จำนวนเชิงซ้อน

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \mathbb {C} }$  ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ ${\displaystyle (a,b)}$  ทั้งหมดโดยที่ ${\displaystyle a}$  และ ${\displaystyle b}$  เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ ${\displaystyle +}$  (การบวก) และ ${\displaystyle \cdot }$  (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ ${\displaystyle (a,b)}$  และ ${\displaystyle (c,d)}$  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}$ 
${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,}$ 

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ ${\displaystyle (0,0)}$ 
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ ${\displaystyle (1,0)}$ 
• อินเวอร์สการบวกของ ${\displaystyle z=(a,b)}$  (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle -z}$ ) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก ${\displaystyle z=(a,b)\neq (0,0)}$  อินเวอร์สการคูณของ ${\displaystyle z}$  (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle z^{-1}}$ ) คือ ${\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)}$ 

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c\,}$  เมื่อ ${\displaystyle c}$  เป็นจำนวนจริงและ ${\displaystyle (a,b)}$  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle (1,0)}$  และ ${\displaystyle (0,1)}$  กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

${\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)\,}$ 

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ${\displaystyle (a,0)=a(1,0)}$  ว่าเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle a}$  (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle i}$  แทน ${\displaystyle (0,1)}$  จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,b)}$  จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ${\displaystyle a+bi}$  ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า ${\displaystyle i^{2}=(-1,0)=-1}$  นั่นคือ ${\displaystyle i}$  เป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^{2}+1=0}$  ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม ${\displaystyle x^{2}+1}$  อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$  กับไอดีล ${\displaystyle (x^{2}+1)}$  เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ 

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า ${\displaystyle z=a+bi\,}$  เราเรียก ${\displaystyle a}$  ว่า ส่วนจริง ของ ${\displaystyle z}$  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \Re (z)}$  และเราเรียก ${\displaystyle b}$  ว่า ส่วนจินตภาพ ของ ${\displaystyle z}$  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \Im (z)}$  เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า ${\displaystyle z=a+bi\,}$  เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ ${\displaystyle z}$  คือ ${\displaystyle a-bi\,}$  เราเขียนแทนสังยุคของ ${\displaystyle z}$  ด้วย ${\displaystyle {\bar {z}}}$  สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. ${\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}}$ 
2. ${\displaystyle {\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z}}_{1}{\bar {z}}_{2}}$ 
3. ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2\Re (z)}$ 
4. ${\displaystyle z-{\bar {z}}=2\Im (z)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z=a+bi\,}$  เขียนแทนด้วย ${\displaystyle |z|}$  คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$  เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. ${\displaystyle \left|z\right\vert =\left|{\bar {z}}\right\vert }$ 
3. ${\displaystyle \left|z_{1}z_{2}\right\vert =\left|z_{1}\right\vert \left|z_{2}\right\vert }$ 
4. ${\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right\vert \leq \;\left|z_{1}\right\vert +\left|z_{2}\right\vert }$  (อสมการสามเหลี่ยม)
5. ${\displaystyle \left|z_{1}-z_{2}\right\vert \geq \;{\big |}\left|z_{1}\right\vert -\left|z_{2}\right\vert {\big |}}$ 
6. ${\displaystyle \left|z\right\vert =0}$  ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle z=0\,}$ 

เมื่อ ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle z_{1}}$ , และ ${\displaystyle z_{2}}$  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง ${\displaystyle a}$  ด้วยจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,0)}$  ทำให้เราได้ว่าถ้า ${\displaystyle z\neq 0}$ 

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$ 

ระนาบเชิงซ้อน

 

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z=a+bi\,}$  คือ ${\displaystyle (a,b)}$  ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ ${\displaystyle (r,\varphi )\,}$  เมื่อ ${\displaystyle r=|z|}$  และ ${\displaystyle \varphi \,}$  เป็นมุมที่เวกเตอร์ ${\displaystyle (a,b)}$  ทำกับแกน ${\displaystyle x}$  ในหน่วยเรเดียน เราเรียก ${\displaystyle \varphi \,}$  ว่า อาร์กิวเมนต์ของ ${\displaystyle z}$  และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \arg(z)}$  สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ ${\displaystyle 2\pi }$  จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

${\displaystyle z=a+bi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }\,}$ 

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

${\displaystyle r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))}$ 

และ

${\displaystyle {\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))}$ 

เมื่อ ${\displaystyle r_{2}\neq 0}$  ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย ${\displaystyle i=e^{i\pi /2}}$  จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ ${\displaystyle i^{2}=-1}$  ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ ${\displaystyle (0,1)}$  ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "

การเรียงลำดับ

${\displaystyle \mathbb {C} }$  ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ${\displaystyle \mathbb {C} }$  เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน ${\displaystyle \mathbb {R} }$  เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (${\displaystyle \mathbb {R} }$ -linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

${\displaystyle f(z)=az+b{\bar {z}}}$ 

เมื่อ ${\displaystyle a}$  และ ${\displaystyle b}$  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{1}(z)=a(z)}$  เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{2}(z)=b{\bar {z}}}$  นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า ${\displaystyle f_{1}}$  เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน ${\displaystyle \mathbb {C} }$  และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ ${\displaystyle f_{2}}$  ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

สมบัติเชิงพีชคณิต

${\displaystyle \mathbb {C} }$  (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ ${\displaystyle C}$ ) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

• มีแคแรกเทอริสติก 0
• มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใด ๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
• มีสมบัติการปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ ${\displaystyle \mathbb {C} }$  จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ ${\displaystyle \mathbb {C} }$  บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง