평행사변형

평면 기하에서 평행사변형(平行四邊形)은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이다. 유클리드 기하에서 평행사변형의 대변 또는 마주보는 두 변은 길이가 같고 대각의 크기가 같으며, 이는 유클리드 기하의 평행선 공준의 직접적인 결과이다. 3차원에서는 평행육면체가 대응된다.

평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분 한다.

증명

${\displaystyle \triangle EAB}$  와 ${\displaystyle \triangle ECD}$ 에서 ${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {DC}}}$  이므로

${\displaystyle \angle EAB=\angle ECD}$  (엇각) ……(1)
${\displaystyle \angle EBA=\angle EDC}$  (엇각) ……(2)

또, 평행사변형에서 대변의 길이는 같으므로

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {DC}}}$  ……(3)

(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

${\displaystyle \triangle EAB\equiv \triangle ECD}$ 

${\displaystyle \therefore {\overline {EA}}={\overline {EC}},{\overline {EB}}={\overline {ED}}}$ 이다.라고 한다

두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다

증명

${\displaystyle \triangle ABC}$  와 ${\displaystyle \triangle CDA}$ 에서 ${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {DC}}}$  이고 ${\displaystyle {\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}}$  이므로

${\displaystyle \angle BAC=\angle DCA}$  (엇각) ……(1)
${\displaystyle \angle ACB=\angle CAD}$  (엇각) ……(2)
${\displaystyle {\overline {AC}}}$ 는 공통인 변이다. ……(3)

(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

${\displaystyle \triangle ABC\equiv \triangle DCA}$ 

따라서

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {DC}},{\overline {AD}}={\overline {BC}}}$ 

이다.

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

증명

${\displaystyle {\overline {BC}}}$ 를 C 방향으로 연장해서 그 위의 임의의 점을 E 라고하자.

${\displaystyle \angle D=\angle DCE=\angle B}$  (동위각, 엇각)

같은 방법으로 ${\displaystyle \angle A=\angle C}$ 이다.

• 밑변의 길이를 ${\displaystyle a}$  그에 대한 높이를 ${\displaystyle h}$ 라 하면,

${\displaystyle S=ah}$ 

• 이웃하는 두 변을 각각 ${\displaystyle a}$  , ${\displaystyle b}$  그 끼인각의 크기를 ${\displaystyle \theta }$ 라 하면,

${\displaystyle S=ab\sin \theta }$ 

 

• 평행사변형은 사다리꼴이다.
• 마름모와 직사각형은 평행사변형이다.
• 두 벡터의 합을 구할 때 평행사변형법이 사용된다. 오른쪽 그림에서, DC 벡터와 DA 벡터의 합벡터는 DB 벡터이다.

• 사각형 ABCD가 평행사변형일 필요충분조건들은 다음과 같다.

두 쌍의 대변이 평행하다.(정의)
두 쌍의 대변의 길이가 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

 

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평행사변형

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