અંકગણિત

અંકગણિત એ સંખ્યા સિદ્ધાંતનો એક પ્રારંભિક ભાગ છે, અને સંખ્યા સિધ્ધાંત એ બીજગણિત, ભૂમિતિ અને વિશ્લેષણની સાથે આધુનિક ગણિતના ઉચ્ચ-સ્તરના વિભાગોમાંથી એક માનવામાં આવે છે. અંકગણિત અને ઉચ્ચ અંકગણિત શબ્દો 20મી સદીની શરૂઆત સુધી સંખ્યા સિદ્ધાંતના સમાનાર્થી તરીકે ઉપયોગમાં લેવાતા હતા, અને હજી પણ કેટલીકવાર સંખ્યા સિદ્ધાંતના વિશાળ ભાગ માટે વપરાય છે.

અંકગણિતનો પ્રાગૈતિહાસ એ બહુ થોડી કલાકૃતિઓ સુધી મર્યાદિત છે, જે સરવાળા અને બાદબાકીની સંકલ્પના સૂચવે છે, જેમાંથી સૌથી વધુ પ્રખ્યાત મધ્ય આફ્રિકાથી ઇશંગ્ગો હાડકા છે, જે ઈ.સ. પૂર્વે 20,000 થી 18,000 વચ્ચેના છે. બીસી, જોકે તેનું અર્થઘટન વિવાદિત છે.

સૌથી જુની લેખિત નોંધો સૂચવે છે કે ઇજિપ્તવાસીઓ અને બેબીલોનના લોકો ઈ.સ. પૂર્વે 2000ની સુધીમાં તમામ પ્રાથમિક અંકગણિત ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા હતા. આ કલાકૃતિઓ હંમેશાં કોયડાઓ ઉકેલવા માટે વપરાયેલી ચોક્કસ પ્રક્રિયાને જણાવતી નથી, પરંતુ વપરાયેલી પદ્ધતિઓની જટિલતા ઘણા અંશે જે તે સંખ્યા પદ્ધતિની લાક્ષણિકતાઓ પર આધારિત છે. ઇજિપ્તની અંકો માટેની ચિત્રલિપિ, તે પછીના રોમન અંકોની જેમ જ, ગણતરી માટે ઉપયોગમાં લેવામાં આવતી ટેલિ નિશાનીઓમાંથી ઉતરી આવેલી. બંને કિસ્સાઓમાં, આ મૂળના પરિણામે એવી સંખ્યાઓ પરિણમી કે જે દશાંશ આધારનો ઉપયોગ કરતી, પરંતુ તેમાં સ્થાનકિંમત શામેલ નહોતી. રોમન અંક સાથેની જટિલ ગણતરીઓમાં ગણતરી બોર્ડ (અથવા રોમન મણકાઘોડી)ની સહાયની આવશ્યકતા રહેતી.

પ્રારંભિક સંખ્યા પ્રણાલિઓ કે જેમાં સ્થાનકિંમત શામેલ હતી, તે દશાંશ ન હતી, જેમાં બેબીલોનીયન અંકો માટેની 60 આધારવાળી પ્રણાલી શામેલ છે, અને માયાના અંકો માટેની 20 આધારવાળી પ્રણાલી સામેલ છે. આ સ્થાન-મૂલ્યની સંકલ્પનાને કારણે, વિવિધ મૂલ્યો માટે એક જ અંકોનો ફરીથી ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા એ ગણતરીની સરળ અને વધુ કાર્યક્ષમ પદ્ધતિઓમાં ફાળો આપ્યો.

આધુનિક અંકગણિતના સતત ઐતિહાસિક વિકાસની શરૂઆત પ્રાચીન ગ્રીસની હેલેનિસ્ટીક સંસ્કૃતિથી થાય છે, જો કે તેનો ઉદભવ બેબીલોનીયન અને ઇજિપ્તના કરતાં ખૂબ પાછળથી થયો છે. ઈ.સ. પૂર્વે 300ની આસપાસની યુક્લિડની કૃતિઓ પહેલાં, ગ્રીક ગણિત દાર્શનિક અને રહસ્યવાદી માન્યતાઓથી ઢંકાયેલું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, નિકોમિયસે તેના અંકગણિતનો પરિચય ગ્રંથમાં, અગાઉના સંખ્યાઓના પાયથાગોરસના અભિગમના દ્રષ્ટિકોણ અને એકબીજા સાથેના તેમના સંબંધોનો સારાંશ આપ્યો.

ગ્રીક અંકોનો ઉપયોગ આર્કિમિડીઝ, ડાયોફંટસ અને અન્ય લોકો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો અને તે આધુનિક સ્થાનકિંમત જેવી જ સ્થાનકિંમત પ્રણાલીમાં કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રાચીન ગ્રીક લોકો પાસે હેલેનિસ્ટિક સમયગાળા સુધી શૂન્યનું પ્રતીક ન હતું, અને તેઓએ એકમના સ્થાન માટે, દશક સ્થાન માટે અને શતકના સ્થાન માટે અંકો તરીકે અલગ અલગ પ્રતીકોનો ઉપયોગ કર્યો. હજારના સ્થાન માટે, તેઓ એકમના સ્થાન માટેના પ્રતીકોનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા, અને આ રીતે આગળ વધતા. તેમની સરવાળાની રીત આધુનિક સરવાળાની રીત સમાન હતી, અને તેમની ગુણાકારની રીત થોડી અલગ હતી. તેમનો લાંબો ભાગાકારની પ્રવિધિ આધુનિક પ્રવિધિ સમાન હતી, અને 20મી સદી સુધી ઘણી ઉપયોગમાં લેવામાં આવતી એક પછી એક અંકની વર્ગમૂળ પ્રવિધિ આર્કિમિડીઝને જાણીતી હતી, જેમણે તેની શોધ કરી હશે. તેણે હિરોની ક્રમિક અંદાજની પદ્ધતિ કરતા આ પદ્ધતિને પ્રાધાન્ય આપ્યું કારણ કે એકવાર ગણતરી કરવામાં આવ્યા પછી કોઈ અંક બદલાતો નથી અને 7485696 જેવા પૂર્ણવર્ગના વર્ગમૂળ તુરંત જ મળી આવે છે, જે 2736 છે. 546.934 જેવી અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ માટે, તેઓ અપૂર્ણાંક ભાગ 0.934 માટે 10ની ઋણ ઘાતને બદલે 60ની ઋણ ઘાતનો ઉપયોગ કરતા.

પ્રાચીન ચીની લોકો પાસે ઉચ્ચ અંકગણિતનો અભ્યાસ હતો જે શાંગ વંશથી શરૂ થઈને ટાંગ રાજવંશ દ્વારા ચાલુ રહ્યો, જેમાં સાદી સંખ્યાઓથી લઈને ઉચ્ચ બીજગણિત સુધીનો સમાવેશ થતો હતો. પ્રાચીન ચીની લોકો ગ્રીક લોકો જેવી જ સ્થાનકિંમતનો ઉપયોગ કરતા. તેમની પાસે પણ શૂન્ય માટેના પ્રતીકનો અભાવ હોવાને કારણે, તેમની પાસે એકમના સ્થાન માટે અને દશકના સ્થાન માટે જુદી જુદી સંખ્યાઓ હતો. તેઓ શતકના સ્થાન માટે ફરીથી એકમના સ્થાન માટેનાં પ્રતીકોનો ઉપયોગ કર્યો, અને આવી રીતે આગળ વધ્યા. તેમના પ્રતીકો પ્રાચીન ગણતરી માટેના સળિયા પર આધારિત હતા. ચીની લોકો એ સ્થાન કિંમત સાથે ગણતરી ક્યારે શરૂ કરી તે ચોક્કસ સમય અજ્ઞાત છે, પરંતુ એ જાણીતું છે કે ઈ.સ. પૂર્વે 400થી પહેલાં ઉપયોગ શરુ થયેલો. પ્રાચીન ચિની લોકો ઋણ સંખ્યાઓને સાર્થક રીતે શોધવા, સમજવા અને લાગુ કરવામાં પ્રથમ હતા. મેથમેટિકલ આર્ટના નવ અધ્યાયોમાં (જિયુઝંગ સુંશુ) આ સમજાવવામાં આવ્યું છે, જે લિયુ હુઇ દ્વારા ઈ.સ. પૂર્વે બીજી સદીમાં લખવામાં આવ્યું હતું.

હિન્દુ–અરબી અંક પ્રણાલીના ક્રમિક વિકાસ એ સ્થાન-કિંમતનો ખ્યાલ અને સ્થાન સંકેતને સ્વતંત્ર રીતે શોધ્યો, જેણે દશાંશ આધાર સાથે ગણતરી માટેની સરળ પદ્ધતિઓ અને 0 ને રજૂ કરતા અંકોના ઉપયોગને જોડ્યો. આથી સંખ્યા પદ્ધતિ વડે મોટા અને નાના બંને પૂર્ણાંકોને એક સમાન રીતે રજૂ કરવાનું શક્ય બન્યું- એક એવો અભિગમ જેણે આખરે અન્ય બધી પ્રણાલીઓનું સ્થાન લઇ લીધું. ઈ.સ. છઠી સદીની શરૂઆતમાં ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી આર્યભટ્ટે તેમના કાર્યમાં આ પ્રણાલીના ત્યારના સંસ્કરણનો સમાવેશ કર્યો, અને વિવિધ સંકેતો સાથે પ્રયોગ કર્યા. 7મી સદીમાં, બ્રહ્મગુપ્તએ 0નો એક અલગ સંખ્યા તરીકે ઉપયોગ સ્થાપિત કર્યો, અને શૂન્ય દ્વારા વિભાજનના પરિણામને બાદ કરતાં શૂન્ય અને અન્ય તમામ સંખ્યાઓના ગુણાકાર, ભાગાકાર, સરવાળા અને બાદબાકી માટેના પરિણામો નિર્ધારિત કર્યા. તેમના સમકાલીન, સિરિયાઈ બિશપ સેવરસ સેબોકટ (ઈ.સ. 650) એ કહ્યું કે, "ભારતીયો પાસે ગણતરીની એક એવી પદ્ધતિ છે જેના પૂરતા વખાણ કરવા માટે કોઈ શબ્દ નથી. તેમની ગણિતની તર્કસંગત પદ્ધતિ, અથવા તેમની ગણતરીની પદ્ધતિ. મારો અર્થ એ છે કે નવ પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરતી પ્રણાલી." અરબોએ પણ આ નવી પદ્ધતિ શીખી અને તેને હેસાબ (હિસાબ?) કહ્યું.

 

જોકે કોડેક્સ વિજિલિનેસે ઈ.સ. 976માં (0 સિવાય) અરબી અંકોના પ્રાથમિક સ્વરૂપનું વર્ણન કર્યું હતું, લિયોનાર્દો ઓફ પીઝા (ફિબોનાકી) તેમના પુસ્તક લીબર અબેસીના પ્રકાશન દ્વારા 1202માં સમગ્ર યુરોપમાં તેનો ઉપયોગ ફેલાવવા માટે મુખ્યત્વે જવાબદાર હતા. તેમણે લખ્યું, "ભારતીય લોકોની પદ્ધતિ (લેટિન મોડસ ઇન્ડોરમ) ગણતરી માટેની કોઈપણ જાણીતી પદ્ધતિ કરતા ઘણી સારી છે. તે એક આશ્ચર્યજનક પદ્ધતિ છે. તેઓ નવ આંકડા અને શૂન્યનો ઉપયોગ કરીને તેમની ગણતરીઓ કરે છે."

મધ્ય યુગમાં, અંકગણિત એ યુનિવર્સિટીઓમાં શીખવવામાં આવતી સાત વિનયન કલાઓમાંથી એક હતી.

મધ્યયુગીન ઇસ્લામિક વિશ્વમાં અને પુનર્જાગૃતિ સમયના યુરોપમાં બીજગણિતનો વિકાસ, દશાંશચિહન દ્વારા ગણતરીના પ્રચંડ સરળીકરણને આભારી હતો.

સંખ્યાત્મક ગણતરીમાં સહાય માટે વિવિધ પ્રકારના સાધનોની શોધ અને વ્યાપકપણે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. પુનર્જાગૃતિ પહેલાં, તેઓ વિવિધ પ્રકારની મણકાઘોડી હતી. વધુ તાજેતરનાં ઉદાહરણોમાં ગણતરી માટેની ફૂટપટ્ટી, નોમોગ્રામ્સ અને પાસ્કલના ગણકયંત્ર જેવા મિકેનિકલ ગણકયંત્ર શામેલ છે. હાલમાં, તેઓ ઇલેક્ટ્રોનિક ગણકયંત્ર અને સંગણકનો પણ સમાવેશ થાય છે.

ગણિતમાં પ્રાથમિક શિક્ષણ ઘણીવાર પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, પૂર્ણાંકો, અપૂર્ણાંક અને દશાંશ (દશાંશ સ્થાન-કિંમત પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીને)ના અંકગણિત માટેના અલ્ગોરિધમ્સ પર વધુ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. આ અભ્યાસને કેટલીકવાર અલ્ગોરિઝમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

આ ગાણિતીક ક્રિયાવિધિ (અલ્ગોરિધમ)ના મુશ્કેલ અને બિન-પ્રસ્તાવિક દેખાવને લીધે શિક્ષકોએ લાંબા સમયથી આ અભ્યાસક્રમ પર સવાલ ઉભા કર્યા છે, અને વધુ કેન્દ્રીય અને સાહજિક ગાણિતિક વિચારોના શરૂઆતથી જ શિક્ષણની હિમાયત કરી છે. આ દિશામાં એક નોંધપાત્ર ચળવળ એ 1960 અને 1970ના દાયકાનું નવું ગણિત હતું, જેણે ઉચ્ચ ગણિતમાં પ્રચલિત ચલણ અનુસાર ગણ સિદ્ધાંતથી પૂર્વધારણાઓ વડે અંકગણિત શીખવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો.

વધુમાં, ઇસ્લામિક વિદ્વાનો દ્વારા પણ Zakat અને Irth સંબંધિત ચુકાદાઓનો ઉપયોગ શીખવવા માટે અંકગણિતનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આ અબ્દ-અલ-ફત્તાહ-અલ-દુમ્યાતી દ્વારા ઉત્તમ અંકગણિત તરીકે પ્રકાશિત પુસ્તકમાં કરવામાં આવ્યું હતું.

આ પુસ્તક ગણિતના પાયાથી શરૂ થાય છે અને પછીના પ્રકરણોમાં તેના ઉપયોગો તરફ આગળ વધે છે.

• ઢાંચો:Portal inline
• ગણિતના વિષયોની સૂચિ
• અંકગણિતની રૂપરેખા
• સ્લાઇડનો નિયમ

સંબંધિત વિષયો