Ածանցյալ

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։ Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։

• ${\displaystyle f}$  ֆունկցիան ածանցելի է ${\displaystyle X_{0}}$  կետում, եթե կամայական ${\displaystyle h_{n}}$  անվերջ փոքրի համար զուգամետ է ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+2c-2_{(}2f-2n)h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}$  հաջորդականությունը։
• Եթե ${\displaystyle f}$  ֆունկցիան ածանցելի է ${\displaystyle X_{0}}$  կետում, ապա ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}$  հաջորդականության սահմանն անվանում են ${\displaystyle f}$  ֆունկցիայի ածանցյալ ${\displaystyle x_{0}}$  կետում և նշանակում ${\displaystyle f'(x_{0})}$  (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ ${\displaystyle x_{0}}$ )

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}$ ։

Դիցուք ${\displaystyle D}$ -ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում ${\displaystyle y=f(x)}$  ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր ${\displaystyle x}$  կետի համապատասխանեցնելով ${\displaystyle f'(x)}$  թիվը, կստանանք ${\displaystyle D}$  բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են ${\displaystyle y=f(x)}$  ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝ ${\displaystyle f'}$  կամ ${\displaystyle y'}$ ։

• ${\displaystyle s(t)}$  օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի ${\displaystyle V(t)}$  արագությունը ժամանակի ${\displaystyle t}$  պահին հավասար է ${\displaystyle s(t)}$  ֆունկցիայի ածանցյալին՝

${\displaystyle V(t)=s'(t)}$ ։

• Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է ${\displaystyle V(t)}$  օրենքով, ապա նրա ${\displaystyle a(t)}$  արագացումը ժամանակի ${\displaystyle t}$  պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

${\displaystyle a(t)=V'(t)}$ 

${\displaystyle f(x)=a}$  հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած ${\displaystyle x_{0}}$  կետի և կամայական ${\displaystyle h_{n}}$  անվերջ փոքրի համար՝

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {a-a}{h_{n}}}=0:}$ 

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։

${\displaystyle f(x)=kx+b}$  գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած ${\displaystyle x_{0}}$  կետի և կամայական ${\displaystyle h_{n}}$  անվերջ փոքրի համար՝

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {k(x+h_{n})+b-kx-b}{h_{n}}}=k:}$ 

Հետևաբար, ${\displaystyle (kx+b)'=k}$ ։

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  ֆունկցիայի ածանցյալը՝

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {(x+h_{n})^{2}-x^{2}}{h_{n}}}=2x+h_{n}\rightarrow 2x:}$ 

Հետևաբար՝ ${\displaystyle (x^{2})'=2x}$ ։

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$  ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր ${\displaystyle x}$  կետում՝

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\frac {1}{x+h_{n}}}-{\frac {1}{x}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{x(x+h_{n})}}:}$ 

Եթե ${\displaystyle h_{n}}$ -ն անվերջ փոքր է, ապա ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(x+h_{n})=x}$ ։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}\rightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}:}$ 

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$  ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}:}$ 

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$  ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր ${\displaystyle x}$  կետում՝

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}}}{h_{n}}}={\frac {({\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}{h_{n}({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}}}}:}$ 

Հաշվի առնելով, որ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {(x+h_{n})}}={\sqrt {x}}}$ , ստանում ենք՝

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ ։

Հետևաբար ${\displaystyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ ։

• Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։

Ապացուցում

Եթե ${\displaystyle f}$  ֆունկցիան ածանցելի է ${\displaystyle x_{0}}$  կետում, ապա կամայական ${\displaystyle h_{n}}$  անվերջ փոքրի համար

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}-f'(x_{0})}$  հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

${\displaystyle f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot h_{n}+\beta _{n}\cdot h_{n}}$ ։

Քանի որ ${\displaystyle h_{n}}$  և ${\displaystyle \beta _{n}}$  հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն ${\displaystyle f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}$  հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝ ${\displaystyle f}$  ֆունկցիան ${\displaystyle x_{0}}$  կետում անընդհատ է։

• Եթե ${\displaystyle f}$  և ${\displaystyle g}$  ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ ${\displaystyle k}$ -ն հաստատուն է, ապա ${\displaystyle k\cdot f,f+g}$  և ${\displaystyle f-g}$  ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

${\displaystyle (k\cdot f)'=k\cdot f',~~~(f+g)'=f'+g',~~~(f-g)'=f'-g'}$ ։

Ապացուցում

Դիցուք ${\displaystyle f}$  և ${\displaystyle g}$  ֆունկցիաներն ածանցելի են ${\displaystyle x}$  կետում, և ${\displaystyle h_{n}}$ -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

${\displaystyle {\frac {(f(x+h_{n})+g(x+h_{n}))-(f(x)+g(x))}{h_{n}}}={\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}\rightarrow f'(x)+g'(x):}$ 

Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը

Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական ${\displaystyle t}$  պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից ${\displaystyle s_{1}(t)}$  է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝ ${\displaystyle s_{2}(t)}$  է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է ${\displaystyle V_{1}(t)=s'_{1}(t)}$ արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝ ${\displaystyle V_{2}(t)=s'_{2}(t)}$  արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա ${\displaystyle t}$  պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝${\displaystyle s(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}$ , իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ ${\displaystyle s(t)=s_{1}(t)-s_{2}(t)}$ ։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից կհեռանա

${\displaystyle V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)+s'_{2}(t)=V_{1}(t)+V_{2}(t)}$ 

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

${\displaystyle V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)-s'_{2}(t)=V_{1}(t)-V_{2}(t)}$ 

• Եթե ${\displaystyle f}$  և ${\displaystyle g}$  ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ${\displaystyle f\cdot g}$  ֆունկցիան, ընդ որում՝

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}$ ։

Ապացուցում

Դիցուք ${\displaystyle f}$  և ${\displaystyle g}$  ֆունկցիաներն ածանցելի են ${\displaystyle x}$  կետում, և ${\displaystyle h_{n}}$ -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

${\displaystyle f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)=g(x+h_{n})\cdot [f(x+h_{n})-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h_{n})-g(x)]:}$ 

Քանի որ ${\displaystyle g}$  ֆունկցիան ${\displaystyle x}$  կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է ${\displaystyle x}$  կետում։ Հետևաբար, ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):}$  Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+f(x)\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x):}$ 

Թեորեմ 1։ Եթե ${\displaystyle g}$  ֆունկցիան ածանցելի է ${\displaystyle x}$  կետում և ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ${\displaystyle {\frac {1}{g}}}$  ֆունկցիան, ընդ որում

${\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'=-{\frac {g'}{g^{2}}}}$ ։

Ապացուցում

Դիցուք ${\displaystyle h_{n}}$ -ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{g(x+h_{n})}}-{\frac {1}{g(x)}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{g(x)g(x+h_{n})}}\cdot {\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}:}$ 

Քանի որ ${\displaystyle g}$  ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է ${\displaystyle x}$  կետում, ուստի

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=g'(x),~~~\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):}$ 

Թեորեմ 2։ Եթե ${\displaystyle f}$  և ${\displaystyle g}$  ֆունկցիաններն ածանցելի են ${\displaystyle x}$  կետում և ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ${\displaystyle {\frac {f}{g}}}$  ֆունկցիան, ընդ որում

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}}}$ ։

Ապացուցում

Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)'=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)}{g(x)}}+f(x)\left(-{\frac {g'(x)}{g^{2}(x)}}\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}:}$ 

Թեորեմ 1։ Եթե ${\displaystyle t=g(x)}$  ֆունկցիան ածանցելի է ${\displaystyle x_{0}}$  կետում, իսկ ${\displaystyle y=f(t)}$  ֆունկցիան՝ ${\displaystyle t_{0}=g(x_{0})}$  կետում, ապա ${\displaystyle F=f\circ g}$  ֆունկցիան ածանցելի է ${\displaystyle x_{0}}$  կետում, և

${\displaystyle F'(x_{0})=f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0}):}$ 

Թեորեմ 2։ Եթե ${\displaystyle f}$  ֆունկցիան ածանցելի է, ապա ${\displaystyle F(x)=f(kx+b)}$  ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

${\displaystyle F'(x)=k\cdot f'(kx+b):}$ 

Ապացուցում

Դիցուք ${\displaystyle h_{n}}$ -ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև ${\displaystyle k\cdot h_{n}}$  հաջորդականությունը, ուստի

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {F(x+h_{n})-F(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+kh_{n}+b)-f(kx+b)}{h_{n}}}=k\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+b+kh_{n})-f(kx+b)}{kh_{n}}}=k\cdot f'(kx+b):}$ 

• ${\displaystyle (x^{a})'=a\cdot x^{a-1}}$ 
• ${\displaystyle (\sin x)'=\cos x}$ 
• ${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}$ 
• ${\displaystyle (\mathrm {tg} \ x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$ 
• ${\displaystyle (\mathrm {ctg} \ x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}$ 
• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$ 
• ${\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}$ 
• ${\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}$ 
• ${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}$ 
• ${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ 
• ${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ 
• ${\displaystyle (\mathrm {arctg} \ x)'={\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}$ 
• ${\displaystyle (\mathrm {arcctg} \ x)'=-{\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}$