Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Сығарылма.
Әгәр ундай сикләнмә булһа, функция үҫешенең уның аргументы үҫешенә сағыштырмаһының, аргумент үҫеше нулгә ынтылғандағы сикләнмәһе тип билдәләнә. Сикле сығарылмаһы булған функцияны (ниндәйҙер нөктәлә), дифференциалланыусы (был нөктәлә) тип атайҙар.
Сығарылма төшөнсәһен иллюстрациялау Сығарылманы иҫәпләү барышы дифференциаллау тип атала. Кире процесс — алынманы табыу — интеграллау.
Тарихы
Классик дифференциаль иҫәпләмәлә сығарылма йышыраҡ сикләнмә төшөнсәһе аша билдәләнә, әммә сикләнмәләр теорияһы тарихи дифференциаль иҫәпләмәнән һуңыраҡ барлыҡҡа килә. Ньютон сығарылманы флюксия тип атай, Лейбниц мәктәбе база төшөнсәһе сифатында дифференциал төшөнсәһенә өҫтөнлөк бирә.
Лагранж ҡулланған ярашлы dérivée француз терминын урыҫ теленә тәржемә итеп, «Функцияның сығарылмаһы» формаһында урыҫ терминын беренсе булып В. И. Висковатов ҡуллана.
Билдәләмә
Сығарылмалар теҙеме
Дифференциалланыусанлыҡ
Иҫкәрмәләр
Δ x = x − x 0 {\displaystyle \Delta x=x-x_{0}} функция аргументының үҫеше тип атала, ә Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})} йәки Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})} функция ҡиммәтенең x 0 {\displaystyle x_{0}} нөктәһендә үҫеше тип атала. Ул саҡта f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x . {\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.} f : ( a , b ) → R {\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} } функцияһының һәр x 0 ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} нөктәһендә сикле сығарылмаһы булһын, ти. Ул саҡта сығарылма фу́нкция билдәләнә f ′ : ( a , b ) → R . {\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .} Нөктәлә сығарылмаһы булған функция был нөктәлә өҙлөкһөҙ була. Киреһе һәр ваҡытта ла дөрөҫ түгел. Әгәр функцияның сығарылмаһы үҙе өҙлөкһөҙ булһа, ул саҡта f {\displaystyle f} функцияһын өҙлөкһөҙ дифференциалланыусы тип атайҙар һәм ошолай яҙалар: f ∈ C ( 1 ) ( ( a , b ) ) . {\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.} Сығарылманың геометрик һәм физик мәғәнәһе
Юғары тәртиптәге сығарылмалар Ирекле тәртиптәге сығарылма тураһында төшөнсә рекуррентлы бирелә.
f ( 0 ) ( x 0 ) ≡ f ( x 0 ) {\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0})} тип уйлайыҡ. Әгәр f {\displaystyle f} функцияһы x 0 {\displaystyle x_{0}} нөктәһендә дифференциалланыусы булһа, ул саҡта беренсе тәртиптәге сығарылма
f ( 1 ) ( x 0 ) ≡ f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0})} нисбәте менән билдәләнә. Хәҙер n {\displaystyle n} -сы тәртиптәге сығарылма f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} x 0 {\displaystyle x_{0}} нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында бирелһен һәм дифференциалланыусы булһын, ти. Ул саҡта
f ( n + 1 ) ( x 0 ) = ( f ( n ) ) ′ ( x 0 ) . {\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).} Әгәр u = f ( x , y , z ) {\displaystyle u=f(x,y,z)} функцияһының ниндәйҙер D өлкәһендә үҙгәреүсәндәрҙең берәүһе буйынса айырым сығарылмаһы булһа, ул саҡта әйтелгән сығарылманың, үҙе x , y , z , {\displaystyle x,y,z,} үҙгәреүсәндәренән функция булараҡ, ниндәйҙер ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} нөктәһендә теге йәки был үҙгәреүсән буйынса айырым сығарылмаһы булырға мөмкин. Баштағы u = f ( x , y , z ) {\displaystyle u=f(x,y,z)} функцияһы өсөн был сығарылмалар икенсе тәртиптәге айырым сығарылма (йәки икенсе айырым сығарылма) булалар.
u x 2 ″ = f x 2 ″ ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})} йәки ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}} u x y ″ = f x y ″ ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} йәки ∂ 2 u ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}} Төрлө үҙгәреүсәндәр буйынса алынған икенсе йәки юғарыраҡ тәртиптәге айырым сығарылма аралаш айырым сығарылма тип атала. Мәҫәлән,
u x y ″ = f x y ″ ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} Сығарылмаларҙы яҙыу ысулдары Маҡсатҡа һәм ҡулланылған математик аппараттың ҡулланыу өлкәһенә бәйле, сығарылмаларҙы яҙыуҙың төрлө ысулдарын ҡулланалар. Шулай, n-сы тәртиптәге сығарылма түбәндәге нотацияларҙа яҙылырға мөмкин:
Лагранждың f ( n ) ( x 0 ) {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})} , был осраҡта бәләкәй n өсөн йыш ҡына штрихтар һәм рим цифрҙары ҡулланыла: f ( 1 ) ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) = f I ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),} f ( 2 ) ( x 0 ) = f ″ ( x 0 ) = f I I ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),} f ( 3 ) ( x 0 ) = f ‴ ( x 0 ) = f I I I ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),} f ( 4 ) ( x 0 ) = f I V ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),} һәм башҡа шулай Бындай яҙыу үҙенең ҡыҫҡалығы менән уңайлы һәм киң таралған; әммә штрихтар менән өсөнсө тәртиптән юғары булмаған сығарылмалар өсөн генә тамғалау рөхсәт ителә.
Лейбництың, сикһеҙ бәләкәй сағыштырмаларҙы асыҡ яҙыу менән уңайлы(тик x {\displaystyle x} — бәйләнешһеҙ үҙгәреүсән булғанда; кире осраҡта тамғалау беренсе тәртиптәге сығарылма өсөн генә дөрөҫ): d n f d x n ( x 0 ) {\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})} Ньютондың, механикала йыш координата функцияһының ваҡыт буйынса сығарылмаһы өсөн ҡулланыла (арауыҡ сығарылмаһы өсөн йышыраҡ Лагранж яҙыуын ҡулланалар). Сығарылманың тәртибе функция өҫтөндәге нөктәләр һаны менән тамғалана, мәҫәлән: x ˙ ( t 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})} — x {\displaystyle x} -тың t {\displaystyle t} буйынса t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} булғанда беренсе тәртиптәге сығарылмаһы, йәки f ¨ ( x 0 ) {\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})} — f {\displaystyle f} -тың x {\displaystyle x} буйынса x 0 {\displaystyle x_{0}} нөктәһендә икенсе тәртиптәге сығарылма һәм б. ш. Эйлерҙың , дифференциаль оператор (ҡәтғи әйткәндә, ярашлы функциональ арауыҡ индерелгәнгә тиклем, дифференциаль аңлатма) ҡуллана, һәм шуға күрә функциональ анализ менән бәйле мәсьәләләрҙә уңайлы яҙыу: D n f ( x 0 ) {\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})} , йәки ҡайһы берҙә ∂ n f ( x 0 ) {\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})} . Вариацион иҫәпләмәлә һәм математик физикала йыш f x {\displaystyle f_{x}} , f x x {\displaystyle f_{xx}} тамғалауы ҡулланыла; нөктәлә сығарылма ҡиммәте өсөн — f x | x = x 0 {\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}} . Айырым сығарылмалар өсөн тамғалау шул уҡ, шуға күрә тамғалау мәғәнәһен контекстан асыҡлайҙар. Әлбиттә, шуның менән бергә улар бөтәһе лә бер үк объекттарҙы тамғалау өсөн хеҙмәт итәләр икәнде онотмаҫҡа кәрәк:
f ( n ) ( x 0 ) = d n f d x n ( x 0 ) = f ⋅ ⋅ . . . ⋅ ⏞ n P A 3 ( x 0 ) = D n f ( x 0 ) = f x x … x ⏟ n P A 3 | x = x 0 . {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot ...\cdot } ^{n\ \mathrm {PA} 3}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ \mathrm {PA} 3}}\vert _{x=x_{0}}.} Миҫалдар Дифференциаллау ҡағиҙәләре Сығарылма табыу операцияһы дифференциаллау тип атала. Был операцияны башҡарғанда йыш ҡына функцияларҙың бүлендектәре, суммалары, ҡабатландыҡтары, шулай уҡ «функциялар функцияһы», йәғни ҡатмарлы функциялар менән эш итергә тура килә. Сығарылманың билдәләмәһенән сығып, был эште еңеләйтеүсе дифференциаллау ҡағиҙәләре сығарырға була. Әгәр C {\displaystyle C} — даими һан һәм f = f ( x ) , g = g ( x ) {\displaystyle f=f(x),g=g(x)} — ниндәйҙер дифференциалланыусы функциялар булһа, ул саҡта ошондай дифференциаллау ҡағиҙәләре дөрөҫ:
C ′ = 0 {\displaystyle C'=0} x ′ = 1 {\displaystyle x'=1} ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'} Ҡалып:Иҫбатлау
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'} Ҡалып:Иҫбатлау
( C f ) ′ = C f ′ {\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'} ( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}} …(g ≠ 0) Ҡалып:Иҫбатлау
( C g ) ′ = − C g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}} (g ≠ 0) Әгәр функция параметрлы бирелһә: { x = x ( t ) , y = y ( t ) , t ∈ [ T 1 ; T 2 ] {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.} , то y x ′ = d y d x = d y d t ⋅ d t d x = y t ′ ⋅ t x ′ = y t ′ x t ′ {\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}}
Төп мәҡәлә: Ҡатмарлы функцияны дифференциаллау
d d x f ( g ( x ) ) = d f ( g ) d g ⋅ d g ( x ) d x = f g ′ g x ′ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}} Ҡабатландыҡ һәм бүлендек сығарылмалары формулалары n-тапҡырлы дифференциаллау осрағына дөйөмләштереләләр (Лейбниц формулаһы): ( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k f ( n − k ) g ( k ) , {\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},} бында C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} — биномиаль коэффициенттар. Сығарылманың артабанғы үҙсәнлектәре дифференциаллау ҡағиҙәләренә өҫтәлмә булып хеҙмәт итәләр:
әгәр функция ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} интервалында дифференциалланыусы булһа, ул ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} интервалында өҙлөкһөҙ була. Киреһе, ғөмүмән алғанда, дөрөҫ түгел (мәҫәлән, y ( x ) = | x | {\displaystyle y(x)=|x|} функцияһы [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} киҫегендә); әгәр функцияның аргументтың x {\displaystyle x} -ҡа тигеҙ ҡиммәтендә локаль максимумы/минимумы булһа, ул саҡта f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} (был Ферма леммаһы тип атала); был функцияның сығарылмаһы берҙән-бер, ләкин төрлө функцияларҙың бер төрлө сығарылмалары булырға мөмкин. ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ( x ) g ( x ) ( g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) f ( x ) ) ( ∀ x ∈ D f : f ( x ) > 0 ) {\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)} Ҡалып:Доказ1
Ҡайһы бер функцияларҙың сығарылмалары теҙеме Вектор-функцияның параметр буйынса сығарылмаһы r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} вектор-функцияһының параметр буйынса сығарылмаһына билдәләмә бирәйек:
d d t r ( t ) = lim h → 0 r ( t + h ) − r ( t ) h {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}} . Әгәр t {\displaystyle t} нөктәһендә сығарылмаһы булһа, вектор-функция был нөктәлә дифференциалланыусы функция тип атала. Сығарылма өсөн x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) {\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)} координаталы функциялар булалар.
Вектор-функция сығарылмаһының үҙсәнлектәре (һәр ерҙә сығарылмалар бар тип күҙаллана):
d d t ( r 1 ( t ) + r 2 ( t ) ) = d r 1 ( t ) d t + d r 2 ( t ) d t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}} — сумманың сығарылмаһы сығарылмалар суммаһына тигеҙ. d d t ( f ( t ) r ( t ) ) = d f ( t ) d t r ( t ) + f ( t ) d r ( t ) d t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}} — бында f ( t ) {\displaystyle f(t)} — дифференцияланыусы скаляр функция. d d t ( r 1 ( t ) r 2 ( t ) ) = d r 1 ( t ) d t r 2 ( t ) + r 1 ( t ) d r 2 ( t ) d t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}} — скаляр ҡабатландыҡты дифференциаллау. d d t [ r 1 ( t ) , r 2 ( t ) ] = [ d r 1 ( t ) d t , r 2 ( t ) ] + [ r 1 ( t ) , d r 2 ( t ) d t ] {\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]} — векторлы ҡабатландыҡты дифференциаллау. d d t ( a ( t ) , b ( t ) , c ( t ) ) = ( d a ( t ) d t , b ( t ) , c ( t ) ) + ( a ( t ) , d b ( t ) d t , c ( t ) ) + ( a ( t ) , b ( t ) , d c ( t ) d t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)} — аралаш ҡабатландыҡты дифференциаллау. Сығарылмаларҙы биреү ысулдары D x q f ( x ) = f ( q x ) − f ( x ) ( q − 1 ) x . {\displaystyle D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.} Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр Сығарылмаларҙы дөйөмләштереү Шулай уҡ ҡарағыҙ Сығарылмалар теҙмәһе Сығарылма (математика) Ҡатмарлы функцияны дифференциаллау Кире функцияның сығарылмаһы Дифференциалланыусы функция Анализдың төп теоремаһы Сығарылманың геометрик мәғәнәһе Йүнәлеш буйынса сығарылма
Иҫкәрмәләр Әҙәбиәт Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант . — 1975. — № 12. В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр. В. А. Гусев , А. Г. Мордкович «Математика» Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1 В. М. Бородихин , Высшая математика , учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1 Һылтанмалар
This article uses material from the Wikipedia Башҡорт article Функцияның сығарылмаһы , which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0") ; additional terms may apply (view authors ). Башҡа шарт булмаһа, CC BY-SA 4.0 лицензияһына ярашлы, эстәлек менән һәр кем файҙалана ала. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Башҡорт (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.