ចំនួនកុំផ្លិច

• ឯកតានិមិ្មត ${\displaystyle i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1}$ 

${\displaystyle Z=a+bi.\,}$ 
a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)
b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)

ប្រមាណវិធី

${\displaystyle i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1}$ ៖

• ផលបូក: ${\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$ 
• ផលដក: ${\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}$ 
• ផលគុណ: ${\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}$ 
• ផលចែក: ${\displaystyle \,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\,}$ 

ប្លង់កុំផ្លិច

 

តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$ 
${\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}}$ 
${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}$ 
${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$ 
${\displaystyle {\bar {z}}=z}$    ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ
${\displaystyle {\bar {z}}=-z}$    ប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ
${\displaystyle |z|=|{\bar {z}}|}$ 
${\displaystyle |z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}}$ 
${\displaystyle z^{-1}={\bar {z}}\cdot |z|^{-2}}$    ប្រសិនបើ z ខុសពីសូន្យ

ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច

${\displaystyle {\begin{aligned}{a+bi \over c+di}&={(a+bi)(c-di) \over (c+di)(c-di)}={(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\\&=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+i\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right).\,\end{aligned}}}$ 

កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតម្រុយដេកាត

${\displaystyle x=r\cos \varphi }$ 
${\displaystyle y=r\sin \varphi }$ 

ផ្ទុយមកវិញ

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ 
${\displaystyle \varphi =\arg(z)=arctan{\frac {y}{x}}}$ 

${\displaystyle x+iy=re^{i\varphi }\!}$ 

${\displaystyle a+bi=r(cos\alpha +isin\alpha )\!}$ , ដែល ${\displaystyle r\!}$  ជាម៉ូឌុលនៃ​ ${\displaystyle a+bi\!}$  ។
${\displaystyle r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\!}$ 

${\displaystyle cos\alpha ={\frac {a}{r}};sin\alpha ={\frac {b}{r}}\!}$ 

បើគេមានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច ${\displaystyle z_{1}\!}$  និង ${\displaystyle z_{2}\!}$  ដែល ${\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\alpha _{1}+isin\alpha _{1})\!}$  និង ${\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\alpha _{2}+isin\alpha _{2})\!}$  គេបាន​

ក)​ ${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha _{1}+\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!}$ 

ខ) ${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}[cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}-\alpha _{2})]\!}$ 

បើ ${\displaystyle z\!}$  ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន ${\displaystyle |z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}\!}$  ។

គេឲ្យ ${\displaystyle w\!}$  និង ${\displaystyle z\!}$  ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន

ក)​ ${\displaystyle |wz|=|w|\cdot |z|\!}$ 
ខ) ${\displaystyle |{\frac {w}{z}}|={\frac {|w|}{|z|}};z\neq 0\!}$ 
គ) ${\displaystyle |w+z|\leq |w|+|z|\!}$ 

គេមាន ${\displaystyle Z=r(cos\alpha +isin\alpha )\!}$  ។

តាមរូបមន្ត ${\displaystyle Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha _{1}+\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!}$ 

គេបាន ${\displaystyle ZZ=rr[cos(\alpha +\alpha )+isin(\alpha +\alpha )]\!}$ 

${\displaystyle Z^{2}=r^{2}(cos2\alpha +isin2\alpha )\!}$ 

${\displaystyle Z^{3}=Z^{2}\cdot Z=(r^{2}\cdot r)[cos(2\alpha +\alpha )+isin(2\alpha +\alpha )]=r^{3}(cos3\alpha +isin3\alpha )\!}$ 

........................................................................................

${\displaystyle Z^{n}=Z^{n-1}\cdot Z=r^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}$ 

${\displaystyle Z^{n}=[r(cos\alpha +isin\alpha )]^{n}=r^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}$  គ្រប់ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} \!}$  គេទាញបាន ${\displaystyle (cos\alpha +isin\alpha )^{n}=(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}$ ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។

ឧទាហរណ៍​: គណនា​ ${\displaystyle (1+i)^{50}\!}$ 

តាង ${\displaystyle z=1+i\!}$  គេបាន ${\displaystyle z={\sqrt {2}}(cos{\frac {\pi }{4}}+isin{\frac {\pi }{4}})\!}$ 
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ

${\displaystyle (i+i)^{50}={\sqrt {2}}^{50}[cos(50\cdot {\frac {\pi }{4}})+isin(50\cdot {\frac {\pi }{4}})]=2^{25}(cos{\frac {25\pi }{2}}+isin{\frac {25\pi }{2}})=2^{25}[cos(12\pi +{\frac {\pi }{2}})+isin(12\pi +{\frac {\pi }{2}})]=2^{25}(cos{\frac {\pi }{2}}+isin{\frac {\pi }{2}})\!}$ 

ដូចនេះ ${\displaystyle (1+i)^{50}=2^{25}i=33554432i\!}$ 

បើចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ Z​ មានឫសទី n គឺ W គេបាន ${\displaystyle W^{n}=Z\!}$ ​។ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ ${\displaystyle Z=r(cos\theta +isin\theta )\!}$  និង ${\displaystyle W=s(cos\alpha +isin\alpha )\!}$ 

គេបាន ${\displaystyle W^{n}=s^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}$ 

ដោយ ${\displaystyle W^{n}=Z\!}$  គេបាន ${\displaystyle s^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )=r(cos\theta +isin\theta )\!}$ 

ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។

ដូចនេះ ${\displaystyle s^{n}=r\!}$  ។ ដោយ ${\displaystyle s>0\!}$  និង ${\displaystyle r>0\!}$  នាំឲ្យ ${\displaystyle s={\sqrt[{n}]{r}}\!}$  ។

${\displaystyle cosn\alpha +isinn\alpha =cos\theta +isin\theta \!}$ 

គេបាន ${\displaystyle cosn\alpha =cos\theta \!}$  នាំឲ្យ ${\displaystyle n\alpha =\theta +2k\pi \ ;\ \alpha ={\frac {\theta +2k\pi }{n}}\ ;\ k\in \mathbb {Z} \!}$ ។

ជំនួស ${\displaystyle \alpha ={\frac {\theta +2k\pi }{n}}\!}$  និង ${\displaystyle s={\sqrt[{n}]{r}}\!}$  ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច ${\displaystyle W}$  គេបាន ${\displaystyle w={\sqrt[{n}]{r}}[cos({\frac {\theta +2k\pi }{n}})+isin({\frac {\theta +2k\pi }{n}})]\!}$  ។

បើ​គេជំនួស ${\displaystyle k=0;1;2;...;n-1}$  គេបាន n ឫសទី n​ ផ្សេងៗគ្នានៃ Z​ ។

បើ ${\displaystyle Z=r(cos\theta +isin\theta )\!}$  ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ​ ហើយ​ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានឫសទី n គឺ​ :

${\displaystyle w_{k}={\sqrt[{n}]{r}}[cos({\frac {\theta +2k\pi }{n}})+isin({\frac {\theta +2k\pi }{n}})]\!}$  បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានឫសទី n គឺ ${\displaystyle w_{0};w_{1};w_{2};...;w_{n-1}\!}$ ​ ។

ឧទាហរណ៍ :​ គណនាឫសទី 6 នៃ -1

តាង Z = -1 + 0i គេបាន ${\displaystyle r={\sqrt {1}}=1}$  ។

${\displaystyle cos\theta ={\frac {a}{r}}=-1}$  និង ${\displaystyle sin\theta ={\frac {b}{r}}=0}$  នាំអោយ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ។

${\displaystyle Z=-1+0i=(cos\pi +isin\pi )\!}$ 

n = 6 យើងគណនាឫសទី 6 នៃ​ Z = -1 + 0i ។

${\displaystyle w_{k}=cos({\frac {\pi +2k\pi }{6}})+isin({\frac {\pi +2k\pi }{6}})\!}$ 

${\displaystyle w_{k}=cos({\frac {\pi }{6}}+{\frac {k\pi }{3}})+isin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {k\pi }{3}})\!}$  បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន

k=0​ នាំឲ្យ ${\displaystyle w_{0}=cos{\frac {\pi }{6}}+isin{\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i\!}$ 

k=1 នាំឲ្យ ${\displaystyle w_{1}=cos{\frac {\pi }{2}}+isin{\frac {\pi }{2}}=i}$ 

k=2 នាំឲ្យ ${\displaystyle w_{2}=cos{\frac {5\pi }{6}}+isin{\frac {5\pi }{6}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}$ 

k=3 នាំឲ្យ ${\displaystyle w_{3}=cos{\frac {7\pi }{6}}+isin{\frac {7\pi }{6}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}$ 

k=4 នាំឲ្យ ${\displaystyle w_{4}=cos{\frac {3\pi }{2}}+isin{\frac {3\pi }{2}}=-i}$ 

k=5 នាំឲ្យ ${\displaystyle w_{5}=cos{\frac {11\pi }{6}}+isin{\frac {11\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}$