Algebro

Ĉi tiu artikolo estas redaktata de Kani.

Por eviti la riskon de redaktokonflikto, ne redaktu la artikolon. Kontrolu la kronologion kaj forigu la ŝablonon, se necese.

Ĝi estas malfacile difinebla, sed ĝi estas karakterizita per uzo de simboloj por reprezenti iujn operaciojn, kaj de literoj por reprezenti nombrojn aŭ aliajn elementojn.

Vortdeveno

La vorto algebro devenas de la araba الجبر (al-ĝabr "restarigo") de la titolo de la libro al-Kitāb al-muĥtaṣar fī ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala de Al-Ĥorezmi. La vorto origine rilatis al la kirurgia proceduro ripari rompitajn aŭ dismetitajn ostojn. La matematika signifo unue estis registrita en la dek-sesa jarcento.

Klasifikado

Algebro povas esti dividita laŭ jenaj fakoj:

La baza algebro studas la ecojn de kaj operaciojn sur la naturaj nombroj, entjeroj, racionalaj kaj reelaj nombroj, kaj kiel oni povas solvi ekvaciojn kun variabloj.
La lineara algebro estas teorio pri vektoraj spacoj kaj moduloj, kies parto estas teorio de linearaj ekvacioj kaj teorio de matricoj. Ideoj kaj metodoj de lineara algebro uzeblas en diversaj branĉoj de matematiko. Tiel, la ĉefobjekto de la studo de funkcia analizo estas nefiniaj vektoraj spacoj.
La abstrakta algebro studas algebrajn strukturojn kiel grupojn, ringojn kaj korpojn, kiuj ĝeneraligas la konceptojn de la baza algebro.

Historio

Algebro, same kiel aritmetiko kaj geometrio, estas unu el la plej malnovaj branĉoj de matematiko. La nomo devenas de la traktaĵo de mezazia matematikisto Al-Ĥorezmi, kies araba nomo estis al-Kitāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala. La origino de algebro beziĝis sur la klopodoj por solvi matematikajn problemojn inkludantajn aritmetikajn kalkulojn kaj nekonatajn kvantojn. Tiuj disvolviĝoj okazis en la Antikveco en diversaj mondoregionoj kiel Babilonio, Egipto, Grekio, Ĉinio kaj Hindio. Unu el la plej fruaj dokumentoj estas la Papiruso de Rhind el antikva Egiptio, kiu estis verkita ĉirkaŭ 1650 a.n.e. (kvankam pri la preciza dato estas diskutoj) kaj oni studas pri kiel solvi linearajn ekvaciojn, kiel estas esprimita en problemoj kiel "Kvanto; ĝia kvaronon oni aldonas al ĝi. Ĝi iĝas dek kvin. Kio estas la kvanto?" Babiloniaj argiltabuletoj el ĉirkaŭ la sama tempo klarigas metodojn por solvi linearajn kaj kvadratajn polinomiajn ekvaciojn, kiel por ekzemplo la metodon plenigi la kvadraton.

Algebro aperis pro la bezonoj solvi algebrajn ekvaciojn. La solvo de unuagrada kaj duagrada ekvacioj estis konata jam en antikveco. Multaj el tiuj enrigardoj trovis sian vojon el la antikvaj grekoj. Starte en la 6a jarcento a.n.e., ilia ĉefa intereso estis geometrio pli ol algebro, sed ili uzis algebrajn metodojn por solvi geometriajn problemojn. Por ekzemplo, ili studis geometriajn figurojn prenante iliajn longojn kaj areojn kiel nekonataj kvantoj determinotaj, kiel ekzempligis Pitagoro en sia formulado pri la metodo por la diferenco de du kvadratoj kaj poste en la Eŭklido en siaj Elementoj. En la 3a jarcento a.n.e., Diofanto havigis detalan traktadon kiel solvi algebrajn ekvaciojn en serio de libroj nomita "Aritmetiko". Li estis la unua kiu eksperimentis per simbola notacio por esprimi polinomojn. En antikva Ĉinio, la libro "La naŭ ĉapitroj pri la matematika arto" esploris variajn teknikojn por solvi algebrajn ekvaciojn, kiel la uzado de matriksecaj konstruktoj.

Estas polemiko pri je kiu etendo tiuj fruaj disvolviĝoj povus esti konsiderataj parto de algebro mem pli propre ol anstataŭe nur antaŭenirantoj. Ili proponis solvojn al algebraj problemoj sed ili ne komprenis ilin laŭ abstrakta kaj ĝenerala maniero, fokuse anstataŭe al specifaj kazoj kaj aplikaĵoj. Tio ŝanĝiĝis kun la persa matematikisto Al-Ĥorezmi (kelkaj historiistoj konsideras lin la "patro de algebro", dum aliaj rezervas tiun titolon por Diofanto.), kiu publikigis sian verkon Al-Ĝabr (Kompendio pri kalkulado per kompletigo kaj ekvilibro) en la jaro 825 n.e. Ĝi prezentas la unuan detalan traktadon de ĝeneralaj metodoj kiuj povas esti uzataj por manipuli linearajn kaj kvadratajn ekvaciojn per "reduktado" kaj "ekvilibro" en ambaŭ flankoj. Aliaj gravaj kontribuoj al algebro venis el la araba matematikisto Thābit ibn Qurra en la 9-a jarcento kaj la persa matematikisto Omar Ĥajam en la 11a kaj 12a jarcentoj.

En Hindio, Brahmagupta esploris kiel solvo kvadratajn ekvaciojn kaj sistemojn de ekvacioj kun kelkaj variabloj en la 7-a jarcento n.e. Inter liaj aliaj plinovigoj estis la uzado de nulo kaj de negativaj nombroj en algebraj ekvacioj. La hindia matematikisto Mahavira en la 9-a jarcento kaj Bhāskara la 2-a en la 12-a jarcento plue rafinis la metodojn kaj konceptojn de Brahmagupta. En 1247, la ĉina matematikisto Qin Jiushao verkis la "Matematikan traktaĵon en naŭ partoj", kio inkludas algoritmon por la nombra taksado de polinomoj, inklude polinomojn de pli altaj gradoj.

En la 16-a jarcento italaj matematikistoj trovis solvojn de triagrada kaj kvaragrada ekvacioj. The Italian mathematician Fibonacci brought al-Khwarizmi's ideas and techniques to Europe in books like his Liber Abaci.[85] In 1545, the Italian polymath Gerolamo Cardano published his book Ars Magna, which covered many topics in algebra and was the first to present general methods for solving cubic and quartic equations.[86] In the 16th and 17th centuries, the French mathematicians François Viète and René Descartes introduced letters and symbols to denote variables and operations, making it possible to express equations in an abstract and concise manner. Their predecessors had relied on verbal descriptions of problems and solutions.[87] Some historians see this development as a key turning point in the history of algebra and consider what came before it as the prehistory of algebra because it lacked the abstract nature based on symbolic manipulation.[88]

En 1799 Gauss evidentigis, ke “ĉiu algebra ekvacio de n-a grado, havas n radikojn (solvojn), reelajn aŭ imaginarajn”.

En la komenco de 19-a jarcento Niels Abel kaj Évariste Galois pruvis, ke la solvojn de la ekvacio kun pli ol 4 gradoj, ne eblas esprimi per koeficiento de la ekvacio pere de la algebraj operacioj.

En moderna algebro oni pristudas ĝeneralan grupteorion, por kiuj estas difinita algebraj operacioj, similaj laŭ sia propreco al operacioj por nombroj. Tiaj operacioj povas esti plenumitaj por plurtermoj, vektoroj, matricoj.

Algebraj konceptoj

Ekvacio

Ekvacio estas egalaĵo, enhavanta almenaŭ unu nekonatan grandon. Depende de la variabloj ĝi povas esti unuvariabla, duvariabla ktp. La radiko de unuvariabla ekvacio estas tiu valoro de la variablo, kiu transformas ekvacion al vera egalaĵo. Ekz. la radiko de la ekvacio 3x - 1 = 2x + 5 estas la nombro 6, ĉar 3 · 6 - 1 = 2 · 6 + 5.

La aro de la radikoj de iu ekvacio povas esti finia, malplena aŭ nefinia. Ekz. la aro de la radikoj de la ekvacio 5x + 3 = 5x estas malplena (t.e. ĝi ne havas radikon); por la ekvacio (x+2)(x-3)=0, ĝi estas {-2; 3}, kaj por la ekvacio |x| = x, ĝi estas [0; +∞).

Rimarko: funkcio |x| nomiĝas modulo de x kaj difineblas jene: |a|=a, se a>=0 kaj |a|=-a, se a<0.

Solvi ekvacion signifas trovi la aron de ĝiaj radikoj (solvoj). Ekvacioj estas ekvivalentaj, se ili havas la samajn solvojn. Ĝenerale, ĉiu unuvariabla ekvacio povas esti prezentita kiel f(x)=0 kaj la aro de ĝiaj solvoj estas aro de abscisoj de la punktoj, rezultitaj pro la intersekco de la grafiko y=f(x) kun OX akso.

Oni konas sekvajn ekvaciojn en matematiko:

Algebra ekvacio - ekvacio egaliganta polinomon al nulo.
- Lineara unuvariabla ekvacio - $ax+b=0$
- Kvadrata ekvacio - entenanta la kvadraton (duagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto - $ax^{2}+bx+c=0$ .
- Kuba ekvacio - entenanta la kubon (triagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto.
- Dukvadrata ekvacio: $ax^{4}+bx^{2}+c=0$

Esprimo

Esprimo estas sinsekvo da simboloj indikanta matematikan aŭ programan objekton.

Ekzistas grandoj dutipaj: konstanto, kiu havas ĉiam la saman nombran valoron kaj variablo, kiu povas preni iun ajn valoron en donita aro de nombroj, ekz. en la aro de ĉiuj reelaj nombroj aŭ en certa intervalo. Ekzemple, la nombro de la tagoj en semajno estas konstanta (7), same kiel la sumo de la internaj anguloj de triangulo (180^o), sed aera temperaturo aŭ ventoforto estas variabloj.

La kombinaĵo de nombroj kaj signoj, kiu montras kiajn operaciojn oni devas fari kaj per kia ordo per nombroj, estas nomita nombra esprimo. Ekzemple, 17 aŭ (125 - 11,5) · 2 estas nombraj esprimoj. La esprimo, kiu enhavas variablon aŭ variablojn, nomiĝas variablohava esprimo. Ekzemple, x + 3y estas variablohava esprimo, kies signifo estas 7, kiam x=1 kaj y=2.

Du egalaj grandoj kunigitaj per la signo de egaleco, nomiĝas egalaĵo. Ekz. A=B. Du algebraj esprimoj povas esti egalaj sur iu aro de valoroj, se ambaŭ havas la sencon en ĉi tiu aro kaj iliaj ĉiuj konvenaj signifoj estas egalaj. Ekz. (a²-b²) kaj (a-b)(a+b) estas identaj esprimoj, ĉar ĉiuj iliaj signifoj estas egalaj. Du identaj esprimoj kunigitaj per la signo de egaleco estas nomata identaĵo. Tiamaniere a²-b²=(a - b)(a + b) prezentas identaĵon. Ĉiu nombra egalaĵo ankaŭ estas identaĵo. Du grandoj aŭ esprimoj kunigitaj per la signo < aŭ >, nomiĝas neegalaĵo.

Teoremo

La fundamenta teoremo de algebro asertas, ke ĉiu ne-konstanta unu-variabla polinomo kun kompleksaj koeficientoj havas almenaŭ unu kompleksan radikon. Tio inkludas polinomojn kun reelaj koeficientoj, ĉar ĉiu reela nombro estas kompleksa nombro kun sia imaga parto egala al nulo. Alivorte (laŭ difino), la teoremo asertas, ke la kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita.

La teoremo estas vortumita ankaŭ tiel: ĉiu ne-nula, unu-variabla, grado de polinomo n kun kompleksaj koeficientoj havas, kalkulita kun obleco, precize n kompleksajn radikojn.

Ekzemplo de algebraj esprimoj

x+3\,

y^{2}+2x-3\,

z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,

Alĝebro

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Alĝebro.

Alĝebro (aŭ algebrao) estas algebra strukturo, kiu estas kaj ringo kaj vektora spaco. En matematiko, asocieca alĝebro estas vektora spaco (aŭ pli ĝenerale, modulo (modela teorio)) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en distribueca kaj asocieca maniero. Ili estas tial specialaj alĝebroj. (Kelkfoje nomataj "algebro" aŭ "algebrao" anstataŭ "alĝebro".)

En algebro, la asociilo estas trilineara bildigo, kiu estas la diferenco inter la du metodoj krampi produton de tri elementoj per eble neasocieca dulineara operacio.

En algebro, pra-Lie-alĝebro estas ĝeneraligo de la koncepto de asocieca alĝebro, plenumanta malfortigitan aksiomon de asocieco, kies komutilo tamen plenumas la aksiomon de alĝebro de Lie.

En matematiko, la grupa alĝebro estas ĉiu el diversaj konstruoj por asigni al grupo (loke kompakta topologia grupo, aŭ grupo sen topologio, kio estas diskreta grupo) ringon aŭ alĝebron, tiel ke la grupa multipliko igas la multiplikon en la ringo aŭ alĝebro. Tiel ili estas similaj al la grupa ringo asociita al diskreta grupo.

Referencoj

Literaturo

Aguliar, A., Bravo, F. V., Gallegos, H. A., Cerón, M., & Reyes, R. (2009). Álgebra. México, D. F.: Prentice Hall.
Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991.
Baldor, A. (2007). Álgebra. México, D. F.: Grupo Editorial Patria.
Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 3-8348-0776-1, doi:10.1007/978-3-8348-9326-0.
Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2a eld.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, doi:10.1007/978-3-8348-8333-9.
Gandz, S. (January 1936). "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra". Osiris. 1: 263–277. doi:10.1086/368426. JSTOR 301610.
Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.
Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books.
Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, doi:10.1007/978-3-8274-2601-7.
Serge Lang: Algebra. 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-0-387-95385-4.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). "History Topics: Algebra Index". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Archived from the original on 2016-03-03. Retrieved 2011-12-10.
Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.
B. L. van der Waerden: Algebra I, II. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, ISBN 978-3-642-63446-8, doi:10.1007/978-3-662-01513-1, doi:10.1007/978-3-642-58038-3 (zuerst als Moderne Algebra, 1930, 1931).

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

This article uses material from the Wikipedia Esperanto article Algebro, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). La enhavo estas disponebla laŭ CC BY-SA 4.0, se ne estas alia indiko. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Esperanto (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.