Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
.
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
— длина стороны ,
— длина стороны ,
и — длины диагоналей; тогда
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма
Основной источник:
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
Все противоположные углы попарно равны: .
У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: .
Все противоположные стороны попарно параллельны: .
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
, где — сторона, — высота, проведённая к этой стороне.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:
где и — смежные стороны, — угол между сторонами и .
Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
This article uses material from the Wikipedia Русский article Параллелограмм, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Если не указано иное, содержание доступно по лицензии CC BY-SA 4.0. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Русский (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.