У Еуклидовој геометрији, паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао са два пара паралелних страница.
Наспрамне странице паралелограма су једнаке дужине, а наспрамни углови су једнаке мере.
Паралелограм | |
---|---|
Тип | четвороугао |
Ивице и темена | 4 |
Симетрична група | C2, [2]+, (22) |
Површина | b × h (основица × висина); ab sin θ (производ суседних страница и синус било ког угла темена) |
Својства | конвексан |
Подударност наспрамних страница и наспрамних углова је директна последица Еуклидовог постулата паралелности и ни један услов се не може доказати без примењивања Еуклидовог постулата паралелности или једне од његових еквивалентних формулација.
Поређења ради, четвороугао са само једним паром паралелних страница је трапез.
Тродимензионални еквивалент паралелограма је паралелепипед.
Етимологија (на грчком грч. παραλληλ-όγραμμον — „облик од паралелних линија”) одражава дефиницију.
Паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао ако и само ако је једна од следећих изјава тачна:
Стога, сви паралелограми имају сва горенаведена својства, и обрнуто; ако је само једна од ових изјава тачна у једноставном четвороуглу, онда је то паралелограм.
Висине | |
Дијагонале | |
Обим | |
Површина | |
Закон паралелограма |
Све формуле површина за опште конвексне четвороуглове важе за паралелограме. Даље формуле су специфичне за паралелограме:
Паралелограм са основом b и висином h може се поделити на четвороугао и правоугаони троугао и преуредити у правоугаоник, као што је приказано на слици лево. То значи да је површина паралелограма иста као и површина правоугаоника са истом основом и висином:
Формула за површину облика основе × висина се такође може извести помоћу слике са десне стране. Површина K паралелограма десно (плава област) је укупна површина правоугаоника умањена за површину два наранџаста троугла. Површина правоугаоника је
а површина појединачно наранџастог троугла је
Дакле, површина паралелограма је
Друга формула површине, за две странице B и C и угао θ, је
Површина паралелограма са страницама B и C (B ≠ C) и углом на пресеку дијагонала је дата са
Када се паралелограм одреди из дужина B и C две суседне странице заједно са дужином D1 било које дијагонале, тада се површина може наћи из Херонове формуле. Специфично то је
где је и водећи фактор 2 долази из чињенице да изабрана дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла.
Нека вектори и нека означавају матрицу са елементима a и b. Тада је површина паралелограма коју генеришу a и bједнака .
Нека су вектори и нека је . Тада је површина паралелограма коју генерише a и b једнака .
Нека су тачке . Тада је површина паралелограма са врховима на a, b и c еквивалентна апсолутној вредности детерминанте матрице изграђене коришћењем a, b и c као редова са последњом колоном допуњеном јединицама на следећи начин:
Да би се доказало да дијагонале паралелограма деле једна на другу напола, могу се користити подударни троуглови:
(пошто су то углови које трансверзала прави са паралелним правима AB и DC).
Такође, страница AB је по дужини једнака страни DC, пошто су супротне стране паралелограма једнаке по дужини.
Дакле, троуглови ABE и CDE су подударни (ASA постулат, два одговарајућа угла и укључена страница).
Стога,
Пошто дијагонале AC и BD деле једна другу на сегменте једнаке дужине, дијагонале се преполовљавају. Осим тога, пошто се дијагонале AC и BD преполовљавају у тачки E, тачка E је средиште сваке дијагонале.
Паралелограми могу поплочати раван транслацијом. Ако су ивице једнаке или су углови прави, симетрија решетке је већа. Они представљају четири Бравеове решетке у 2 димензије.
This article uses material from the Wikipedia Српски / Srpski article Паралелограм, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Садржај је доступан под лиценцом CC BY-SA 4.0 осим ако је другачије наведено. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Српски / Srpski (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.