정사각형

정사각형(正四角形, 문화어: 바른사각형)은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 같은 사각형이다. 둘레의 길이가 같은 모든 사각형들 중에서 정사각형의 넓이가 가장 크다.한 내각의 크기가 90°이므로 각 꼭짓점에 3개가 모여야 정다면체가 된다. 이는 정육면체가 해당되며, 4개로는 360° 평면 타일링인 정사각형 타일링이 된다. 5개 이상은 당연히 면이 겹치고 내각의 합이 360°를 초과하기 때문에 이 이상은 불가능하다.

정사각형은 직사각형이면서 마름모인 도형이다. 정사각형은 또한 연꼴, 평행사변형, 등변사다리꼴이기도 하다.

한 변의 길이가 ${\displaystyle a}$ 인 정사각형의 넓이 ${\displaystyle A}$ 와 둘레 ${\displaystyle P}$ 는 다음과 같다.

${\displaystyle A=a^{2}\,}$ 
${\displaystyle P=4a\,}$ 

 

• 정사각형은 정다각형이므로 정다각형의 일반적인 성질들을 모두 갖고 있다.
• 정사각형의 네 각의 크기는 모두 90°이다. 즉, 네 각 모두 직각이다. 정사각형의 두 대각선의 길이는 같으며 서로 수직이다. 또한 두 대각선의 길이가 같은 마름모는 정사각형이며, 두 대각선이 직교하는 직사각형 역시 정사각형이다. 정사각형의 대각선의 길이는 한 변의 길이의 ${\displaystyle {\sqrt {2}}\simeq 1.4142135}$ 배이다. 이 값을 "피타고라스의 상수"라고 부르기도 하며, 최초로 발견된 무리수로 알려져 있다.
• 정사각형에 외접하는 원의 넓이는 그 정사각형의 넓이의 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\simeq 1.57}$ 배이다.
• 정사각형에 내접하는 원의 넓이는 그 정사각형의 넓이의 ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\simeq 0.79}$ 배이다.
• 정사각형은 정다각형 중에서 한 가지 모양으로 평면 테셀레이션을 만들 수 있는 세 가지 도형 중 하나이다. (나머지는 정삼각형, 정육각형) 이것은 정사각형의 한 내각의 크기(90°)가 360°의 약수이기 때문이다.
• 정사각형은 2차원의 계량 폴리토프(measure polytope)이면서 십자 폴리토프(cross polytope)이다. 정사각형의 슐레플리 기호(Schläfli symbol)는 {4}이다.
• 정사각형은 많은 대칭성을 갖고 있다. 네 개의 대칭축에 대하여 선대칭이며, 90°, 180°, 270° 회전에 대하여도 대칭이다. 대칭 변환군은 정이면체군 D₄이다.

비유클리드 기하에서도 정사각형을 정의할 수 있다. 예를 들어 평면 기하에서 정사각형이란, 모든 변의 길이가 같고, 변들이 만나서 이루는 각의 크기도 모두 같은 평면 사각형을 말한다. 평면 사각형(일반적으로 평면 다각형)의 변이란 대원의 일부인 호이다. 구면 기하에서와는 달리, 평면에서의 정사각형의 한 내각은 직각보다 크다.

${\displaystyle p^{2}}$  개의 점을 ${\displaystyle p}$  행 ${\displaystyle p}$  열의 정사각형 모양으로 배열한 것은 무한 기하의 한 모형이 될 수 있다.

• 피타고라스의 정리
• 정사각형 격자
• 정사각형 타일
• 단위정사각형