사각형

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기하학에서 사각형(四角形, 영어: quadrilateral)은 평면 위 4개의 선분으로 둘러싸인 도형이다. 이 선분들을 사각형의 변이라고 하고, 두 선분의 공통 끝점을 사각형의 꼭짓점이라고 한다. 사각형은 다각형에서 변과 꼭짓점이 각각 4개인 경우이며, 다른 다각형과 같이, 네 선분으로 구성된 닫힌 꺾은선으로 정의되거나, 이들을 경계로 하는 닫힌 영역으로 정의된다. (여기서 닫힌 꺾은선은 꺾은선의 양 끝점을 이어 끝점의 구분이 없어졌다는 뜻이며, 닫힌 영역은 이 집합이 경계를 포함한다는 뜻이다.) 꼭짓점이 아닌 교점을 갖는 두 변이 존재하지 않는 사각형을 단순 사각형이라고 부른다. 단순 사각형은 모든 내각이 180도보다 작은 경우와 180도보다 큰 내각을 갖는 경우로 분류된다. 전자를 볼록 사각형이라고 하고, 후자를 오목 사각형이라고 한다. 볼록 사각형의 경계 위 두 점 사이의 선분은 항상 사각형 내부에 포함되며, 오목 사각형은 이러한 성질을 만족시키지 않는다. 사각형이라는 용어는 흔히 볼록 사각형만을 가리킨다. 사각형의 네 꼭짓점이 한 평면 위의 점이 아닐 수 있도록 허용하면 꼬인사변형의 개념을 얻는다. 꼬인 사각형은 일반적으로 사각형에 포함시키지 않는다.

사각형
종류	다각형
모서리들과 꼭짓점	4
쌍대 다각형	평행사변형

단순 사각형의 4개의 내각의 합은 항상 360도이다. 이는 단순 ${\displaystyle n}$각형의 내각의 합이 항상 ${\displaystyle 180(n-2)}$도라는 사실의 특수한 경우이다. 사다리꼴과 평행 사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형은 볼록 사각형의 일부 기초적인 종류이다. 예를 들어, 평행 사변형은 마주보는 두 쌍의 변이 각각 평행하는 사각형이며, 직사각형은 모든 내각이 직각인 사각형이다. 앞에 나온 종류는 뒤에 나온 종류에 포함된다. 예를 들어, 모든 직사각형은 평행 사변형이다. 이는 모든 내각이 직각인 사각형의 각 쌍의 대변은 평행한다는 말과 같다. 단순 사각형의 넓이는 일상적인 의미와 일치한다. 예를 들어, 직사각형의 넓이는 가로변과 세로변의 길이의 곱이며, 보다 일반적으로 평행 사변형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 길이의 곱이다. 그 밖에도 사각형의 많은 성질들이 발견되었다. 바리뇽 정리에 따르면, 사각형의 네 변의 중점을 연결하면 평행 사변형을 얻는다. 이는 삼각형에 대한 중점 연결 정리를 통해 증명할 수 있으며, 볼록 사각형이나 단순 사각형에 국한되지 않고 심지어 꼬인 사각형에서도 성립한다.

사변형(四邊形)이라는 용어는 사각형을 대신할 수 있으나, 사영 기하학에서는 사각형과 관련된 다른 의미로 쓰인다.

사각형은 변이 4개인 (따라서 꼭짓점도 4개인) 다각형으로 정의된다. 구체적으로, 평면 위 네 점 ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ 가 공선점인 세 점을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면 사각형 ${\displaystyle ABCD}$ 는 선분 ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle DA}$ 으로 둘러싸인 도형으로 정의된다.

이 네 점 ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ 를 사각형 ${\displaystyle ABCD}$ 의 꼭짓점이라고 하고, 이 네 선분 ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle DA}$ 를 사각형 ${\displaystyle ABCD}$ 의 변이라고 한다. 사각형의 두 변이 같은 꼭짓점을 끝점으로 한다면 이웃변이라고 하고, 반대로 공통 꼭짓점을 갖지 않을 경우 대변이라고 한다. 즉, 사각형 ${\displaystyle ABCD}$ 의 네 쌍의 이웃변은 ${\displaystyle AB}$ 와 ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle BC}$ 와 ${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle CD}$ 와 ${\displaystyle DA}$ , ${\displaystyle DA}$ 와 ${\displaystyle AD}$ 이고, 두 쌍의 대변은 ${\displaystyle AB}$ 와 ${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle AD}$ 와 ${\displaystyle BC}$ 이다. 사각형의 두 꼭짓점을 잇는 선분 가운데 변이 아닌 것들을 사각형의 대각선이라고 한다. 즉, 사각형 ${\displaystyle ABCD}$ 의 두 대각선은 선분 ${\displaystyle AC}$ 와 ${\displaystyle BD}$ 이다. 이것은 또한 사각형의 종류와 성질을 이용하여 특정 조건을 만족하면 ○, 그렇지 않으면 ×로 나타낼 수 있다. 이에 따라 나타내어보면 각각 다음과 같다.

또한 그 외에도 사각형의 다른 조건을 만족하는지 아닌지에 대한 경우는 다음과 같다.

변의 길이가 모두 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

각의 크기가 모두 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

한 쌍의 대변이 평행 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ○, 연꼴 ×

두 쌍의 대변이 각각 평행 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

한 쌍의 대변이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

한 쌍의 대각이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○

두 쌍의 대변이 각각 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

두 쌍의 대각이 각각 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

밑변의 두 밑각이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

꼭지각의 두 변이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○

두 대각선이 항상 중점에서 교차하는 것 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

두 대각선이 항상 수직으로 교차하는 것 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○

두 대각선의 길이가 항상 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

두 대각선이 서로를 이등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

두 대각선 중 다른 대각선을 이등분할 수 있는 것이 적어도 하나 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○

한 대각선이 도형을 이등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○

두 대각선이 도형을 사등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선이 도형을 이등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

두 대각선 중 적어도 하나에 대하여 대칭 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○

한 쌍의 대변의 중점을 연결한 두 직선 중 적어도 하나에 대하여 대칭 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

이웃한 두 내각의 합이 180° : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

이웃한 두 변의 길이의 합이 각각 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

외접원이 항상 존재하는 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

내접원이 항상 존재하는 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ◇ (볼록 연꼴은 내접원이 존재하지만, 오목 연꼴은 내접원이 존재하지 않는다)

자기 쌍대가 되는 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ×, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

항상 서로 닮음 관계인 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×

이렇게 되며, 정사각형만이 유일하게 사각형의 모든 조건을 만족할 수 있다. 뿐만아니라 2차원 이상의 도형 중에서는 유일하게 초입방체이면서 정축체이고, 사각형의 종류를 가장 적게 포함하지만, 가장 많은 이름을 가지므로 가장 특별한 사각형이다. 반면에 사다리꼴은 평행사변형도, 등변 사다리꼴도 아닌 그냥 일반적인 경우 한 쌍의 대변이 평행하다는 정의를 제외하고는 특별한 성질이 전혀 없다.

사각형은 다음과 같이 분류된다.

• 단순 사각형: 꼭짓점이 아닌 교점을 갖는 두 변이 존재하지 않는 사각형
  • 볼록 사각형: 둘레 위의 두 점 사이의 선분이 항상 사각형 내부에 포함되는 사각형
  • 오목 사각형: 볼록 사각형이 아닌 사각형
• 교차 사각형: 단순 사각형이 아닌 사각형

즉, 임의의 사각형은 볼록 사각형과 오목 사각형, 교차 사각형 가운데 정확히 하나에 속한다.

단순 사각형의 일부 종류는 다음과 같다.

• 사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행한 단순 사각형
• 연꼴: 각 변이 이웃한 두 변 중 적어도 하나와 길이가 같은 단순 사각형
• 평행 사변형: 두 쌍의 대변이 평행한 단순 사각형
• 등변 사다리꼴: 평행한 한 쌍의 변 중 하나의 양 밑각의 크기가 같은 사다리꼴
• 직사각형: 네 내각이 모두 직각인 단순 사각형
• 마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 단순 사각형
• 정사각형: 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각이 모두 직각인 단순 사각형

명칭이 따로 붙어있는 사각형 중에선 연꼴이 오목 사각형일 수 있는 점을 제외하면 모두 볼록 사각형이다. 이들 종류 사이의 함의 관계는 다음과 같다.  

대각선

볼록 사각형의 두 대각선은 사각형 내부에 포함된다.^{:52, §3.1} 오목 사각형의 두 대각선 가운데 하나는 사각형 내부에 포함되고 하나는 사각형 외부에 포함된다.^{:52, §3.1} 교차 사각형의 두 대각선은 사각형 외부에 포함된다.^{:52, §3.1}

넓이

사각형의 두 대각선의 길이를 ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle f}$ 라고 하고 두 대각선 사이의 각의 크기를 ${\displaystyle \theta }$ 라고 할 경우, 넓이는

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ef\sin \theta }$ 

이다.

사각형의 두 대각선의 중점과 한 쌍의 대변의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 생각하자. 이 삼각형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/4이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/4이다.^{:55, §3.1, Theorem 3.14}

사각형 ${\displaystyle ABCD}$ 의 네 변 ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle DA}$ 의 중점을 각각 ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$ , ${\displaystyle R}$ , ${\displaystyle S}$ 라고 하자. 바리뇽 정리에 따르면, 사각형 ${\displaystyle PQRS}$ 는 평행 사변형이다. 또한, 이 평행 사변형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/2이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/2이다.^{:53, §3.1, Theorem 3.11}

평행사변형의 넓이

평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱이다.

평행사변형의 이웃한 두 변의 길이를 ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ 라 하고, 그 끼인각을 ${\displaystyle \theta }$ 라 하면, 넓이는

${\displaystyle S=ab\sin \theta }$ 

이다. 이는 밑변을 ${\displaystyle b}$ 라고 하면, 높이는 ${\displaystyle a\sin \theta }$ 이기 때문이다.

무게 중심

사각형의 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 직선과 두 대각선의 중점을 잇는 직선은 공점선이며, 서로가 서로를 이등분한다.^{:54, §3.1, Theorem 3.12} 이들의 교점은 사각형의 네 꼭짓점의 무게 중심이다. 볼록 사각형일 경우 이 점을 이 사각형의 무게 중심으로 정의하나, 이는 일반적으로 사각형의 내부의 무게 중심과 일치하지 않는다.