Чотирикутник — це частина площини, обмежена простою замкненою ламаною, яка містить чотири (4) ланки.
Вона складається з чотирьох (4) вершин (точок) і чотирьох сторін (відрізків), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.
У чотирикутнику на зображені 1 діагоналями є відрізки AC і BD.
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутнику на даному малюнку протилежними сторонами є сторони AB і CD, BC і AD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на зображені 1 позначено так: ABCD. У позначенні чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник ABCD можна також позначити BCDA або DCBA. Але не можна позначити ABDC (B і D — не сусідні вершини).
Внутрішні кути простого чотирикутника ABCD мають в сумі 360 градусів, тобто
Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається периметром.
Будь-який чотирикутник, сторони якого не перетинаються є простим чотирикутником.
В опуклих чотирикутників всі внутрішні кути є меншими за 180°, а дві діагоналі знаходяться в середині чотирикутника.
В увігнутих чотирикутників, один із внутрішніх кутів є більшим за 180° а одна із двох діагоналей лежить за межами чотирикутника.
До складних чотирикутників відносять не правильні чотирикутники, грані яких перетинаються. Такі чотирикутники перетинають самі себе і мають ряд не формальних назв: перехрещений чотирикутник, чотирикутник-метелик або бантик. Сума внутрішніх кутів перехрещеного чотирикутника буде дорівнювати 720°, а два внутрішні кути в ньому є розгорнутими і знаходяться ззовні. Тобто перехрещеного чотирикутника, чотири «внутрішні» кути знаходяться по обидві сторони перетину (два гострих і два розгорнутих, всі з лівої сторони або з правою, в залежності від того в якому порядку перераховуються).
Хоча така назва може бути еквівалентна чотирикутнику, в неї часто вкладають додатковий сенс. Четвірка прямих, ніякі дві з яких не паралельні і ніякі три не проходять через одну точку, називається повним чотирибічником. Така конфігурація зустрічається в деяких твердженнях евклідової геометрії (наприклад, теорема Менелая, пряма Ньютона - Гауса, пряма Обера, Теорема Мікеля тощо), в яких часто всі прямі є взаємозамінними.
Двома діагоналями опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають протилежні вершини.
Двома бімедіанами (англ. bimedians) опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають середини протилежних сторін. Вони перетинаються у точці, яка називається «центроїдом» вершин чотирикутника.
Також в опуклому чотирикутнику бівисотою (англ. maltitude) будемо називати висоту, яка має основу у середині протилежної сторони. Всього у чотирикутнику можна провести чотири бівисоти.
Існує декілька загальних формул розрахунку площі S опуклого чотирикутника ABCD із сторонами a = AB, b = BC, c = CD і d = DA.
Площа чотирикутника може бути задана за допомогою тригонометричних функцій наступним чином:
де довжини кожної діагоналі задані як e і f, а кут між ними дорівнює θ. У випадку коли діагоналі перпендикулярні (тобто для ромба, квадрата і дельтоїда), ця формула спрощується до оскільки θ дорівнює 90°.
Площу можна розрахувати через бімедіани наступним чином
Де довжини медіан дорівнюють m і n, а кут між ними дорівнює φ.
Формула Бретшнайдера визначає площу черед дві сторони і два протилежних кута:
де сторони відповідно задані як a, b, c, d, і де s є півпериметром, а A і C є двома (будь-якими) протилежними кутами. Для вписаного чотирикутника цей вираз спрощується до формули Брамагупти, оскільки A + C = 180°.
Іншою формулою для розрахунку площі через кути і сторони, де кут C знаходиться між сторонами b і c, а кут A між сторонами a та d, є
У випадку із вписаним чотирикутником, остання формула скорочується до
Для паралелограма, де обидві пари протилежних сторін і кутів є рівними, ця формула в свою чергу спрощується до виразу
Альтернативним чином, можна визначити площу чотирикутника через сторони і кут перетину його діагоналей θ, для тих випадків доки цей кут не дорівнює 90°:
У випадку з паралелограмом, остання формула буде виглядати як
Іншою формулою, що містить сторони a, b, c, d є
де x є відстанню між середніми точками діагоналей, а φ є кутом між бімедіанами.
І ще однією тригонометричною формулою, що містить сторони a, b, c, d і кут α між a і b є:
що може використовуватися і як площа увігнутого чотирикутника (що має увігнуту частину протилежну до кута α) змінивши перший знак + на -.
Дві наступні формули задають площу S чотирикутника через сторони a, b, c, d, напівпериметр s, і діагоналі e, f:
Перше рівняння зводиться до формули Брахмагупти для вписаного чотирикутника, оскільки в такому випадку ef = ac + bd.
Площу також можна задати через бімедіани m, n і діагоналі e, f:
Насправді, будь-яке з трьох значень m, n, e, і f є достатнім для визначення площі, оскільки для будь-якого чотирикутника ці чотири значення пов'язані рівнянням Відповідними спрощеними виразами будуть наступні рівняння для розрахунку площі:
якщо дані довжини двох бімедіан і діагональ, і
якщо відомі довжини двох діагоналей і одна бімедіана.
Площу чотирикутника ABCD можна розрахувати за допомогою векторів. Нехай вектори AC і BD утворюють діагоналі від A до C і від B до D. Площа чотирикутника тоді дорівнюватиме
що є половиною величини векторного добутку векторів AC і BD. У двовимірному Евклідовому просторі, вектор AC можна задати у вигляді вектора у Декартовому просторі як (x1,y1) і вектор BD як (x2,y2), тому рівняння можна переписати наступним чином:
Довжини діагоналей опуклого чотирикутника ABCD із відповідними вершинами A, B, C, D і сторонами a = AB, b = BC, c = CD, і d = DA, довжини діагоналей p = AC і q = BD можна розрахувати за допомогою теореми косинусів для кожного трикутника, що утворені діагоналями і двома сторонами чотирикутника. Таким чином
і
Інші, більш симетричні формули для знаходження довжин діагоналей:
і
Для будь-якого опуклого чотирикутника ABCD, сума квадратів чотирьох сторін дорівнює сумі квадратів двох діагоналей плюс чотири квадрати лінійного сегменту, що сполучає середні точки діагоналей. Тобто
де x це відстань між середніми точками діагоналей.
Це рівняння відоме як теорема Ейлера про чотирикутник і є узагальненням для правила паралелограма.Німецький математик Карл Антон Бретшнейдер[en] в 1842 вивів наступне узагальнення для теореми Птолемея, стосовно добутку діагоналей опуклого чотирикутника
Це рівняння можна вважати аналогічним до теореми косинусів для чотирикутника. Для вписаного чотирикутника, в якого , це рівняння спрощується до pq = ac + bd. Оскільки , таким чином, це також доводить нерівність Птолемея.
Бімедіанами чотирикутника є такі лінійні відрізки, що сполучають середні точки його протилежних сторін. Перетином бімедіан є центроїд вершин чотирикутника.
Середні точки будь-якого чотирикутника (опуклого, увігнутого або перехрещеного) є вершинами паралелограма, що називається паралелограмом Варіньона. Він має наступні властивості:
Дві бімедіани чотирикутника і лінійні відрізки, що сполучають середні точки діагоналей в тому чотирикутнику є конкурентними прямими і всі поділяються навпіл точкою їх перетину.
Для опуклого чотирикутника із сторонами a, b, c і d, довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін a і c дорівнюватиме
де p і q є довжинами діагоналей. Довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін b і d дорівнює
Отже
Це також є наслідком застосування правила паралелограма до паралелограма Варіньона.
Довжину бімедіан також можна виразити через дві протилежні сторони і відстань x між середніми точками діагоналей. Це можна отримати застосувавши теорему Ейлера для чотирикутників щодо вищезгаданих формул. Звідки отримаємо
і
Зверніть увагу, що дві протилежні сторони в цих формулах не є тими двома сторонами, що сполучає бімедіана.
Для опуклого чотирикутника є справедливим наступний дуальний взаємозв'язок між бімедіанами і діагоналями:
Чотири кути простого чотирикутника ABCD задовольняють наступним рівнянням:
і
Також,
В двох останніх формулах, жоден з кутів не може бути прямим кутом, оскільки тангенс 90° є не визначеним.
Якщо опуклий чотирикутник має сторони a, b, c, d і діагоналі p, q, тоді його площа S задовольняє нерівностям
Із формули Бретшнайдера прямо випливає, що площа чотирикутника задовольнятиме нерівності
що буде рівністю тоді й лише тоді коли чотирикутник є вписаним чотирикутником або виродженим, тобто таким що довжина однієї зі сторін дорівнюватиме сумі довжин інших трьох (тобто він перетворився у відрізок, тому його площа дорівнює нулю).
Площа будь-якого чотирикутника також задовольнятиме нерівності
Позначивши периметр чотирикутника як L, матимемо наступне
що буде рівністю лише для випадку із квадратом.
Площа опуклого чотирикутника також задовольняє:
де довжини діагоналей задані як p і q, що буде рівністю лише за умови, що діагоналі перпендикулярні одна одній.
Наслідком із теореми Ейлера про чотирикутники є наступна нерівність
де рівність буде справедливою, тоді й тільки тоді коли чотирикутник є паралелограмом.
Ейлер також узагальнив теорему Птолемея, що є рівністю для вписаного чотирикутника, у нерівність для опуклого чотирикутника. Нерівність задає наступне:
що буде рівністю тоді й лише тоді, коли чотирикутник є вписаним.
.В опуклому багатокутнику бімедіани m, n і діагоналі p, q пов'язані між собою нерівністю
де рівність буде справедливою тоді і лише тоді, коли діагоналі є рівними.
Це прямо випливає із рівності для чотирикутникаСторони a, b, c, і d будь-якого чотирикутника задовольняють нерівностям
і
Чотирикутник, що не знаходиться в площині називається просторовим чотирикутником або косим чотирикутником. Формули для розрахунку його двогранних кутів при відомих довжинах ребер і кутів між двома прилеглими ребрами були отримані при вивчені властивостей молекул, таких як молекули циклобутана, які містять «замкнуте» кільце із чотирьох атомів. Косий чотирикутник разом із своїми діагоналями утворює (не обов'язково правильний) тетраедр, і навпаки, кожен косий чотирикутник утворений із тетраедра, в якого усунута пара протилежних ребер.
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Чотирикутник |
This article uses material from the Wikipedia Українська article Чотирикутник, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Вміст доступний на умовах CC BY-SA 4.0, якщо не вказано інше. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Українська (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.