Matematika Fungsi: Relasi biner matematika

Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah ${\displaystyle y=f(2x)}$, yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis ${\displaystyle f(5)=10}$.

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ 

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

${\displaystyle x\in A}$ 
${\displaystyle f:x\rightarrow x^{2}}$ 

atau

${\displaystyle f(x)=\,x^{2}}$ 

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

 

Misal diketahui fungsi f : A → B

Himpuan A disebut domain (daerah asal), himpunan B adalah kodomain (daerah kawan), dan anggota himpunan B yang memiliki pasangan di A disebut range (daerah hasil).

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a₁ dan a₂ ${\displaystyle \in A}$  dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Contoh: A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada, fungsi onto atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Contoh: A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

Fungsi bijektif

 

Fungsi f: A → B disebut fungsi korespondensi satu-satu, fungsi into, fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Contoh: A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,b), (3,c)}

Rumus fungsi ganjil dan genap yaitu ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$  untuk fungsi ganjil dan ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$  untuk fungsi genap.

1. Fungsi eksplisit

Contoh: ${\displaystyle y=2x+3}$ , ${\displaystyle y={\sqrt {4x^{2}+5}}}$ , ${\displaystyle y=-2x+{\sqrt {2}}}$ 

1. Fungsi implisit

Ada dua jenis yaitu:

1. 1. implisit eksplisit

adalah fungsi yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: ${\displaystyle 5x+7y=8}$ , ${\displaystyle 3x^{2}+2y^{2}=7}$ , ${\displaystyle x^{2}+4xy+4y^{2}=5}$ 

1. 1. implisit noneksplisit

adalah fungsi yang dapat tidak diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: ${\displaystyle 2x^{2}+xy+3y^{2}=8}$ 

Fungsi pecahan terdiri dari

1. ${\displaystyle y={\frac {ax+b}{px+q}}}$  dengan p ≠ 0.

Langkah untuk gambar:

1. Titik sumbu x (y = 0)
2. Titik sumbu y (x = 0)
3. Asimtot datar ${\displaystyle y={\frac {a}{p}}}$ 
4. Asimtot tegak ${\displaystyle x={\frac {-q}{p}}}$ 
5. Titik-titik lain

1. ${\displaystyle y={\frac {ax+b}{px^{2}+qx+r}}}$  dengan {p, q} ≠ 0.

Langkah untuk gambar:

1. Titik sumbu x (y = 0)
2. Titik sumbu y (x = 0)
3. Asimtot datar y = 0
4. Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
5. Harga Ekstrem/Titik balik

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{px^{2}+qx+r}}}$  diubah menjadi ${\displaystyle ypx^{2}+(yq-a)x+(yr-b)=0}$  lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ ) lalu cari x dengan menggunakan (${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ )

1. Titik-titik lain

1. ${\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px+q}}}$  dengan {a, p} ≠ 0.

Langkah untuk gambar:

1. Titik sumbu x (y = 0)
2. Titik sumbu y (x = 0)
3. Asimtot tegak ${\displaystyle x={\frac {-q}{p}}}$ 
4. Asimtot miring dimana pembilang dibagi penyebut yaitu ${\displaystyle y=mx+n+{\frac {l}{px+q}}}$  jadi ambil y = mx + n saja
5. Harga Ekstrem/Titik balik

${\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px+q}}}$  diubah menjadi ${\displaystyle ax^{2}+(b-yp)x+(c-yq)=0}$  lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ ) lalu cari x dengan menggunakan (${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ )

1. Titik-titik lain

1. ${\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}}$  dengan {a, p, q} ≠ 0.

Langkah untuk gambar:

1. Titik sumbu x (y = 0)
2. Titik sumbu y (x = 0)
3. Asimtot datar ${\displaystyle y={\frac {a}{p}}}$ 
4. Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
5. Harga Ekstrem/Titik balik

${\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}}$  diubah menjadi ${\displaystyle (yp-a)x^{2}+(yq-b)x+(yr-c)=0}$  lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ ) lalu cari x dengan menggunakan (${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ )

1. Titik potong dengan asimtot datar untuk mencari x dimana y adalah asimtot datar
2. Titik-titik lain

Contoh

• Tentukan ${\displaystyle f(x)\circ g(x)}$  dan ${\displaystyle g(x)\circ f(x)}$  dari ${\displaystyle f(x)=2x+3}$  dan ${\displaystyle g(x)=4x+7}$ !

${\displaystyle f(x)\circ g(x)=f(g(x))}$ 
${\displaystyle f(g(x))=f(4x+7)}$ 
${\displaystyle f(g(x))=2(4x+7)+3}$ 
${\displaystyle f(g(x))=8x+17}$ 

${\displaystyle g(x)\circ f(x)=g(f(x))}$ 
${\displaystyle g(f(x))=g(2x+3)}$ 
${\displaystyle g(f(x))=4(2x+3)+7}$ 
${\displaystyle g(f(x))=8x+19}$ 

• Tentukan ${\displaystyle f(x)}$  dari ${\displaystyle g(x)=4x+7}$ 

a ${\displaystyle f(g(x))=8x+17}$ !
b ${\displaystyle g(f(x))=8x+19}$ !

a

${\displaystyle f(g(x))=8x+17}$ 
${\displaystyle f(4x+7)=8x+17}$ 
${\displaystyle f({\frac {4x+7-7}{4}})=8({\frac {x-7}{4}})+17}$ 
${\displaystyle f(x)=2x-14+17}$ 
${\displaystyle f(x)=2x+3}$ 

b

${\displaystyle g(f(x))=8x+19}$ 
${\displaystyle 4f(x)+7=8x+19}$ 
${\displaystyle {\frac {4f(x)+7-7}{4}}={\frac {8x+19-7}{4}}}$ 
${\displaystyle f(x)=2x+3}$ 

• Tentukan ${\displaystyle f(x)\circ g(x)}$  dan ${\displaystyle g(x)\circ f(x)}$  dari ${\displaystyle f(x)=5x+3}$  dan ${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$ !

${\displaystyle f(x)\circ g(x)=f(g(x))}$ 
${\displaystyle f(g(x))=f(x^{2}+4x+7)}$ 
${\displaystyle f(g(x))=5(x^{2}+4x+7)+3}$ 
${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$ 

${\displaystyle g(x)\circ f(x)=(f(x))}$ 
${\displaystyle g(f(x))=g(5x+3)}$ 
${\displaystyle g(f(x))=(5x+3)^{2}+4(5x+3)+7}$ 
${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+30x+9+20x+12+7}$ 
${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$ 

• Tentukan ${\displaystyle g(x)}$  dari ${\displaystyle f(x)=5x+3}$ 

a ${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$ !
b ${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$ !

a

${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$ 
${\displaystyle 5g(x)+3=5x^{2}+20x+38}$ 
${\displaystyle {\frac {5g(x)+3-3}{5}}={\frac {5x^{2}+20x+38-3}{5}}}$ 
${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$ 

b

${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$ 
${\displaystyle g(5x+3)=25x^{2}+50x+28}$ 
${\displaystyle g({\frac {5x+3-3}{5}})=25({\frac {x-3}{5}})^{2}+50({\frac {x-3}{5}})+28}$ 
${\displaystyle g(x)=25({\frac {x^{2}-6x+9}{25}})+10x-30+28}$ 
${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$ 

• Tentukan ${\displaystyle f(x)}$  dari ${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$ 

a ${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$ !
b ${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$ !

a

${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$ 
${\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5x^{2}+20x+38}$ 
${\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5x^{2}+20x+35-35+38}$ 
${\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5(x^{2}+4x+7)+3}$ 
${\displaystyle f(x)=5x+3}$ 

b

${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$ 
${\displaystyle (f(x))^{2}+4f(x)+7=25x^{2}+50x+28}$ 
${\displaystyle (f(x))^{2}+4f(x)+4-4+7=25x^{2}+50x+25-25+28}$ 
${\displaystyle (f(x)+2)^{2}+3=(5x+5)^{2}+3}$ 
${\displaystyle f(x)+2=5x+5}$ 
${\displaystyle f(x)=5x+3}$ 

 

Wiki Commons memiliki media mengenai Functions.

• Fungsi invers
• Komposisi fungsi
• Himpunan
• Relasi biner