e ${\displaystyle \triangle {BMO}}$ .

Visto que esses dois triângulos são triângulos retângulos, podemos facilmente verificar sua congruência, da seguinte forma:

${\displaystyle {\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {OM}}\equiv {\overline {OM}}\quad \left(CH\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMO}\equiv \triangle {BMO}}$ 

Dessa congruência temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}}$ , que significa que ${\displaystyle M}$  é ponto médio de ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ .

Com essas duas demonstrações podemos afirmar, sem perda de generalidade que:

"Uma reta é secante a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto médio da corda que define."

Tangente

Uma reta e uma circunferência são tangentes quando se interceptam em apenas um ponto. A esse ponto comum damos o nome de ponto de tangência.

${\displaystyle r\cap \lambda =\{T\}}$ 

 

Propriedades da tangente

Quanto a retas tangentes à circunferências temos duas propriedades, que na verdade são a "ida" e a "volta" do mesmo teorema:

• Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à circunferência.
• Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Então, essas duas propriedades podem ser enunciadas sob forma de um único teorema:

"Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio no ponto de tangência."

Demonstração

Primeira parte

 

Primeiramente vamos demonstrar a primeira parte do teorema, que pode se enunciada da seguinte forma, onde ${\displaystyle \lambda }$  é uma circunferência de centro ${\displaystyle O}$  e ${\displaystyle s}$  uma reta.

${\displaystyle A\in \lambda ,\quad {s}\perp {\overline {OA}}\quad {\text{e}}\quad {s}\cap {\overline {OA}}=\{A\}\qquad \Longrightarrow \qquad {s}\cap \lambda =\{A\}}$ 

Para demonstrar essa proposição utilizaremos demonstração por absurdo.

Assim, partiremos admitindo que há pelo menos dois pontos na intersecção entre a reta e a circunferência e buscaremos alguma contradição a partir disso. Ou seja: ${\displaystyle s\cap \lambda =\{A,B\}}$ .

 

A partir disso, temos:

${\displaystyle A,B\in \lambda \qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {OAB}\quad {\text{é isósceles}}\qquad \Longrightarrow \qquad {O{\hat {A}}B\equiv {O{\hat {B}}A}}\qquad \left(I\right)}$ 

Pela hipótese temos:

${\displaystyle s\perp {\overline {OA}}\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(O{\hat {A}}B\right)}=90^{\circ }\left(II\right)}$ 

De ${\displaystyle \left(I\right)}$  e ${\displaystyle \left(II\right)}$  encontramos nossa contradição, pois temos um triângulo que possui dois ângulos retos na base.

Logo ${\displaystyle s\cap \lambda =\{A\}}$ , o que significa que a reta e a circunferência são tangentes.

Segunda parte

 

Agora queremos demonstrar que se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência, ou seja, queremos demonstrar:

${\displaystyle s\cap \lambda =\{A\}\qquad \Longrightarrow \qquad {s\perp {\overline {OA}}}}$ 

Para demonstrar essa afirmação iniciaremos supondo que ${\displaystyle s}$  não seja perpendicular a ${\displaystyle {\overline {OA}}}$  e assim entraremos em contradição com a nossa hipótese.

Assim, se ${\displaystyle s}$  não for perpendicular a ${\displaystyle {\overline {OA}}}$  podemos tomar um ponto ${\displaystyle M\in {s}}$  de modo que ${\displaystyle {\overline {OM}}\perp {s}}$  de modo que ${\displaystyle M}$  e ${\displaystyle A}$  sejam distintos.

Agora tomaremos na semirreta oposta a ${\displaystyle {\overrightarrow {MA}}}$  um ponto ${\displaystyle B}$  tal que ${\displaystyle {\overline {MB}}\equiv {\overline {MA}}}$ .

 

A partir disso podemos verificar a congruência de triângulos que segue:

${\displaystyle {\overline {OM}}\equiv {\overline {OM}},\quad {\overline {OM}}\perp {\overline {MA}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {MB}}\equiv {\overline {MA}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {OMB}\equiv \triangle {OMA}}$ .

Visto que os dois triângulos são congruentes, temos que seus respectivos lados também são.

Assim, temos que ${\displaystyle {\overline {OB}}\equiv {\overline {OA}}}$ .

Como ${\displaystyle {\overline {OA}}}$  é raio da circunferência, temos que ${\displaystyle {\overline {OB}}}$  também é, o que implica ${\displaystyle B\in \lambda }$ .

Então temos que ${\displaystyle s\cap \lambda =\{A,{B}\}}$ , o que contradiz nossa hipótese de que a reta seja tangente à circunferência.

Logo, se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é também perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência.

Tendo isso demonstrado podemos afirmar:

"Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência."

Exterior

Uma reta é exterior a uma circunferência quando as duas não se interceptam, ou seja, sua intersecção é vazia.

${\displaystyle r\cap \lambda =\varnothing }$ 

 

Quanto a posição relativa entre duas circunferências é comum classificar quanto a quantidade de intersecções que duas circunferências podem ter.

Assim temos que duas circunferências podem ser coincidentes, secantes, tangentes ou não possuírem intersecção.

Além disso, duas circunferências podem ser também concêntricas, quando seus centros são coincidentes.

Se, além de serem concêntricas elas tiverem o mesmo raio dizemos que elas são coincidentes (ou que são a mesma circunferência).

 

Circunferências tangentes

Duas circunferências são tangentes quando possuem apenas um ponto em comum, ou seja:

${\displaystyle \lambda _{1}{\text{e }}\lambda _{2}{\text{ são tangentes }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda _{1}\cap \lambda _{2}=\{T\}}$ 

Tangentes internas

Uma circunferência é tangente interna a outra se têm apenas um ponto em comum e todos os demais pontos de uma são internos a outra.

Isso ocorre quando a distância entre os centros é igual à diferença dos raios das circunferências:

${\displaystyle \lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ é tangente interior a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}=|r_{1}-r_{2}|}}$ 

Tangentes externas

Uma circunferência é tangentes externas a outra se têm apenas um ponto em comum e todos os demais pontos de uma são externos a outra.

Isso ocorre quando a distância entre o centros é igual à soma dos raios das circunferências:

${\displaystyle \lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ é tangente exterior a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}=r_{1}+r_{2}}}$ 

Circunferências secantes

Duas circunferências são secantes quando possuem dois, e apenas dois, pontos em comum, ou seja:

${\displaystyle \lambda _{1}{\text{e }}\lambda _{2}{\text{ são secantes }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda _{1}\cap \lambda _{2}=\{A,B\}}$ 

Diferentemente de quando falamos de circunferências tangentes, quando tratamos de circunferências secantes não faz sentido falar de secantes internas ou externas.

Isso ocorre quando a distância entre os centros é maior que o módulo da diferença dos raios e menor que a soma dos raios:

${\displaystyle \lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ é secante a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {|r_{1}-r_{2}|}<{d_{O_{1},O_{2}}$ 

Circunferências sem pontos em comum

Circunferências sem pontos em comum são, simplesmente, circunferências cuja intersecção entre ambas é vazia.

Assim, quando a intersecção entre duas circunferências é vazia temos que: ou elas são externas ou uma é interna a outra.

Circunferências externas

Duas circunferências são externas se os pontos de uma são externos a outra.

Isso ocorre quando a distância entre os centros é maior que a diferença dos raios da circunferência:

${\displaystyle \lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right)\quad {\text{e}}\quad \lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\quad {\text{são externas}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}>r_{1}+r_{2}}}$ 

Circunferências internas

Uma circunferência é interna a outra se todos os seus pontos são pontos internos da outra.

Isso ocorre quando a distância entre o centros é menor que a soma dos raios da circunferência:

${\displaystyle \lambda _{1}\left(O_{1},r_{1}\right){\text{ interior a }}\lambda _{2}\left(O_{2},r_{2}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {d_{O_{1},O_{2}}$ 

No caso das circunferências concêntricas, que foram citadas anteriormente, percebe-se que elas são um caso particular de circunferências internas, onde ${\displaystyle O_{1}=O_{2}}$ .

 

Se de um ponto ${\displaystyle P}$  conduzirmos os segmentos ${\displaystyle {\overline {PA}}}$  e ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ , ambos pertencentes a retas distintas e tangentes a uma circunferência, com ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  na circunferência, então ${\displaystyle {\overline {PA}}\equiv {\overline {PB}}}$ .

Demonstração

Queremos demonstrar que:

${\displaystyle {\overline {PA}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {PB}}\quad {\text{tangentes a }}\lambda ;\quad {A,B}\in \lambda \qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {PA}}\equiv {\overline {PB}}}$ 

Seja ${\displaystyle O}$  o centro de ${\displaystyle \lambda }$ , podemos traçar o segmento ${\displaystyle {\overline {OP}}}$  e observar que, assim, surgem dois triângulos: ${\displaystyle \triangle {PAO}}$  e ${\displaystyle \triangle {PBO}}$ .

Pelo fato de ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  pertencerem a circunferência temos ${\displaystyle {\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}}$  e, pelo fato de ${\displaystyle {\overleftrightarrow {PA}}}$  e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {PB}}}$  serem tangente a ${\displaystyle \lambda }$ , o que nos garante que ${\displaystyle O{\hat {A}}P}$  e ${\displaystyle O{\hat {B}}P}$  são ângulos retos.

Assim temos que esses dois triângulos são triângulos retângulos que possuem um cateto e a hipotenusa congruentes, o que implica os triângulos serem congruentes:

${\displaystyle {\overline {OA}}\equiv {\overline {OB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {OP}}\equiv {\overline {OP}}\quad \left(CH\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {PAO}\equiv \triangle {PBO}}$ .

Como os dois triângulos são congruentes, temos que:

${\displaystyle {\overline {PA}}\equiv {\overline {PB}}}$ .

Uma circunferência pode ser representada por equações algébricas.

Coordenadas retangulares

 

Num sistema de coordenadas cartesianas retangulares, uma circunferência pode ser descrita pela equação

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,,}$ 

na qual ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  são as coordenadas do centro da circunferência e ${\displaystyle r}$  é o raio. Caso a circunferência tenha o centro sobre a origem do plano cartesiano, a equação é

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,.}$ 

Demonstração

Vamos demonstrar que uma circunferência ${\displaystyle \lambda }$  de raio ${\displaystyle r}$  e centrada no ponto ${\displaystyle O\left(a,b\right)}$  é

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\quad .}$ 

Por definição temos que uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que são equidistantes a um dado ponto nesse plano.

Assim, podemos definir ${\displaystyle \lambda }$  da seguinte forma:

${\displaystyle \lambda =\{{P\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}}|\quad {d_{O,P}}=r}\}$ 

Pela fórmula da distância entre dois pontos, da geometria analítica (ou simplesmente analisando o triângulo retângulo, como mostra a figura ao lado), temos:

${\displaystyle {d_{P,O}=r}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}}$ 

Equações paramétricas

Também é possível descrever uma circunferência através de equações paramétricas, em função de um parâmetro ${\displaystyle t}$  e usando funções trigonométricas:

${\displaystyle x=a+rcos(t)}$ 
${\displaystyle y=b+rsen(t)\,.}$ 

Ou simplesmente com uma circunferência ${\displaystyle \lambda }$  de raio ${\displaystyle r}$  e centrada em ${\displaystyle O\left(a,b\right)}$ sendo o conjunto de vetores:

${\displaystyle \lambda =\{\left(a+r.\cos(t),b+r.\operatorname {sen}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{2},\quad 0\leq {t}\leq 2\pi \}}$ 

Neste caso, ${\displaystyle t}$  é a variável paramétrica, variando entre 0 e 2${\displaystyle \pi }$  radianos.

Na geometria analítica, pode ser representada através de uma equação da forma ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0}$ , com coeficientes reais. Sendo que ${\displaystyle A}$  deve ser igual a ${\displaystyle B}$  e diferente de zero e ${\displaystyle C}$  deve ser igual a zero. O raio da circunferência é obtido através da relação:

${\displaystyle R^{2}={\frac {D^{2}+E^{2}-4A.F}{4A^{2}}}}$ .

Relação com π

A circunferência de um círculo está relacionada a constante matemática pi, representada pela letra grega ${\displaystyle \pi }$ . Os primeiros dígitos decimais do valor numérico de π são 3,141592653589793...

Pi é definido como a razão da circunferência C de um círculo em relação ao seu diâmetro d:

$${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$

 

$${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$$

 

${\displaystyle d}$ 

${\displaystyle d=2r\,.}$ 

A razão entre a circunferência do círculo e seu raio é chamada de constante do círculo e é equivalente a 2π. O valor 2π também é a quantidade de radianos em uma volta. O uso da constante matemática π é onipresente na matemática, na engenharia e na ciência.

Em Sobre a Medição de um Círculo, escrito por volta de 250 a.C., Arquimedes mostrou que essa proporção (${\displaystyle C/d,}$  já que ele não usou o nome π) era maior que 31071 mas menor que 317 calculando os perímetros de um polígono regular inscrito e circunscrito de 96 lados. Esse método de aproximação de π foi usado durante séculos, obtendo mais precisão com o uso de polígonos com um número cada vez maior de lados. O último cálculo desse tipo foi realizado em 1630 por Christoph Grienberger, que usou polígonos com 10⁴⁰ lados.

O círculo é a área interna (${\displaystyle a}$ ) delimitada pela circunferência, que pode ser calculada usando a equação

${\displaystyle a=\pi r^{2}\ =\pi d^{2}/4.}$ 

A circunferência é a curva plana fechada que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua base.

 

 Ver artigo principal: Elipse

A circunferência é usada por alguns autores para denotar o perímetro de uma elipse. Não existe uma fórmula geral para a circunferência de uma elipse em termos dos semieixos maior e menor da elipse que use apenas funções elementares. Entretanto, há fórmulas aproximadas em termos desses parâmetros. Uma dessas aproximações, devida a Euler (1773), para a elipse canônica,

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$

 

$${\displaystyle C_{\rm {elipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

 

$${\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}$$

 

$${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$$

 

$${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

 

${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ 

$${\displaystyle C_{\rm {elipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$$

 

${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$