Математика Функция

Отображение бите бында йүнәтелә. Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Отображение (мәғәнәләр).

Функцияның математик төшөнсәһе, нисек бер дәүмәл тулыһынса икенсе дәүмәлдең ҡиммәтен билдәләй икәнен интуитив күҙаллауҙы кәүҙәләндерә. Шулай, ${\displaystyle x}$ үҙгәреүсәненең ҡиммәте ${\displaystyle x^{2}}$ аңлатмаһының ҡиммәтен бер мәғәнәле билдәләй, ә айҙың ҡиммәте артабанғы айҙың ҡиммәтен бер мәғәнәле билдәләй. Ошоға оҡшаш рәүештә, алдан уйланылған алгоритм инә торған бирелгән дәүмәлдең ҡиммәте буйынса сыға торған дәүмәлдең ҡиммәтен бирә.

Йыш ҡына «функция» термины аҫтында һанлы функцияны, йәғни бер һандарҙы икенселәренә ярашлы ҡуя торған функцияны аңлайҙар. Был функцияларҙы графиктар рәүешендә күрһәтеү уңайлы.

«Функция» термины (бер ни тиклем тарыраҡ мәғәнәлә) беренсе тапҡыр Лейбниц тарафынан (1692 йыл) ҡулланылған була. Үҙ сиратында, Иоганн Бернулли шул уҡ Лейбницҡа хатында был терминды хәҙергеһенә яҡын мәғәнәлә ҡуллана.

Иң башта функция төшөнсәһе аналитик күҙаллау төшөнсәһенән айырылмаҫлыҡ була. Аҙаҡтан функцияның Эйлер (1751 йыл), унан һуң — Лакруа (1806 йыл) биргән, хәҙерге күренештәге тиерлек билдәләмәһе барлыҡҡа килә. Ахырҙа, функцияның дөйөм билдәләмәһе (хәҙерге формала, ләкин һанлы функциялар өсөн) Лобачевский (1834 йыл) һәм Дирихле (1837 йыл) тарафынан бирелә.

XIX быуат аҙағына функция төшөнсәһе һанлы системалар сиген үтеп китә. Иң башта функция төшөнсәһе векторлы функцияларға киңәйтелә, оҙаҡламай Фреге логик функциялар (1879) индерә, ә күмәклектәр теорияһы барлыҡҡа килгәндән һуң Дедекинд (1887) һәм Пеано (1911) хәҙерге универсаль билдәләмәне бирәләр.

 

Функцияның теоретик-күмәклек билдәләмәһе (бинар бәйләнеш төшөнсәһе нигеҙендә) иң ҡәтғи билдәләмә булып тора. Йыш ҡына функция билдәләмәһе урынына функция төшөнсәһе, йәғни математик объектты «закон», «ҡағиҙә» йәки «ярашлыҡ» кеүек ғәҙәттәге тел төшөнсәләре ярҙамында һүрәтләү ҡулланыла.

Функция төшөнсәһе

Әгәр ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр ${\displaystyle x}$  элементына ${\displaystyle f}$  ҡағиҙәһе буйынса ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең ниндәйҙер ${\displaystyle y}$  элементы ярашлы ҡуйылһа, ${\displaystyle X}$  күмәклегендә ҡиммәттәре ${\displaystyle Y}$  күмәклегенән булған ${\displaystyle f}$  функцияһы (сағылыш, операция, оператор) бар тип әйтәләр.

Шулай уҡ, ${\displaystyle f}$  функцияһы ${\displaystyle X}$  күмәклеген ${\displaystyle Y}$  күмәклегенә сағылдыра тип әйтәләр. Функцияны шулай уҡ ${\displaystyle y=f(x)}$  яҙылышы менән тамғалайҙар.

Әгәр оператор термины ҡулланылһа, ул саҡта ${\displaystyle f}$  операторы ${\displaystyle X}$  күмәклегенән ${\displaystyle Y}$  күмәклегенә хәрәкәт итә тип әйтәләр һәм ${\displaystyle y=fx}$  яҙыуын өҫтәйҙәр.

Әгәр ${\displaystyle f}$  ярашлыҡ ҡағиҙәһе билдәле тип һанала тигәнде белдерергә теләһәләр, ул саҡта ${\displaystyle X}$  күмәклегендә ${\displaystyle Y}$  күмәклегенән ҡиммәттәр ҡабул итеүсе ${\displaystyle f}$  функцияһы бирелгән тип әйтәләр. Әгәр ${\displaystyle f}$  функцияһы ниндәйҙер тигеҙләмә сисеү һөҙөмтәһендә табылырға тейеш булһа, ул саҡта ${\displaystyle f}$  — билдәһеҙ йәки асыҡтан-асыҡ бирелмәгән функция тип әйтәләр. Ләкин һәр осраҡта ла, функция, был төшөнсәнең мәғәнәһе буйынса, туранан-тура булмаһа ла, бирелгән тип һанала. Әгәр ${\displaystyle x\in X}$  элементына ${\displaystyle y\in Y}$  элементы ярашлы ҡуйылһа, шуның менән ${\displaystyle x}$  элементында ${\displaystyle f}$  ярашлығы ҡағиҙәһе бирелгән тип әйтәләр (ул төрлө элементтар өсөн төрлө булырға мөмкин). Ошонан сығып, ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр элементында ярашлыҡты биреү был күмәклектә ${\displaystyle f}$  функцияһын биреүгә тиңдәш. Шуға күрә функция төшөнсәһен ҡағиҙә төшөнсәһенән башҡа һәм уны тамғаламай әйтеп бирергә мөмкин:

Әгәр ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр ${\displaystyle x}$  элементына ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең ниндәйҙер ${\displaystyle y}$  элементы ярашлы ҡуйылһа, ${\displaystyle X}$  күмәклегендә ${\displaystyle Y}$  күмәклегенән ҡиммәттәр ҡабул итеүсе ${\displaystyle f}$  функцияһы бирелгән тип әйтәләр.

Мәҫәлән, ${\displaystyle X}$  күмәклегендә ${\displaystyle x}$  һәм ${\displaystyle y}$  элементтары парҙары таблицаһы менән бирелгән функция, ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр элементы өсөн ярашлыҡ ҡағиҙәһен дә үҙ эсенә алған, сөнки ${\displaystyle X}$  күмәклегенең элементынан элементына күскәндә, функцияның ҡиммәттәре билдәле бер ҡағиҙә буйынса урынлашалар.

Йыш ҡына формулалар менән бирелгән һанлы функциялар өсөн, функция төшөнсәһе ҡағиҙә аша күмәклектәр элементтары араһында ярашлыҡ һымаҡ әйтеп бирелә. Ҡағиҙә һәм функция тамғаланыштары тап килеүен булдырмаҫ өсөн, ҡағиҙә тамғаланмай:

Әгәр ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр ${\displaystyle x}$  элементына ниндәйҙер ҡағиҙә буйынса ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең ниндәйҙер ${\displaystyle y}$  элементы ярашлы ҡуйылһа, ул саҡта был ярашлыҡ ${\displaystyle X}$  күмәклегендә бирелгән, ҡиммәттәре ${\displaystyle Y}$  күмәклегенән булған ${\displaystyle y=f(x)}$  функцияһы тип атала. ${\displaystyle f}$  хәрефе был тамғаланышта — функцияның индивидуаль тамғаһы.

Шулай итеп, ${\displaystyle y=f(x)}$  функцияһы (йәки ҡыҫҡаса: ${\displaystyle f(x)}$  йәки ${\displaystyle f}$  функцияһы) өс объекттан тора: ${\displaystyle X,f,Y}$ , бында

• ${\displaystyle X}$  күмәклеге билдәләнеү өлкәһе йәки функцияның билдәләнеү өлкәһе тип атала;
• ${\displaystyle Y}$  күмәклеге функцияның ҡиммәттәре өлкәһе тип атала;
• ${\displaystyle f}$  — һәр ${\displaystyle x\in X}$  элементына ниндәйҙер ${\displaystyle y\in Y}$  элементын ярашлы ҡуйған ҡағиҙә. Бында ҡағиҙә өсөн шул уҡ функция тамғаланышы ҡулланылған.

${\displaystyle x}$  хәрефе менән тамғаланған ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр элементы функцияның бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәне йәки аргументы тип атала. Шуның менән бергә ${\displaystyle X}$  күмәклеге ${\displaystyle x}$  үҙгәреүсәненең үҙгәреү өлкәһе тип атала.

Беркетелгән ${\displaystyle x}$  элементына ярашлы ${\displaystyle y}$  элементы функцияның ${\displaystyle x}$  нөктәһендәге шәхси ҡиммәте тип атала.

${\displaystyle \{y\}}$  символы менән тамғаланған бөтә ${\displaystyle y}$  шәхси ҡиммәттәр йыйылмаһы функцияның ҡиммәттәре өлкәһе тип атала.

Теоретик-күмәклек билдәләмәһе

Тәртипкә килтерелгән парҙар (бәйләнеш) төшөнсәһе функция төшөнсәһе формулировкаһынан, бынан алдағы бүлектең ғәҙәттәге формулировкаларында функция төшөнсәһе ҡайтып ҡалған ҡағиҙә төшөнсәһен генә түгел, ярашлыҡ төшөнсәһен дә төшөрөп ҡалдырырға мөмкинлек бирә.

Шулай итеп, функция өсөн тик башланғыс математик төшөнсәләр генә ҡулланыусы билдәләмә бирергә мөмкин:

${\displaystyle f}$  функцияһы тип тәртипкә килтерелгән шундай ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$  парҙары күмәклеге атала, бындай парҙар ${\displaystyle X}$  күмәклегенең бөтә элементтары өсөн дә бар, һәм, әгәр парҙарҙың беренсе элементтары тап килһә, ул саҡта уларҙың икенсе элементтары ла тап килә.

Шуның менән бергә:

• ${\displaystyle X}$  күмәклеге функцияның бирелеү өлкәһе йәки билдәләнеү өлкәһе тип атала;
• ${\displaystyle Y}$  күмәклеге функцияның ҡиммәттәре өлкәһе тип атала.
• Улар өсөн ${\displaystyle (x,y)\in f}$ , ${\displaystyle x\in X}$  парҙары булған бөтә ${\displaystyle y\in Y}$  элементтары күмәклеге функцияның ҡиммәттәре күмәклеге тип атала;
• ${\displaystyle f\subset X\times Y}$  тәртипкә килтерелгән парҙар күмәклеге шулай уҡ функцияның графигы тип атала; функцияның графигы төшөнсәһе һәм функция төшөнсәһе был билдәләмәлә тап килә. Функция төшөнсәһенең ғәҙәттәге формулировкаһында уның графигы тип ${\displaystyle (x,f(x))}$  парҙары күмәклеге атала.

${\displaystyle f}$  һәм ${\displaystyle g}$  функциялары, әгәр уларҙың графиктары тап килһә, тигеҙ тип аталалар.

Функцияларҙың тигеҙлеге (функция төшөнсәһенең теләһә ниндәй формулировкаһында) күмәклектәр элементтары араһында ярашлыҡ ҡағиҙәләренең тап килеүен генә түгел, ә билдәләнеү өлкәләренең тап килеүен дә талап иткәнлектән, ${\displaystyle f_{1}(x)=x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  һәм ${\displaystyle f_{2}(x)=x:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$  функциялары, бында ${\displaystyle \mathbb {R} }$  — ысын һандар күмәклеге, ә ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$  — ыңғай ысын һандар күмәклеге, төрлө функциялар булып торалар.

Артабанғы билдәләмә функцияның дөйөмөрәк билдәләмәһе булып тора:

${\displaystyle f}$  функцияһы тип теләһә ниндәй тәртипкә килтерелгән ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$  парҙары күмәклеге атала..

Шуның менән бергә:

• ${\displaystyle X}$  күмәклеге функцияның билдәләнеү өлкәһе тип атала. Улар өсөн ${\displaystyle (x,y)\in f}$  парҙары булған бөтә ${\displaystyle x\in X}$  элементтары күмәклеге функцияның бирелеү өлкәһе тип атала;
• ${\displaystyle Y}$  күмәклеге функцияның килеү өлкәһе тип атала. Улар өсөн ${\displaystyle (x,y)\in f}$  парҙары булған бөтә ${\displaystyle y\in Y}$  элементтары күмәклеге функцияның ҡиммәттәре өлкәһе тип атала.

Әгәр ${\displaystyle X}$  күмәклегендә ${\displaystyle Y}$  күмәклегенән ҡиммәттәр алыусы ${\displaystyle f}$  функцияһы бирелһә, ул саҡта

• был факт ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  йәки ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y}$  күренешендә яҙыла;
• ${\displaystyle X}$  күмәклеге — ${\displaystyle f}$  функцияһының бирелеү өлкәһе — ${\displaystyle D(f)}$  йәки ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f}$  символы менән тамғалана;
• ${\displaystyle Y}$  күмәклеге — ${\displaystyle f}$  функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе ;
• ${\displaystyle f}$  функцияһының ${\displaystyle \{y\}}$  ҡиммәттәре күмәклеге ${\displaystyle E(f)}$  йәки ${\displaystyle \mathrm {cod} \,f}$  (${\displaystyle \mathrm {ran} \,f}$ ) символы менән тамғалана.
• Әгәр ҡиммәттәр өлкәһе ${\displaystyle Y}$  һәм ҡиммәттәр күмәклеге ${\displaystyle E(f)}$  тап килһә, ${\displaystyle f}$  функцияһы ${\displaystyle X}$  күмәклеген ${\displaystyle Y}$  күмәклегенә сағылдыра тип әйтәләр.
• ${\displaystyle X}$  күмәклегендә бирелгән функция йышыраҡ ${\displaystyle x\in X}$  һәм ${\displaystyle y\in Y}$  элементтары араһында ярашлыҡ һымаҡ ҡабул ителә:
  ${\displaystyle y=f(x)}$ , йәки ҡыҫҡаса:${\displaystyle f(x)}$  йәки ${\displaystyle f}$ ;
  ${\textstyle x\mapsto y}$  йәки ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$ ;
• тамғалауҙар һанын кәметеү өсөн, ${\displaystyle X}$  күмәклегендә бирелгән функция, функцияның һәр ҡиммәте кеүек үк хәреф менән тамғалана ала:
  ${\displaystyle y=y(x)}$ , ${\displaystyle z=z(x)}$ ;
• функция, ${\displaystyle X}$  күмәклеген ${\displaystyle Y}$  күмәклегенә сағылдырыусы ${\displaystyle f}$  функцияһы кеүек, ${\displaystyle x\in X}$  һәм ${\displaystyle y\in Y}$  элементтары араһында ярашлыҡ тамғаһы менән дә тамғалана:
  ${\displaystyle f\colon x\mapsto y}$  йәки ${\displaystyle f\colon y=f(x)}$ ;
• һирәгерәк функцияның ${\displaystyle x\in X}$  һәм ${\displaystyle y\in Y}$  элементтары араһында ярашлыҡ һымаҡ йәйәһеҙ тамғаланышы ҡулланыла: ${\displaystyle y=fx}$ , ${\displaystyle y=f\circ x}$  или ${\displaystyle y=xf}$ ,
• ике төрлөлөктө айырып әйтеү кәрәк булғанда, йәйәле тамғаланыш ҡулланыла: ${\displaystyle y=(f,x)}$  йәки ${\displaystyle y=(x,f)}$ ;
• шулай уҡ операторлы тамғалау бар ${\displaystyle y=x^{f}}$ , уны дөйөм алгебрала осратырға мөмкин.
• Чёрчтың лямбда-иҫәпләүендә ${\displaystyle \lambda x.y}$  тамғалауы ҡулланыла.

Бер нисә аргумент функциялары

 

Күп аргументлы функция осрағында функция төшөнсәһе еңел дөйөмләштерелә.

Әгәр ${\displaystyle X}$  күмәклеге ${\displaystyle X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}}$  күмәклектәренең декарт ҡабатлауы булһа, ул саҡта ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  сағылышы, бында ${\displaystyle Y}$  — ысын һандар күмәклеге, ${\displaystyle n}$ -урынлы сағылыш була, шуның менән бергә ${\displaystyle x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$  тәртипкә килтерелгән йыйылма элементтары аргументтар тип аталалар (бирелгән ${\displaystyle n}$ -урынлы функцияның), уларҙың һәр береһе үҙенең күмәклеген йөрөп сыға:

${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$  бында ${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$ .

Был осраҡта ${\displaystyle y=f(x)}$  яҙыуы ${\displaystyle y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$  тигәнде аңлата.

Аналитик ысул

Функцияны аналитик аңлатма ярҙамында бирергә мөмкин (мәҫәлән, формула менән). Был осраҡта уны ярашлыҡ һымаҡ ${\displaystyle y=f(x)}$  тигеҙлеге менән тамғалайҙар, бында ${\displaystyle x}$  функцияның бирелеү өлкәһен урап сығыусы үҙгәреүсән, ә ${\displaystyle y}$  үҙгәреүсәненең ярашлы ҡиммәттәре (йәки, шул уҡ, ${\displaystyle f(x)}$  аңлатмаһының ҡиммәттәре) функцияның ҡиммәттәре өлкәһенә керәләр. Мәҫәлән, ${\displaystyle y=x^{2}}$  тигеҙлеге, бында ${\displaystyle x}$  ысын һандар күмәклеген урап сыға, ${\displaystyle y=f(x).\;}$  һанлы функцияһын бирә;

Ниндәйҙер күмәклектә бирелгән ${\displaystyle y=f(x)}$  тигеҙлеге үҙе генә, уның функция икәнлеген күрһәтмәйенсә, функция булып тормай.

Мәҫәлән, ${\displaystyle y=x^{2}}$  тигеҙлеге, төрлө үҙгәреүсәндәр ингән аңлатмалар тигеҙлеге. Ошоға оҡшаш рәүештә, әгәр ${\displaystyle f(x)}$  ${\displaystyle y}$  үҙгәреүсәненең икенсе тамғаланышы булһа, ул саҡта ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  шулай уҡ төрлө үҙгәреүсәндәр ингән аңлатмалар тигеҙлеге булып тора. Әгәр ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  тигеҙлегендә һул яҡтан ${\displaystyle x}$  үҙгәреүсәне ингән аңлатма тамғаһы торһа, ул саҡта бер үҙгәреүсән ингән ике аңлатма тигеҙлеге була.

Ләкин бирелеү күмәклегендә ${\displaystyle y=x^{2}\;}$  функцияһы (йәки ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  функцияһы) тип әйтеү тик функцияны аңлата. Улай ғына түгел, йыш ҡына ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$  (йәки ${\displaystyle y=f(x)\;}$ ) функцияһын, ҡыҫҡартыу өсөн, бирелеү күмәклегендә ${\displaystyle f(x)}$  функцияһы тип тамғалайҙар. Был килешеү уңайлы һәм үҙен аҡлай.

График ысул

 

Һанлы функцияларҙы шулай уҡ график ярҙамында бирергә мөмкин. ${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;}$  — n үҙгәреүсәнле ысын функция булһын, ти. Ул саҡта уның графигы булып ${\displaystyle n+1}$ -үлсәмле арауыҡта ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\}}$  нөктәләре күмәклеге тора. Был нөктәләр күмәклеге йыш ҡына йөҙ булып тора.

Айырым осраҡта ${\displaystyle n=1}$  булғанда, функцияның графигы, ҡайһы бер осраҡта, ике үлсәмле арауыҡта кәкере һыҙыҡ рәүешендә һүрәтләнергә мөмкин.

Өс һәм унан күберәк аргументлы функциялар өсөн график һүрәтләүҙе ҡулланып булмай. Әммә, бындай функциялар өсөн дә күрһәтмәле ярым геометрик күҙаллауҙар уйлап табырға мөмкин (мәҫәлән нөктәнең дүртенсе координатаһының һәр ҡиммәтенә графикта ниндәйҙер төҫтө ярашлы ҡуйырға мөмкин).

Функцияны тарайтыу һәм һуҙыу

${\displaystyle f\colon X\to Y}$  һәм ${\displaystyle M\subset X}$  сағылышы бирелһен, ти.

${\displaystyle M}$  күмәклегендә ${\displaystyle f}$  функцияһы кеүек үк ҡиммәттәр ҡабул иткән ${\displaystyle g\colon M\to Y}$  сағылышы, ${\displaystyle f}$  функцияһының ${\displaystyle M}$  күмәклегенә тарайтыуы (йәки, икенсе төрлө сикләүе) тип атала.

${\displaystyle f}$  функцияһын ${\displaystyle M}$  күмәклегенә тарайтыу ${\displaystyle f{\big |}_{M}}$  тип тамғалана.

Әгәр ${\displaystyle g\colon M\to Y}$  функцияһы ниндәйҙер ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  функцияһы өсөн тарайтыу булып торһа, ул саҡта ${\displaystyle f}$  функцияһы, үҙ сиратында, ${\displaystyle g}$  функцияһының ${\displaystyle X}$  күмәклегенә дауамы тип атала.

Образ һәм прообраз (сағылышта)

${\displaystyle x}$  элементына ярашлы ҡуйылған ${\displaystyle y=f(x)}$  элементы, ${\displaystyle x}$  элементының (нөктәһенең) (${\displaystyle f}$  сағылышында) образы тип атала.

Әгәр ${\displaystyle f}$  функцияһының бирелеү өлкәһенең ${\displaystyle A}$  аҫкүмәклеген тулыһынса алғанда, ул саҡта ${\displaystyle A}$  күмәклегенең бөтә элементтарының образдары йыйылмаһын ҡарарға мөмкин, йәғни түбәндәге күренештәге (${\displaystyle f}$  функцияһының) ҡиммәттәре күмәклегенең аҫкүмәклеге

${\displaystyle f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}}$ ,

ул ${\displaystyle f}$  сағылышында ${\displaystyle A}$  күмәклегенең образы тип атала. Был күмәклек ҡайһы берҙә ${\displaystyle f[A]}$  йәки ${\displaystyle A^{f}}$  тип тамғалана.

Киреһенсә, ${\displaystyle f}$  функцияһының ҡиммәттәре өлкәһенең ниндәйҙер ${\displaystyle B}$  аҫкүмәклеген алып, можно рассмотреть совокупность тех элементов области задания функции ${\displaystyle f}$  функцияһының бирелеү өлкәһенең образдары ${\displaystyle B}$  күмәклегенә ингән элементтарының йыйылмаһын ҡарарға мөмкин, йәғни түбәндәге күренештәге күмәклек

${\displaystyle f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}}$ ,

ул ${\displaystyle B}$  күмәклегенең (${\displaystyle f}$  сағылышында) (тулы) прообразы тип атала.

${\displaystyle B}$  күмәклеге бер элементтан торған айырым осраҡта, әйтәйек, ${\displaystyle B=\{y\}}$ , ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}}$  күмәклегенең ябайыраҡ тамғаланышы бар ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ .

Тождестволы сағылыш

Бирелеү өлкәһе һәм ҡиммәттәре өлкәһе тап килгән сағылыштар бирелгән күмәклектең үҙенә сағылышы йәки үҙгәртеүҙәр тип аталалар.

Айырым осраҡта, ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр ${\displaystyle x}$  нөктәһенә шул нөктәнең үҙен ярашлы ҡуйыусы ${\displaystyle f\colon X\to X}$  үҙгәртеүе, йәки, шул уҡ булған,

һәр ${\displaystyle x\in X}$  өсөн ${\displaystyle f(x)=x}$ , тождестволы тип атала.

Был сағылыштың махсус тамғаланышы бар: ${\displaystyle id_{X}}$  йәки, ябайыраҡ, ${\displaystyle id}$  (әгәр контекстан ниндәй күмәклек күҙ уңында тотолғаны билдәле булһа). Бындай тамғалау үҙенең сығышы менән identity («берҙәйлек, тигеҙлек») тигән инглиз һүҙенә бурыслы.

Тождестволы үҙгәртеүҙең икенсе тамғаланышы — ${\displaystyle 1_{X}}$ . Был сағылыш ${\displaystyle X}$  күмәклегендә бирелгән унар операция була. Шуға күрә, йыш ҡына, тождестволы үҙгәртеүҙе берҙән-бер тип атайҙар.

Сағылыштар композицияһы

${\displaystyle f\colon X\to Y}$  һәм ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$  — шундай ике сағылыш булһын, ти, бында беренсе сағылыштың ҡиммәттәре өлкәһе икенсе сағылыштың бирелеү өлкәһенең аҫкүмәклеге булып тора. Ул саҡта теләһә ниндәй ${\displaystyle x\in X}$  өсөн шундай берҙән-бер ${\displaystyle y\in Y}$  элементы бар, бында ${\displaystyle y=f(x)}$ , ләкин шул уҡ ${\displaystyle y}$  өсөн шундай берҙән-бер ${\displaystyle z\in Z}$  элементы бар, бында ${\displaystyle z=g(y)}$ . Йәғни, теләһә ниндәй ${\displaystyle x\in X}$  өсөн шундай берҙән-бер ${\displaystyle z\in Z}$  элементы бар, бында ${\displaystyle z=g(f(x))}$ . Икенсе төрлө әйткәндә, шундай ${\displaystyle h}$  сағылышы бирелгән, бында

теләһә ниндәй ${\displaystyle x\in X}$  өсөн ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ .

Был сағылыш ${\displaystyle f}$  һәм ${\displaystyle g}$  сағылыштарының композицияһы тип атала, ул ${\displaystyle g\circ f}$  аңлатмаһы менән тамғалана (тап шул тәртиптә!), ул ${\displaystyle g}$  ${\displaystyle f}$ -тан һуң тип уҡыла.

Кире сағылыш

Әгәр ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  сағылышы үҙ-ара берҙән-бер ҡиммәтле йәки биектив булһа (аҫтараҡ ҡарағыҙ), ул саҡта шундай ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$  сағылышы бар, уның

• бирелеү өлкәһе (${\displaystyle Y}$  күмәклеге) ${\displaystyle f}$  сағылышының ҡиммәттәре өлкәһе менән тап килә;
• ҡиммәттәре өлкәһе (${\displaystyle X}$  күмәклеге) ${\displaystyle f}$  сағылышының бирелеү өлкәһе менән тап килә;
• ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$  шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр ${\displaystyle y=f(x)}$  булһа.

${\displaystyle f^{-1}}$  сағылышы ${\displaystyle f}$  сағылышына ҡарата кире сағылыш тип атала.

Кире сағылышы булған сағылыш әйләндерелмәле тип атала.

Сағылыштар композицияһы терминдарында, әйләндерелмәлек үҙсәнлеге ике шарттың бер үк ваҡытта үтәлеүенән ғибәрәт: ${\displaystyle f^{-1}\circ f=id_{X}}$  и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=id_{Y}}$ .

Образдар һәм прообраздар үҙсәнлектәре

Образдар үҙсәнлектәре

${\displaystyle A}$  һәм ${\displaystyle B}$  — ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  функцияһының бирелеү өлкәһенең аҫкүмәклектәре булһын, ти. Ул саҡта ${\displaystyle f}$  сағылышында ${\displaystyle A}$  һәм ${\displaystyle B}$  күмәклектәренең образдары түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә:

• ${\displaystyle f(\varnothing )=\varnothing }$ ;
• ${\displaystyle A\neq \varnothing \Rightarrow f(A)\neq \varnothing }$ ;
• ${\displaystyle A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)}$ .
• күмәклектәр берекмәһенең образы образдар берекмәһенә тигеҙ: ${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}$ ;
• күмәклектәр киҫелешенең образы образдар киҫелешенең аҫкүмәклеге була ${\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}$ .

Һуңғы ике үҙсәнлекте теләһә ниндәй һандағы күмәклектәргә дөйөмләштерергә мөмкин.

Прообраздар үҙсәнлектәре

Әйтәйек, ${\displaystyle A}$  һәм ${\displaystyle B}$  — ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең аҫкүмәклектәре булһын, ти.

${\displaystyle f}$  сағылышында ${\displaystyle A}$  һәм ${\displaystyle B}$  күмәклектәренең прообраздары түбәндәге ике күренеп торған үҙсәнлектәргә эйә:

• күмәклектәр берекмәһенең прообразы прообраздар берекмәһенә тигеҙ: ${\displaystyle f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)}$ ;
• күмәклектәр киҫелешенең прообразы прообраздар киҫелешенә тигеҙ ${\displaystyle f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)}$ .

Был үҙсәнлектәрҙе теләһә ниндәй һандағы күмәклектәргә дөйөмләштерергә мөмкин.

Әгәр сағылыш әйләндерелмәле (түбәндә ҡарағыҙ) булһа, ҡиммәттәр өлкәһенең һәр нөктәһенең прообразы бер нөктәле, шуға күрә әйләндерелмәле сағылыштар өсөн киҫелештәрҙең түбәндәге көсәйтелгән үҙсәнлеге үтәлә:

• киҫелештең образы образдар киҫелешенә тигеҙ: ${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}$ .

Функцияларҙың үҙен тотошо

Сюръективлыҡ

Әгәр ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең һәр элементына ${\displaystyle X}$  күмәклегенең бер генә булһа ла элементы ярашлы ҡуйылырға мөмкин булһа, ${\displaystyle f}$  функцияһы сюръективлы тип атала (йәки, ҡыҫҡаса, ${\displaystyle f}$  — сюръекция). Йәғни, ${\displaystyle f}$  функцияһы сюръектив, әгәр ${\displaystyle X}$  күмәклегенең образы сағылышта ${\displaystyle Y}$  күмәклеге менән тап килһә: ${\displaystyle f(X)=Y}$ .

Бындай сағылыш тағы ла ${\displaystyle X}$  күмәклеген ${\displaystyle Y}$  күмәклегенә сағылдырыу тип атала.

Икенсе төрлө әйткәндә, сюръекцияла ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең ниндәй ҙә булһа элементының прообразы булмау мөмкин түгел.

Әгәр сюръективлыҡ шарты боҙолһа, бындай сағылышты ${\displaystyle X}$  күмәклеген ${\displaystyle Y}$  күмәклеге эсенә сағылдырыу тип атайҙар.

Инъективлыҡ

Әгәр ${\displaystyle X}$  күмәклегенең һәр төрлө ике элементына ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең төрлө элементы ярашлы булһа, ${\displaystyle f}$  функцияһы инъективлы тип атала (йәки, ҡыҫҡаса, ${\displaystyle f}$  — инъекция). Формаль әйткәндә, ${\displaystyle f}$  функцияһы инъективлы, әгәр теләһә ниндәй ике ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$  элементтары өсөн, ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$  булһа, ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$  булыуы килеп сыға.

Икенсе төрлө әйткәндә, инъекция ваҡытында ${\displaystyle X}$  күмәклегенең ике һәм унан күберәк төрлө элементтары ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең бер үк элементына сағылдырыла алмайҙар.

Биективлыҡ

Әгәр функция сюръективлы ла, һәм инъективлы ла булһа, ул саҡта бындай функцияны биективлы йәки үҙ-ара бер ҡиммәтле тип атайҙар.

Үҫә барыусы һәм кәмей барыусы функциялар

${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  функцияһы бирелһен, ти. Ул саҡта

• ${\displaystyle f}$  функцияһы ${\displaystyle M}$  күмәклегендә кәмемәүсе функция тип атала, әгәр

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)}$  булһа;

• ${\displaystyle f}$  функцияһы ${\displaystyle M}$  күмәклегендә үҫә барыусы функция тип атала, әгәр

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)}$  булһа;

• ${\displaystyle f}$  функцияһы ${\displaystyle M}$  күмәклегендә үҫә бармаусы функция тип атала, әгәр

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)}$  булһа;

• ${\displaystyle f}$  функцияһы ${\displaystyle M}$  күмәклегендә кәмей барыусы функция тип атала, әгәр

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)$  булһа.

Үҫә бармаусы һәм кәмемәүсе функциялар монотон функциялар тип аталалар.

Үҫә барыусы һәм кәмей барыусы функциялар ҡәтғи монотон функциялар тип аталалар.

Периодлылыҡ

Әгәр

${\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M}$  тигеҙлеге үтәлһә, ${\displaystyle f\colon M\to N}$  функцияһы ${\displaystyle T\not =0}$  пери́оды менән периодлы функция тип атала.

Әгәр был тигеҙлек бер ниндәй ${\displaystyle T\in M,\,T\not =0}$  өсөн дә үтәлмәһә, ул саҡта ${\displaystyle f}$  функцияһы апериодлы тип атала.

Йоп функция

• Әгәр

${\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X}$  тигеҙлеге үтәлһә, ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$  функцияһы таҡ функция тип атала

• Әгәр

${\displaystyle f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.}$  тигеҙлеге үтәлһә, ${\displaystyle f}$  функцияһы йоп функция тип атала.

Функцияның экстремумдары

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}$  функцияһы бирелһен, ти һәм ${\displaystyle x_{0}\in X}$  — ${\displaystyle f}$  функцияһының бирелеү өлкәһенең эске нөктәһе булһын. Ул саҡта

• әгәр ${\displaystyle x_{0}}$  нөктәһенең
  ${\displaystyle \forall x\in M,x\neq x_{0}:\quad f(x)$  шарты үтәлерлек ${\displaystyle M}$  тирә-яғы булһа, ${\displaystyle x_{0}}$  локаль максимум нөктәһе тип атала;
• әгәр ${\displaystyle x_{0}}$  нөктәһенең
  ${\displaystyle \forall x\in M,x\neq x_{0}:\quad f(x)>f(x_{0})}$  шарты үтәлерлек ${\displaystyle M}$  тирә-яғы булһа, ${\displaystyle x_{0}}$  локаль минимум нөктәһе тип атала.

Бирелеү өлкәһе һәм ҡиммәттәре өлкәһенең тәбиғәте ниндәй булыуға бәйле рәүештә, өлкәләрҙең түбәндәге осраҡтарын айыралар:

1. абстракт күмәклектәр — ниндәй ҙә булһа өҫтәмә структураһыҙ күмәклектәр;
2. ниндәйҙер структуралар тағылған күмәклектәр.

1 осраҡта иң дөйөм күренештә сағылыштар ҡарайҙар һәм дөйөм мәсьәләләр хәл ителәләр. Шундай дөйөм мәсьәлә булып, мәҫәлән, күмәклектәрҙе ҡеүәте буйынса сағыштырыу мәсьәләһе тора: әгәр күмәклектәр араһында үҙ-ара берҙән бер ҡиммәтле сағылыш булһа (биекция), ул саҡта бирелгән ике күмәклекте эквивалентлы йәки тигеҙ ҡеүәтле тип атайҙар. Был берҙәм шкала рәүешендә күмәклектәрҙе классификациялау үткәрергә мөмкинлек бирә, башланғыс фрагмент түбәндәгесә күренештә:

• сикле күмәклектәр — бында күмәклектең ҡеүәте элементтарҙың һаны менән тап килә;
• иҫәпле күмәклектәр — натураль һандар күмәклегенә эквивалентлы күмәклектәр;
• континуум ҡеүәтле күмәклектәр (мәҫәлән, ысын һандар тура һыҙығының киҫеге йәки ысын һандар тура һыҙығы үҙе).

Ошоға ярашлы рәүештә, сағылыштарҙың түбәндәге миҫалдарын ҡарап үтеү урынлы булыр:

• сикле функциялар — сикле күмәклектәрҙең сағылыштары;
• эҙмә-эҙлелектәр — иҫәпле күмәклекте ирекле күмәклеккә сағылдырыу;
• континуаль функциялар — иҫәпле булмаған күмәклектәрҙе сикле, иҫәпле йәки иҫәпле булмаған күмәклектәргә сағылдырыу.

2 осраҡта, төп ҡарау объекты — күмәклектә бирелгән структура (күмәклек элементтарының өҫтәлмә үҙсәнлектәре) һәм сағылышта был структура менән ни булыры: әгәр үҙ-ара берҙән бер ҡиммәтле сағылышта бирелгән структураның үҙсәнлектәре һаҡланһа, ул саҡта ике структура араһында изоморфизм урынлаштырылған тип әйтәләр. Шулай итеп, төрлө күмәклектәрҙә бирелгән изоморфлы структураларҙы айырып булмай, шуға күрә математикала, был структура «изоморфизмға тиклем аныҡлыҡ менән» ҡарала тип әйтеү ҡабул ителгән.

Күмәклектәрҙә бирелгән структураларҙың күп төрҙәре бар. Бында инә:

• тәртип структураһы — күмәклек элементтарының өлөшләтә йәки һыҙыҡлы тәртибе;
• алгебраик структура — күмәклек элементтарында бирелгән группоид, ярым төркөм, төркөм, ҡулса, есем, бөтөнлөк өлкәһе йәки ялан;
• метрик арауыҡ структураһы — күмәклек элементтарында алыҫлыҡ функцияһы бирелә;
• Евклид арауығы структураһы — күмәклек элементтарында скаляр ҡабатландыҡ бирелә;
• топологик арауыҡ структураһы — күмәклектә «асыҡ күмәклектәр» йыйынтығы бирелә;
• үлсәмле арауыҡ структураһы — күмәклектә бирелгән күмәклектең аҫкүмәклектәре сигма-алгебраһы бирелә (мәҫәлән, бирелгән сигма-алгебра тарафынан функцияның бирелеү өлкәһе сифатында үлсәмде биреү аша)

Аныҡ үҙсәнлекле функциялар ярашлы структуралары булмаған күмәклектәрҙә бирелә алмаҫҡа мөмкин. Мәҫәлән, күмәклектә бирелгән функцияның өҙлөкһөҙлөк үҙсәнлеге формулировкаһы, был күмәклектә топологик структураны биреүҙе талап итә.

Өлөшләтә билдәләнгән функциялар

${\displaystyle X}$  күмәклегенән ${\displaystyle Y}$  күмәклегенә ${\displaystyle f}$  өлөшләтә билдәләнгән функцияһы, бирелеү өлкәһе ${\displaystyle X'\subset X}$  булған ${\displaystyle f\colon X'\to Y}$  функцияһы ул.

Ҡайһы бер авторҙар функция төшөнсәһе аҫтында өлөшләтә билдәләнгән функцияны аңлайҙар. Бының үҙенең өҫтөнлөктәре бар, мәҫәлән, ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  тип яҙып була, бында ${\displaystyle f(x)=1/x}$  был осраҡта ${\displaystyle \mathop {\rm {Dom}} f=\mathbb {R} \backslash \{0\}}$ .

Күп ҡиммәтле функциялар

Функцияның билдәләмәһе буйынса, аргументтың бирелгән ҡиммәтенә функцияның теүәл бер ҡиммәте ярашлы. Шулай булыуға ҡарамаҫтан, йыш ҡына күп ҡиммәтле функциялар тураһында ишетергә мөмкин. Ысынбарлыҡта, был ҡиммәттәре өлкәһе үҙе күмәклектәр ғаиләһе булған функцияның уңайлы атамаһы ғына.

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {B} }$ , бында ${\displaystyle \mathbb {B} }$  — ${\displaystyle Y}$  күмәклегенең аҫкүмәклектәре ғаиләһе булһын, ти. Ул саҡта ${\displaystyle f(x)}$  теләһә ниндәй ${\displaystyle x\in X}$  өсөн күмәклек була.

Әгәр аргументтың һәр ҡиммәтенә функцияның берҙән-бер ҡиммәте ярашлы булһа, функция берҙән-бер ҡиммәтле була.

Әгәр аргументтың бер генә ҡиммәтенә булһа ла функцияның ике йәки күберәк ҡиммәте ярашлы булһа, функция күп ҡиммәтле була.

• Функциональ тигеҙләмә
• Алгоритм
• Тигеҙләмә
• Булев функцияһы

• Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
• Ҡалып:Статья в Кванте

• Ҡалып:Статья в Кванте
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The function concept  (билдәһеҙ). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (октябрь 2005).