Paralelogramo

Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.

 

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos. Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.

Elementos

Um paralelogramo ${\displaystyle ABCD}$  tem:

• quatro lados - os segmentos de reta ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ , ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ , ${\displaystyle {\overline {CD}}}$  e ${\displaystyle {\overline {DA}}}$ ;
• quatro vértices - os pontos ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$  e ${\displaystyle D}$ ;
• quatro ângulos internos - os ângulos ${\displaystyle B{\hat {A}}D}$ , ${\displaystyle A{\hat {B}}C}$ , ${\displaystyle B{\hat {C}}D}$ , ${\displaystyle C{\hat {D}}A}$ ;
• quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
• duas diagonais - os segmentos de reta ${\displaystyle {\overline {AC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ .

Um paralelogramo possui:

1. lados opostos congruentes;
2. ângulos opostos congruentes;
3. suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
4. ângulos colaterais suplementares;
5. a soma dos ângulos internos igual a ${\displaystyle 360^{\circ }}$ ;
6. a soma dos ângulos externos igual a ${\displaystyle 360^{\circ }}$ ;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades

 

1. Lados opostos congruentes

Dado o paralelogramo ${\displaystyle ABCD}$ , mostraremos que ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}$ . Para tanto, traçamos a diagonal ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ . Como ${\displaystyle {\overline {AB}}/\!/{\overline {DC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {AD}}/\!/{\overline {BC}}}$ , tomando ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AC}}}$  como transversal temos que ${\displaystyle D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A}$  (alternos internos) e ${\displaystyle D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C}$  (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

${\displaystyle \triangle ADC\equiv \triangle CBA\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A\\{\overline {AC}}\equiv {\overline {CA}}\\D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}{\text{ e }}{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}.}$ 

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$  convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}$ , implica ${\displaystyle \triangle ADC\equiv \triangle ABC}$ . Logo, são congruentes os ângulos ${\displaystyle B{\hat {A}}C}$  e ${\displaystyle A{\hat {C}}D}$ , o que implica ${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}}$ . Um raciocínio análogo mostra que ${\displaystyle {\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}}$ . Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentes

Dado o paralelogramo ${\displaystyle ABCD}$ , mostraremos que ${\displaystyle B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D}$  e ${\displaystyle A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C}$ . A partir da demostração anterior temos que:

${\displaystyle (1)\quad D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A}$ 

e

${\displaystyle (2)\quad D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C}$ .

Como ${\displaystyle B{\hat {A}}D=B{\hat {A}}C+D{\hat {A}}C}$  então substituindo (2) em (3) temos:

${\displaystyle (3)\quad B{\hat {A}}D=D{\hat {C}}A+D{\hat {A}}C}$ .

E, temos ainda ${\displaystyle B{\hat {C}}D=B{\hat {C}}A+D{\hat {C}}A}$ , que usando (1) fornece:

${\displaystyle (4)\quad B{\hat {C}}D=D{\hat {A}}C+D{\hat {C}}A}$ .

De (3) e (4), concluímos que ${\displaystyle B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D}$ . Para o caso ${\displaystyle A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C}$  o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$  convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos ${\displaystyle B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D}$  e ${\displaystyle A{\hat {D}}C\equiv A{\hat {B}}C}$ , logo ${\displaystyle B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C=A{\hat {B}}C+B{\hat {C}}D}$ . Como ${\displaystyle B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C+A{\hat {B}}C+B{\hat {C}}D=360^{\circ }}$ , segue que ${\displaystyle B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C=180^{\circ }}$ . Portanto, ${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}}$ . Um raciocínio análogo prova que ${\displaystyle {\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}}$ . Isso completa a prova.

3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios

 

Seja ${\displaystyle ABCD}$  um paralelogramo e consideremos suas diagonais ${\displaystyle {\overline {AC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ . Denotamos por ${\displaystyle E}$  a interseção destas diagonais. Como ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$  e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}}$  são paralelas, temos que os ângulos ${\displaystyle C{\hat {D}}E}$  e ${\displaystyle A{\hat {B}}E}$  são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos ${\displaystyle B{\hat {A}}E}$  e ${\displaystyle D{\hat {C}}E}$ . Como ${\displaystyle {\overline {AB}}}$  e ${\displaystyle {\overline {CD}}}$  são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

${\displaystyle \triangle CDE\equiv \triangle ABE\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}C{\hat {D}}E\equiv A{\hat {B}}E\\{\overline {CD}}\equiv {\overline {AB}}\\D{\hat {C}}E\equiv B{\hat {A}}E\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}{\text{ e }}{\overline {DE}}\equiv {\overline {EB}}.}$ 

Assim temos que ${\displaystyle E}$  é ponto médio de ${\displaystyle {\overline {AC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ , logo ${\displaystyle E}$  é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$  plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja ${\displaystyle E}$  o ponto de interseção das diagonais ${\displaystyle {\overline {AC}}}$  e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ . Como ${\displaystyle {\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}}$ , ${\displaystyle {\overline {BE}}\equiv {\overline {DE}}}$  e ${\displaystyle A{\hat {E}}B\equiv C{\hat {E}}D}$ , temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que ${\displaystyle \triangle ABE\equiv \triangle CDE}$ . Donde seque que ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {CD}}}$ . Analogamente, vemos que ${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}$ . Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementares

 

Seja ${\displaystyle ABCD}$  um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos ${\displaystyle C{\hat {D}}A}$  e ${\displaystyle B{\hat {A}}D}$  são suplementares. Com efeito, como ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$  e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}}$  são paralelas e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AD}}}$  é uma transversal, temos que ${\displaystyle C{\hat {D}}A\equiv B{\hat {A}}E}$  (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que ${\displaystyle B{\hat {A}}E}$  e ${\displaystyle B{\hat {A}}D}$  são suplementares, ou seja:

${\displaystyle B{\hat {A}}E+B{\hat {A}}D=180^{\circ }}$  (2)

e substituindo (1) em (2) temos:

${\displaystyle C{\hat {D}}A+B{\hat {A}}D=180^{\circ }}$ 

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internos

Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é ${\displaystyle 360^{\circ }}$ .

6. Soma dos ângulos externos

Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é ${\displaystyle 360^{\circ }}$ .

Denotando por ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

${\displaystyle P=2(a+b)}$ 

 

A área de um paralelogramo é dada por:

${\displaystyle A=b\cdot h}$ 

onde, ${\displaystyle b}$  é o comprimento de qualquer um de seus lados e ${\displaystyle h}$  é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:

${\displaystyle A=a\cdot b\cdot \operatorname {sen} \alpha }$ 

onde, ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  são os comprimentos de dois lados adjacentes e ${\displaystyle \alpha }$  é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

${\displaystyle A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}\cdot \operatorname {sen} \alpha }{2}}}$ 

 

onde, ${\displaystyle d_{1}}$  e ${\displaystyle d_{2}}$  são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e ${\displaystyle \alpha }$  é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja ${\displaystyle ABCD}$  um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto ${\displaystyle E}$  determinando quatro triângulos ${\displaystyle AEB}$ , ${\displaystyle BEC}$ , ${\displaystyle CED}$ , ${\displaystyle DEA}$ . Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que ${\displaystyle E}$  é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos ${\displaystyle AEB}$  e ${\displaystyle CED}$  são congruentes, assim como os triângulos ${\displaystyle BEC}$  e ${\displaystyle DEA}$ . Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por ${\displaystyle d_{1}}$  e ${\displaystyle d_{2}}$  os comprimentos das diagonais ${\displaystyle AC}$  e ${\displaystyle DE}$ , respectivamente, temos:

${\displaystyle A=2{\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}\operatorname {sen} \alpha +2{\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}\operatorname {sen} (180^{\circ }-\alpha ).}$ 

Aqui, ${\displaystyle \alpha }$  é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo ${\displaystyle FGH}$  pode ser calculada por:

${\displaystyle A_{FGH}={\frac {|FG|\cdot |GH|}{2}}\operatorname {sen} F{\hat {G}}H}$ .

Por fim, como ${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha =\operatorname {sen} (180^{\circ }-\alpha )}$ , segue o resultado desejado.

Existem três paralelogramos especiais:

• retângulo;
• quadrado;
• losango.