બીજગણિત

તેના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં, બીજગણિત એ ગાણિતિક ચિહ્નો અને આ ચિહ્નો પર પ્રક્રિયાઓ માટેના નિયમોનો અભ્યાસ છે; તે લગભગ બધી ગણિતની શાખાઓને જોડતી દોરી સમાન છે. તેમાં પ્રારંભિક સમીકરણ ઉકેલવાથી લઈને જૂથો (ગ્રુપ), રિંગ્સ અને ફીલ્ડ્સ જેવા અમૂર્તતાઓના અભ્યાસ સુધીની દરેક બાબત શામેલ છે. બીજગણિતના વધુ પ્રાથમિક ભાગોને પ્રાથમિક બીજગણિત કહેવામાં આવે છે; વધુ અમૂર્ત ભાગોને અમૂર્ત બીજગણિત અથવા આધુનિક બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. પ્રાથમિક બીજગણિત સામાન્ય રીતે ગણિત, વિજ્ઞાન અથવા ઇજનેરીના કોઈપણ અભ્યાસ માટે તેમજ વૈદક અને અર્થશાસ્ત્રમાં ઉપયોગો માટે આવશ્યક માનવામાં આવે છે. અમૂર્ત બીજગણિત એ અદ્યતન ગણિતમાં એક મોટું ક્ષેત્ર છે, જેનો અભ્યાસ મુખ્યત્વે વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે.

પ્રાથમિક બીજગણિત, અમૂર્તતાના ઉપયોગ સંદર્ભે અંકગણિત કરતા અલગ છે, જેમ કે અજ્ઞાત અથવા ઘણી કિંમત લઇ શકે તેવી (ચલ) સંખ્યાઓ માટે અક્ષરોનો ઉપયોગ કરાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ${\displaystyle x+2=5}$માં અક્ષર ${\displaystyle x}$ અજ્ઞાત છે, પરંતુ સરવાળાનો વ્યસ્ત લાગુ કરવાથી તેનું મૂલ્ય મળી શકે છે: ${\displaystyle x=3}$. E = mc^2 માં, અક્ષરો ${\displaystyle E}$ અને ${\displaystyle m}$ ચલો અને અક્ષર ${\displaystyle c}$ શૂન્યાવકાશ માં પ્રકાશ ની ગતિ એક અચળાંક છે . બીજગણિત સૂત્રો લખવા અને સમીકરણો ઉકેલવાની એવી પદ્ધતિઓ આપે છે, જે બધું શબ્દોમાં લખવાની જૂની પદ્ધતિ કરતા વધુ સ્પષ્ટ અને સરળ છે.

બીજગણિત શબ્દનો ઉપયોગ કેટલીક વિશિષ્ટ રીતે પણ થાય છે. અમૂર્ત બીજગણિતમાં એક વિશેષ પ્રકારનાં ગાણિતિક ઘટકને "બીજગણિત" કહેવામાં આવે છે, અને રેખીય બીજગણિત અને બૈજિક સંસ્થિતિવિદ્યા જેવા શબ્દસમૂહોમાં આ શબ્દ વપરાય છે.

જે ગણિતશાસ્ત્રી બીજગણિતમાં સંશોધન કરે તેને બીજગણિતશાસ્ત્રી કહેવામાં આવે છે.

 

બીજગણિત (અલ-જેબ્રા) શબ્દ પર્શિયન ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી અલ-ખ્વારિઝ્મી દ્વારા નવમી સદીની શરૂઆતના પુસ્તક ઇલ્મ અલ-જબ્ર વ-મુકબલા "ફેરગોઠવણી અને સંતુલન કરવાનું વિજ્ઞાન"ના શીર્ષકમાંથી અરબી الجبر માંથી (al-jabr શબ્દશ: "તૂટેલા ભાગોની ફેરગોઠવણી")માંથી બન્યો છે. તેમના પુસ્તકમાં અલ-જબ્ર શબ્દ કોઈ પદ સમીકરણની એક બાજુથી બીજી બાજુ ખસેડવાની ક્રિયા, અને المقابلة અલ-મુકાબલા "સંતુલન" બંને બાજુએ સમાન પદ ઉમેરવાની ક્રિયા માટે વપરાયેલો છે. લેટિનમાં તેને ફક્ત અલજેબેર અથવા અલજેબ્રા સુધી ટૂંકાવવામાં આવ્યો, અને પછી આ શબ્દ છેવટે પંદરમી સદી દરમિયાન સ્પેનિશ, ઇટાલિયન અથવા મધ્યયુગીન લેટિનમાંથી અંગ્રેજી ભાષામાં દાખલ થયો. તે મૂળે તૂટેલા અથવા ખસી ગયેલા હાડકાંને ગોઠવવાની સર્જિકલ પ્રક્રિયા માટે વપરાતો હતો. (અંગ્રેજીમાં) તેનો ગાણિતિક અર્થ સૌપ્રથમ સોળમી સદીમાં નોંધ કરવામાં આવ્યો હતો.

"બીજગણિત" શબ્દના ગણિતમાં એકલા શબ્દ તરીકે અથવા વિશેષણ સાથે ઘણા સંબંધિત અર્થો છે.

• એકલા શબ્દ તરીકે, "બીજગણિત" ગણિતના વિશાળ ભાગને નામ આપે છે.
• બહુવચનમાં અથવા એકલા શબ્દ તરીકે, "એક બીજગણિત" અથવા "બીજગણિતો" એક ચોક્કસ ગાણિતિક માળખું સૂચવે છે, જેની ચોક્કસ વ્યાખ્યા સંદર્ભ પર આધારિત છે. સામાન્ય રીતે, તેમાં સરવાળા, ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકાર ક્રિયા વ્યાખ્યાયિત હોય છે (ક્ષેત્ર પરનું બીજગણિત જુઓ). જ્યારે કેટલાક લેખકો "બીજગણિત" શબ્દનો ઉપયોગ કરે, ત્યારે તેઓ નીચેની વધારાની પૂર્વધારણાઓ ધરાવતો ઉપગણ બનાવે છે: સંમિતતા, પરમ્પરિતતા, એકરૂપ અને/અથવા સાન્ત-પરિમાણીય. સાર્વત્રિક બીજગણિતમાં, શબ્દ "બીજગણિત" ઉપરોક્ત ખ્યાલના સામાન્યકરણનો સંદર્ભ આપે છે, જે n-ચલની ક્રિયાઓને આપે છે.
• વિશેષણ સાથે પણ એ જ તફાવત છે:
  • કેટલાક શબ્દોમાં તેનો અર્થ બીજગણિતનો ભાગ થાય છે, જેમ કે રેખીય બીજગણિત, પ્રારંભિક બીજગણિત (ગણિતના પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમોમાં પ્રાથમિક અને માધ્યમિક શિક્ષણના ભાગ રૂપે ભણાવાતા ચિહ્ન-ફેરબદલીના નિયમો), અથવા અમૂર્ત બીજગણિત (બીજગણિત રચનાઓનો માત્ર તેમના ખાતર અભ્યાસ).
  • કેટલાક શબ્દોમાં તેનો અર્થ થાય છે કેટલાક અમૂર્ત બંધારણનો એકમ, જેમ કે લાઇ બીજગણિત, એક સંમિત બીજગણિત અથવા શિરોબિંદુ ક્રિયા બીજગણિત.
  • કેટલીકવાર એક જ વિશેષણ માટે બંને અર્થ અસ્તિત્વમાં હોય છે, જેમ કે આ વાક્યમાં: પરંપરિત બીજગણિત એ પરંપરિત રિંગ્સનો અભ્યાસ છે, જે પૂર્ણાંકો પરનું પરંપરિત બીજગણિત હોય છે .

બીજગણિતની શરૂઆત અંકગણિત જેવી ગણતરીઓથી થઈ, જ્યાં સંખ્યાઓ માટેના અક્ષરો વપરાયેલા હતા. આના કારણે એવા ગુણધર્મો જે તેમાં ગમે તે સંખ્યા શામેલ હોય તો પણ સાચા હોય, તેના પ્રમેયો બનાવી શકાયા. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિઘાત સમીકરણમાં

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$ 

${\displaystyle a,b,c}$  કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે (${\displaystyle a}$  ${\displaystyle 0}$  હોઈ શકે નહીં), અને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત ચલ ${\displaystyle x}$ ના સમીકરણને સંતોષે તેવા મૂલ્યોને ઝડપથી અને સરળતાથી શોધવા માટે કરી શકાય છે. એટલે કે, સમીકરણના તમામ ઉકેલો શોધવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ઐતિહાસિક રીતે, અને વર્તમાન શિક્ષણમાં, બીજગણિતનો અભ્યાસ ઉપરોક્ત દ્વિઘાત સમીકરણ જેવા સમીકરણોના ઉકેલથી શરૂ થાય છે. પછી વધુ સામાન્ય પ્રશ્નો, જેમ કે "આપેલ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ છે?", "સમીકરણને કુલ કેટલા ઉકેલો છે?", "ઉકેલોના પ્રકાર વિશે શું કહી શકાય?"નો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ પ્રશ્નોના કારણે ક્રમચય, સદિશ, શ્રેણિક અને બહુપદી જેવી બિન-આંકડાકીય રચનાઓ સુધી બીજગણિત વિસ્તર્યું. આ બિન-આંકડાકીય રચનાઓના બંધારણીય ગુણધર્મો પછી જૂથ, રિંગ્સ અને ફીલ્ડ્સ જેવા બૈજિક રચનાઓમાં સાર કરવામાં આવ્યા.

16મી સદી પહેલાં, ગણિત માત્ર બે પેટાક્ષેત્રોમાં વહેંચાયેલું હતું, અંકગણિત અને ભૂમિતિ. કેટલીક પદ્ધતિઓ, જે ખૂબ પહેલા વિકસિત થઈ હતી, અને કદાચ આજકાલ બીજગણિત તરીકે ગણવામાં આવે, પરંતુ ગણિતના પેટાક્ષેત્રો તરીકે બીજગણિતનો અને ટૂંક સમયમાં, કલનશાસ્ત્રનો ઉદભવ માત્ર 16મી અથવા 17મી સદીથી છે. 19મી સદીના ઉત્તરાર્ધથી, ગણિતનાં ઘણાં નવા ક્ષેત્રો આવ્યા, જેમાંથી મોટાભાગના એ અંકગણિત અને ભૂમિતિ બંનેનો ઉપયોગ કર્યો, અને તેમાંના લગભગ બધા જ એ બીજગણિતનો ઉપયોગ કર્યો.

આજે, બીજગણિત એટલું વિકસ્યું છે કે તેમાં ગણિતની ઘણી શાખાઓ શામેલ થાય છે, જે ગણિત વિષયના વર્ગીકરણ માં જોઈ શકાય છે જ્યાં પ્રથમ સ્તરના ક્ષેત્રોમાંથી (બે અંકની એન્ટ્રી) કોઈપણ બીજગણિત કહેવામાં આવતું નથી. આજે બીજગણિતમાં વિભાગ 08-સામાન્ય બૈજિક પ્રણાલીઓ, 12- ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને બહુપદી, 13- પરંપરિત બીજગણિત, 15- રેખીય અને બહુરેખીય બીજગણિત શામેલ છે; શ્રેણિક સિદ્ધાંત, 16- એસોસિએટીવ રિંગ્સ અને બીજગણિત, 17- બિન-એસોસિએટીવ રિંગ્સ અને બીજગણિત, 18- કેટેગરી સિદ્ધાંત; હોમોલોજિકલ બીજગણિત, 19- કે-સિદ્ધાંત અને 20- જૂથ સિદ્ધાંત. બીજગણિતનો ઉપયોગ 11- સંખ્યા સિદ્ધાંત અને 14- બૈજિક ભૂમિતિમાં પણ થાય છે .

• બીજગણિતની રૂપરેખા
• રેખીય બીજગણિતની રૂપરેખા
• બીજગણિત ટાઇલ

ટાંકણા

ટાંકવામાં આવેલા ગ્રંથો

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd આવૃત્તિ). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Gandz, S. (January 1936). "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra". Osiris. 1: 263–277. doi:10.1086/368426. JSTOR 301610.
• Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.

• Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6.
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
• Euler, Leonhard (November 2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. મૂળ માંથી 2011-04-13 પર સંગ્રહિત.
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X.
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). "History Topics: Algebra Index". University of St Andrews. મૂળ માંથી 2016-03-03 પર સંગ્રહિત. મેળવેલ 2011-12-10.
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.

• ખાન એકેડમી: વિભાવનાત્મક વિડિઓઝ અને ગણેલા દાખલાઓ
• ખાન એકેડમી: બીજગણિતની ઉત્પત્તિ, નિશુલ્ક ઓનલાઇન માઇક્રો લેક્ચર્સ સંગ્રહિત ૨૦૧૩-૦૫-૦૯ ના રોજ વેબેક મશિન
• Algebrarules.com બીજગણિતના પાયાના સિદ્ધાંતો શીખવા માટેનો ઓપન સોર્સ સ્ત્રોત
• 17 ઓક્ટોબર 2007ના રોજ, ગ્રેશામ કોલેજ ખાતે રોબિન વિલ્સન દ્વારા અપાયેલું બીજગણિતના 4000 વર્ષનો ઇતિહાસ પ્રવચન, (એમપી3, એમપી4 તેમજ એક ટેક્સ્ટ ફાઇલ તરીકે ડાઉનલોડ માટે ઉપલબ્ધ.)
• Pratt, Vaughan. "બીજગણિત". ઝાલ્ટામાં, એડવર્ડ એન. (સં.) સ્ટેનફોર્ડ ફિલોસોફીનું જ્ઞાનકોશ .