સંકર સંખ્યાઓ

કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા આ સમીકરણને સંતોષતી ન હોવાથી, ${\displaystyle i}$ને કાલ્પનિક સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. સંકર સંખ્યા a + b${\displaystyle i}$માં, aને વાસ્તવિક ભાગ કહેવામાં આવે છે, અને bને કાલ્પનિક ભાગ કહેવામાં આવે છે. ઐતિહાસિક નામકરણ "કાલ્પનિક" હોવા છતાં, સંકર સંખ્યાઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જેટલી જ "વાસ્તવિક" ગણવામાં આવે છે, અને કુદરતી વિશ્વના વૈજ્ઞાનિક વર્ણનના ઘણા પાસાઓમાં તે મૂળભૂત છે.

સંકર સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યામાં જેમના કોઈ ઉકેલો નથી તેવા કેટલાક સમીકરણોના ઉકેલો આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ

${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$

ના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી, કારણ કે વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોતો નથી. સંકર સંખ્યાઓ આ સમીકરણનો ઉકેલ પૂરો પાડે છે. તેના માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો અનિશ્ચિત ${\displaystyle i}$ (જેને કેટલીકવાર કાલ્પનિક એકમ કહેવામાં આવે છે) જે ${\displaystyle i}$^2 = −1 ને સંતોષવા માટે લેવામાં આવે છે, વડે વિસ્તાર કરવો, જેથી ઉપર જેવા સમીકરણોના ઉકેલો મળી શકે. આ કિસ્સામાં ઉકેલો −1 + 3${\displaystyle i}$ અને −1 − 3${\displaystyle i}$ છે, જે ${\displaystyle i}$^2 = −1 નો ઉપયોગ કરીને ચકાસી શકાય છે:

${\displaystyle ((-1+3i)+1)^{2}=(3i)^{2}=\left(3^{2}\right)\left(i^{2}\right)=9(-1)=-9,}$
${\displaystyle ((-1-3i)+1)^{2}=(-3i)^{2}=(-3)^{2}\left(i^{2}\right)=9(-1)=-9.}$

બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ, એક જ ચલના વાસ્તવિક અથવા સંકર સહગુણકવાળા તમામ બહુપદી સમીકરણો સંકર સંખ્યામાં ઉકેલ ધરાવે છે. તેનાથી વિપરિત, વાસ્તવિક સહગુણકવાળા કેટલાક બહુપદી સમીકરણો વાસ્તવિક સંખ્યામાં કોઈ ઉકેલ ધરાવતા નથી. 16મી સદીના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ગિરોલામો કાર્ડાનોને ઘન સમીકરણોના ઉકેલો શોધવાના પ્રયત્નોમાં સંકર સંખ્યાઓ રજૂ કરવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે.

ઔપચારિક રીતે, સંકર સંખ્યા પદ્ધતિને કાલ્પનિક સંખ્યા ${\displaystyle i}$ દ્વારા સામાન્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓના બૈજિક વિસ્તરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સંકર સંખ્યાઓને, ${\displaystyle i}$^2 = −1 નિયમ સાથે, ચલ ${\displaystyle i}$માં બહુપદી તરીકે, ઉમેરી શકાય, બાદબાકી કરી શકાય અને ગુણાકાર કરી શકાય. વળી, સંકર સંખ્યાઓને અશુન્ય સંકર સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજિત પણ કરી શકાય છે. એકંદરે, સંકર સંખ્યા પદ્ધતિ એક ફિલ્ડ છે .

ભૌમિતિક રીતે, સંકર સંખ્યાઓ એક પરિમાણીય સંખ્યા રેખાનો ખ્યાલ બે પરિમાણીય સંકર સમતલમાં, વાસ્તવિક ભાગ માટે આડા અક્ષ અને કાલ્પનિક ભાગ માટે ઉભા અક્ષનો ઉપયોગ કરીને, વિસ્તારે છે. સંકર સંખ્યા a + bi સંકર સમતલમાં બિંદુ (a, b) સાથે નિરૂપી છે. જે સંકર સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોય તે સંપૂર્ણ કાલ્પનિક હોવાનું કહેવાય છે; આ સંખ્યા માટેના બિંદુઓ સંકર સમતલની ઉભી અક્ષ પર સ્થિત છે. જે સંકર સંખ્યાનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોય, તે વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે ગણી શકાય છે; તેના બિંદુઓ સંકર સમતલની આડી અક્ષ પર છે. સંકર સંખ્યાઓને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં પણ રજૂ કરી શકાય છે, જે દરેક સંકર સંખ્યાને તેના ઉદગમથી અંતર (તેના માન) સાથે અને આ સંકર સંખ્યાના આર્ગ્યુમેન્ટ તરીકે ઓળખાતા ચોક્કસ કોણ સ્વરૂપે નિરૂપે છે.

સંકર સંખ્યાઓની સંકર સમતલ સાથેની ભૌમિતિક ઓળખ, જે યુક્લિડીયન સમતલ (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) છે, તેમની રચનાને વાસ્તવિક 2-પરિમાણીય સદિશ અવકાશ તરીકે સ્પષ્ટ કરે છે. સંકર સંખ્યાના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને કેનોનિકલ માનક ધોરણના આધારે સદિશના ઘટકો તરીકે લઈ શકાય છે. સંકર સંખ્યાઓનો સરવાળો આ રીતે તરત જ સદિશના સામાન્ય ઘટક મુજબના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. જો કે, સંકર સંખ્યાઓ વધુ કેટલાક કામગીરી ધરાવતા વધુ સમૃદ્ધ બીજગણિત રચનાને જન્મ આપે છે, જે સદિશ અવકાશમાં જરૂરી નથી; ઉદાહરણ તરીકે, બે સંકર સંખ્યાઓના ગુણાકારથી હંમેશાં એક સંકર સંખ્યા મળે છે, અને અદિશ વડે ગુણાકાર, અદિશ ગુણાકાર અથવા અન્ય (સેસ્કી) રેખીય સ્વરૂપો જેવા સદિશને લગતા સામાન્ય "ગુણાકારો", ઘણા સદિશ અવકાશમાં ઉપલબ્ધ છે તેના સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, અને વ્યાપક રીતે વપરાતા સદિશ ગુણાકાર ફક્ત ત્રણ પરિમાણોમાં દિશા- નિર્ભર સ્વરૂપમાં અસ્તિત્વમાં છે.