Funksioni

Një funksion më së shpeshti shënohet me shkronja të tilla si ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ dhe ${\displaystyle h}$, dhe vlera e një funksioni ${\displaystyle f}$ në një element ${\displaystyle x}$ të domenit të tij shënohet me ${\displaystyle f(x)}$; vlera numerike që rezulton nga vlerësimi i funksionit për një hyrje të caktuar merret duke zëvendësuar ${\displaystyle x}$ me këtë vlerë; për shembull, vlera e ${\displaystyle f}$ në ${\displaystyle x=4}$ shënohet me ${\displaystyle f(4)}$. Kur funksioni nuk emërtohet dhe përfaqësohet nga një shprehje ${\displaystyle E}$, vlera e funksionit, le të themi, ${\displaystyle x=4}$ mund të shënohet si ${\displaystyle E|4}$ . Për shembull, vlera në 4 e funksionit që hartëzon ${\displaystyle x}$ në ${\displaystyle (x+1)^{2}}$ mund të shënohet me ${\displaystyle \left.(x+1)^{2}\right\vert _{x=4}}$ (që jep 25).

Diagram i funksionit me bashkësinë e fytyrave X = {1, 2, 3} dhe atë të shëmbëllimeve Y = {A, B, C, D}, e cila përkufizohet nga një bashkësi çiftesh të renditura {(1, D), (2, C), (3, C)} . Imazhi/Shtrirja është bashkësia {C, D} .

---

---

---

Ky diagram që përfaqëson një bashkësi çiftesh {(1,D), (2,B), (2,C)} , nuk është një funksion. Një arsye është sepse numri 2 është elementi i parë i më shumë se një çifti të renditur, (2, B) dhe (2, C), e kësaj bashkësie. Dy arsye të tjera janë sepse as 3 dhe as 4 nuk janë hyrje të ndonjë çifti të renditur.

Një funksion përfaqësohet në mënyrë unike nga bashkësia e të gjitha çifteve ${\displaystyle (x,f(x))}$, të quajtura grafiku i funksionit, një mjet popullor për të ilustruar funksionin. Kur fytyrat dhe shëmbëllimet janë bashkësi të numrave realë, çdo çift i tillë mund të konsiderohet si koordinatë karteziane të një pike në rrafsh.

Funksionet fillimisht ishin idealizimi i mënyrës sesi një madhësi e ndryshueshme varet nga një sasi tjetër. Për shembull, vendndodhja e një planeti është një funksion i kohës. Historikisht, koncepti u përpunua me llogaritjen pambarimisht të vogël në fund të shekullit të 17-të dhe, deri në shekullin e 19-të, funksionet që u morën parasysh ishin të diferencueshme. Koncepti i një funksioni u zyrtarizua në fund të shekullit të 19-të për sa i përket teorisë së grupeve, dhe kjo zgjeroi shumë fushat e zbatimit të konceptit.

Funksionet përdoren gjerësisht në shkencë, inxhinieri dhe në shumicën e fushave të matematikës. Është thënë se funksionet janë "objektet qendrore të hetimit" në shumicën e fushave të matematikës.

Një funksion nga një bashkësi ${\displaystyle X}$  në një bashkësi ${\displaystyle Y}$  është një caktim i një elementi të ${\displaystyle Y}$  për secilin element të ${\displaystyle X}$ . Bashkësia ${\displaystyle X}$  quhet fytyrat e funksionit dhe bashkësia ${\displaystyle Y}$  quhet shëmbëllimet e funksionit.

Një funksion, fytyrat e tij dhe shëmbëllimet e tij deklarohen me shënimin ${\displaystyle f:X\to Y}$ , dhe vlera e një funksioni ${\displaystyle f}$  në një element ${\displaystyle x}$  të ${\displaystyle X}$ , e shënuar me ${\displaystyle f(x)}$  quhet imazhi i ${\displaystyle x}$  nën ${\displaystyle f}$ , ose vlera e ${\displaystyle f}$  e aplikuar në argumentin ${\displaystyle x}$ .

Dy funksione ${\displaystyle f}$  dhe ${\displaystyle g}$  janë të barabarta nëse bashkësitë e tyre të domenit dhe të kodominës janë të njëjta dhe vlerat e tyre të daljes bien dakord në të gjithë domenin. Më formalisht, duke pasur parasysh ${\displaystyle f:X\to Y}$  dhe ${\displaystyle g:X\to Y}$ , kemi f = g nëse dhe vetëm nëse ${\displaystyle f(x)=g(x)}$  për të gjithë ${\displaystyle x\in X}$  .  

Eksponenciali i bashkësisë

Kompleti i të gjitha funksioneve nga një bashkësi ${\displaystyle X}$  në një bashkësi ${\displaystyle Y}$  zakonisht shënohet si

${\displaystyle Y^{X},}$ 

e cila lexohet si ${\displaystyle Y}$  në fuqinë ${\displaystyle X}$  .

Ky shënim është i njëjtë me shënimin për produktin kartezian të një familjeje kopjesh të ${\displaystyle Y}$  indeksuar nga ${\displaystyle X}$  :

${\displaystyle Y^{X}=\prod _{x\in X}Y.}$ 

Identiteti i këtyre dy shënimeve motivohet nga fakti se një funksion ${\displaystyle f}$  mund të identifikohet me elementin e prodhimit kartezian të tillë që komponenti i indeksit ${\displaystyle x}$  është ${\displaystyle f(x)}$  .

Kur ${\displaystyle Y}$  ka dy elemente, ${\displaystyle Y^{X}}$  shënohet zakonisht ${\displaystyle 2^{X}}$  dhe quhet grupi i fuqive i ${\displaystyle X}$  Mund të identifikohet me grupin e të gjitha nëngrupeve të ${\displaystyle X}$ , përmes korrespondencës një-për-një që lidhet me secilën nëngrup ${\displaystyle S\subseteq X}$  funksionin ${\displaystyle f}$  sikurse ${\displaystyle f(x)=1}$  nëse ${\displaystyle x\in S}$  dhe ${\displaystyle f(x)=0}$  ndryshe.

Shënimi funksional

Në shënimin funksional, funksionit i jepet menjëherë një emër, si p.sh ${\displaystyle f}$ , dhe përkufizimi i tij jepet nga çfarë ${\displaystyle f}$  i bën hyrjes ${\displaystyle x}$ , duke përdorur një formulë në kufiza të ${\displaystyle x}$  . Për shembull, funksioni që merr një numër real si hyrje dhe nxjerr atë numër plus 1 shënohet me

${\displaystyle f(x)=x+1}$  .

Nëse një funksion përcaktohet me këtë shënim, fytyrat dhe shëmbëllimet e tij merren në mënyrë të heshtur si të dyja ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , bashkësia e numrave realë. Nëse formula nuk mund të vlerësohet në të gjithë numrat realë, atëherë fytyrat në mënyrë të heshtur merren si nëngrupi maksimal i ${\displaystyle \mathbb {R} }$  mbi të cilën mund të vlerësohet formula.

Një shembull më i ndërlikuar është funksioni

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$  .

Në këtë shembull, funksioni ${\displaystyle f}$  merr një numër real si hyrje, e ngre në katror, pastaj i shton 1 rezultatit, më pas merr sinusin e rezultatit dhe e kthen rezultatin përfundimtar si dalje.

Shënimi funksional u përdor për herë të parë nga Leonhard Euler në 1734. Disa funksione të përdorura gjerësisht përfaqësohen nga një simbol i përbërë nga disa shkronja (zakonisht dy ose tre, përgjithësisht një shkurtim i emrit të tyre). Në këtë rast, në vend të kësaj përdoret zakonisht një tip romak, si p.sh. " sin " për funksionin sinus.

Shënimi i shigjetës

Shënimi me shigjetë e përcakton rregullin e një funksioni në rresht. Për shëmbull, ${\displaystyle x\mapsto x+1}$  është funksioni që merr një numër real si hyrje dhe në dalje jep atë plus 1. Prapë bashkësitë nuk janë të dhëna kështu që implikohet ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$ 

Kjo përcakton një funksion sqr nga numrat e plotë në numrat e plotë që kthen katrorin e hyrjes së tij.

Shënimi i indeksit përdoret shpesh në vend të shënimit funksional. Kjo do të thotë, në vend që të shkruhet ${\displaystyle f(x)}$ , shkruhet ${\displaystyle f_{x}.}$ 

Ky është zakonisht rasti për funksionet, fytyra e të cilëve është bashkësia e numrave natyrorë . Një funksion i tillë quhet varg, dhe, në këtë rast, element ${\displaystyle f_{n}}$  quhet elementi n i vargut.

Me një formulë

Funksionet shpesh përcaktohen nga një formulë që përshkruan një kombinim të veprimeve aritmetike dhe funksioneve të përcaktuara më parë; një formulë e tillë lejon llogaritjen e vlerës së funksionit nga vlera e çdo elementi të bashkësisë së fytyrave. Për shembull, në rastin e mësipërm, ${\displaystyle f}$  mund të përcaktohet me formulë ${\displaystyle f(n)=n+1}$ , për ${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$  .

Kur një funksion përcaktohet në këtë mënyrë, përcaktimi i fytyrave të tij ndonjëherë është i vështirë. Nëse formula që përcakton funksionin përmban pjesëtim, vlerat e ndryshores për të cilën emëruesi është zero duhet të përjashtohen nga fytyrat; Kështu, për një funksion të ndërlikuar, përcaktimi i fytyrave kalon përmes llogaritjes së zerove të funksioneve ndihmëse.

Për shembull, ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$  përcakton një funksion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  fytyra e të cilit është ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$  sepse ${\displaystyle 1+x^{2}}$  është gjithmonë pozitive nëse ${\displaystyle x}$  është një numër real. Në anën tjetër, ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$  përcakton një funksion nga realet në reale fytyra e të cilave reduktohet në intervalin [ -1, 1 ] .

Funksionet shpesh klasifikohen sipas natyrës së formulave që i përcaktojnë ato:

• Një funksion kuadratik është një funksion që mund të shkruhet ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$  ku a, b, c janë konstante .
• Në përgjithësi, një funksion polinomial është një funksion që mund të përcaktohet nga një formulë që përfshin vetëm mbledhje, zbritje, shumëzime dhe ngritje në fuqi të fuqive jonegative. Për shembull, ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$  dhe ${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$  janë funksione polinomiale të ${\displaystyle x}$  .
• Një funksion racional është i njëjtë, duke lejuar edhe pjesëtimin, si p.sh ${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$  dhe ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$ 
• Një funksion algjebrik është i njëjtë, me rrënjë të indeksit n dhe rrënjë të polinomeve të lejuara gjithashtu.
• Një funksion elementar është i njëjtë, me logaritme dhe funksione eksponenciale të lejuara.

Funksionet e anasjellta dhe të nënkuptuara

Një funksion ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$  me fytyrë ${\displaystyle X}$  dhe shëmbëllim ${\displaystyle Y}$ , është bijektiv, nëse për çdo ${\displaystyle y}$  në ${\displaystyle Y}$ , ka një dhe vetëm një element ${\displaystyle x}$  në ${\displaystyle X}$  të tillë që ${\displaystyle y=f(x)}$ . Në këtë rast, funksioni i anasjelltë i ${\displaystyle f}$  është funksioni ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$  që hartat ${\displaystyle y\in Y}$  tek elementi ${\displaystyle x\in X}$  të tillë që ${\displaystyle y=f(x)}$ . Për shembull, logaritmi natyror është një funksion bijektiv nga numrat realë pozitivë në numrat realë. Kështu, ai ka një të anasjelltë, të quajtur funksioni eksponencial, që harton numrat realë në numrat pozitivë.

Nëse një funksion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  nuk është bijektiv, mund të ndodhë që të zgjidhet një nënbashkësi ${\displaystyle E\subseteq X}$  dhe ${\displaystyle F\subseteq Y}$  i tillë që kufizimi i ${\displaystyle f}$  në ${\displaystyle E}$  është një bijeksion nga ${\displaystyle E}$  në ${\displaystyle F}$ , dhe kështu ka një invers. Funksionet trigonometrike të anasjellta përcaktohen në këtë mënyrë. Për shembull, funksioni kosinus indukton, duke e kufizuar, një bijeksion nga intervali ${\displaystyle [0,\pi ]}$  në intervalin [ -1, 1 ] dhe funksioni i tij i kundërt, i quajtur arkkosinus, harton [ -1, 1 ] në ${\displaystyle [0,\pi ]}$ . Funksionet e tjera trigonometrike të anasjellta janë përcaktuar në mënyrë të ngjashme.

Më përgjithësisht, duke pasur parasysh një lidhje binare ${\displaystyle R}$  ndërmjet dy grupeve ${\displaystyle X}$  dhe ${\displaystyle Y}$ , le të jetë ${\displaystyle E}$  një nëngrup i ${\displaystyle X}$  i tillë që, për çdo ${\displaystyle x\in E,}$  aty ka disa ${\displaystyle y\in Y}$  të tilla që ${\displaystyle xRy}$  . Nëse dikush ka një kriter që lejon zgjedhjen e një ${\displaystyle y}$  të tillë për çdo ${\displaystyle x\in E,}$  kjo përcakton një funksion ${\displaystyle f\colon E\to Y,}$  quhet funksion i nënkuptuar, sepse përkufizohet në mënyrë të nënkuptuar nga relacioni R.

Për shembull, ekuacioni i rrethit njësi ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$  përcakton një lidhje me numrat realë. Nëse −1 < x < 1 ka dy vlera të mundshme të y, një pozitive dhe një negative. Për x = ± 1, këto dy vlera bëhen të barabarta me 0. Përndryshe, nuk ka vlerë të mundshme të y . Kjo do të thotë se ekuacioni përcakton dy funksione të nënkuptuara me fytyra [ −1, 1 ] dhe shëmbëllimet përkatëse [ 0, +∞) dhe (−∞, 0] .

Përdorimi i llogaritjes diferenciale

Shumë funksione mund të përkufizohen si integrale të pacaktuara të një funksioni tjetër. Ky është rasti i logaritmit natyror, i cili është integrali i pacaktuar i ${\displaystyle 1/x}$  që është 0 për x = 1 . Një shembull tjetër i zakonshëm është funksioni i gabimit .

Një grafik përdoret zakonisht për të dhënë një pamje intuitive të një funksioni. Si shembull se si një grafik ndihmon për të kuptuar një funksion, është e lehtë të shihet nga grafiku i tij nëse një funksion është në rritje apo në rënie. Disa funksione mund të përfaqësohen gjithashtu nga grafikët me shtylla .

Grafikët dhe plotet

 

Jepet një funksion ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$  grafiku i tij është, formalisht, grupi

${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$ 

Në rastin e shpeshtë kur X dhe Y janë nënbashkësi të numrave realë (ose mund të identifikohen me nënbashkësi të tilla, p.sh. intervale ), një element ${\displaystyle (x,y)\in G}$  mund të identifikohet me një pikë që ka koordinata x, y në një sistem koordinativ 2-dimensional, p.sh. rrafshin kartezian . Pjesë të kësaj mund të krijojnë një grafik që përfaqëson (pjesë të) funksionit. Përdorimi i grafikëve është aq i kudondodhur sa edhe ato quhen grafiku i funksionit .

Përbërja e funksionit

Jepen dy funksione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  dhe ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$  të tillë që fytyra e ${\displaystyle g}$  është shëmbëllimi i ${\displaystyle f}$ , përbërja e tyre është funksioni ${\displaystyle g\circ f\colon X\rightarrow Z}$  i përcaktuar nga

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$ 

Kjo dmth se vlera e ${\displaystyle g\circ f}$  fitohet duke zbatuar fillimisht f në x për të marrë ${\displaystyle y=f(x)}$  dhe më pas duke zbatuar g në rezultatin y për të marrë ${\displaystyle g(y)=g(f(x))}$  . Në shënim funksioni që zbatohet i pari shkruhet gjithmonë djathtas.

 

Përbërja ${\displaystyle g\circ f}$  është një veprim mbi funksionet që përcaktohet vetëm nëse shëmbëllimi i funksionit të parë është fytyra e të dytit. Edhe kur të dyja ${\displaystyle g\circ f}$  dhe ${\displaystyle f\circ g}$  plotësojnë këto kushte, përbërja nuk është domosdoshmërisht ndërruese, domethënë funksionet ${\displaystyle g\circ f}$  dhe ${\displaystyle f\circ g}$  nuk duhet të jetë të barabartë, por mund të japin vlera të ndryshme për të njëjtin argument. Për shembull, le të jenë ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  dhe ${\displaystyle g(x)=x+1}$ , atëherë ${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$  dhe ${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$  janë njëlloj vetëm për ${\displaystyle x=0.}$ 

Përbërja e funksionit është shoqëruese në kuptimin që, nëse një nga ${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$  dhe ${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$  përkufizohet, pastaj përkufizohet edhe tjetra dhe janë të barabarta. Kështu, shkruhet

${\displaystyle h\circ g\circ f=(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$ 

Imazhi dhe paraimazhi

Le të jetë ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$  Imazhi nën fi një elementi x të fytyrave X është f(x). Nëse A është një nënbashkësi eX, atëherë imazhi i A nën f, i shënuar f(A), është nënbashkësia e shëmbëllimeve Y që përmban të gjitha imazhet e eëementëve të A, që dmth:

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$ 

Imazhi i ${\displaystyle f}$  është imazhi i të gjithë domenit, domethënë ${\displaystyle f(X)}$  . [18] Quhet gjithashtu diapazoni i ${\displaystyle f}$ ,

Nga ana tjetër, imazhi i anasjelltë ose paraimazhi nën ${\displaystyle f}$  i një elementi y të shëmbëllimit ${\displaystyle Y}$  është bashkësia e të gjithë elementëve të domenit ${\displaystyle X}$ , imazhet e të cilëve nën ${\displaystyle f}$  janë të barabarta y. Në simbole, paraimazhi i y -së shënohet me ${\displaystyle f^{-1}(y)}$  dhe jepet nga ekuacioni

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$ 

Po kështu, paraimazhi i një nënbashkësie ${\displaystyle B}$  të shëmbëllimit ${\displaystyle Y}$  është bashkësia e paraimazheve të elementeve të ${\displaystyle B}$ , domethënë është nënbashkësia e fytyrave ${\displaystyle X}$  që përbëhet nga të gjithë elementët e ${\displaystyle X}$ , imazhet e të cilit i përkasin ${\displaystyle B}$ . Shënohet me ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ 

 

dhe jepet nga ekuacioni

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$ 

Për shembull, paraimazhi i ${\displaystyle \{4,9\}}$  nën funksionin katror është bashkësia ${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$  .

Funksionet injektive, syrjektive dhe bijektive

Le ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  të jetë një funksion.

Funksioni ${\displaystyle f}$  është injektiv (ose një-me-një, ose është një injeksion ) nëse ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$  për çdo dy elementë të ndryshme ${\displaystyle a}$  dhe ${\displaystyle b}$  të ${\displaystyle X}$  . Në mënyrë të njëvlershme, ${\displaystyle f}$  është injektiv atëherë dhe vetëm atëherë kur për ndonjë ${\displaystyle y\in Y,}$  paraimazhi ${\displaystyle f^{-1}(y)}$  përmban të shumtën një element. Një funksion bosh është gjithmonë injektiv. Nëse ${\displaystyle X}$  nuk është grupi bosh, atëherë f është injektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion ${\displaystyle g\colon Y\to X}$  sikurse ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$  domethënë, nëse ${\displaystyle f}$  ka një invers të majtë . Vërtetim : Nëse f është injektiv, për përcaktimin e g, zgjidhet një element ${\displaystyle x_{0}}$  në ${\displaystyle X}$  (i cili ekziston pasi X supozohet të jetë jo bosh), dhe njëri përcakton g me ${\displaystyle g(y)=x}$  nëse ${\displaystyle y=f(x)}$  dhe ${\displaystyle g(y)=x_{0}}$  nëse ${\displaystyle y\not \in f(X).}$  Në të kundërt, nëse ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$  dhe ${\displaystyle y=f(x),}$  pastaj ${\displaystyle x=g(y),}$  dhe kështu ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$ 

 

Funksioni ${\displaystyle f}$  është surjektiv (ose mbi, ose është një surjeksion ) nëse diapazoni i tij ${\displaystyle f(X)}$  barazohet me shëmbëllimin e tij ${\displaystyle Y}$ , domethënë nëse, për secilin element ${\displaystyle y}$  të shëmbëllimit, ekziston një element ${\displaystyle x}$  i fytyrave i tillë që ${\displaystyle f(x)=y}$  (me fjalë të tjera, paraimazhi ${\displaystyle f^{-1}(y)}$  të çdo ${\displaystyle y\in Y}$  nuk është bosh). Nëse, si zakonisht në matematikën moderne, supozohet aksioma e zgjedhjes, atëherë ${\displaystyle f}$  është surjektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion ${\displaystyle g\colon Y\to X}$  sikurse ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$  domethënë, nëse ${\displaystyle f}$  ka një të anasjelltë të drejtë .

Funksioni ${\displaystyle f}$  është bijektiv (ose është një bijeksion ose një korrespodencë një-për-një ) nëse është edhe injektiv edhe surjektiv. Kjo do të thotë, ${\displaystyle f}$  është bijektiv nëse, për ndonjë ${\displaystyle y\in Y,}$  paraimazhi ${\displaystyle f^{-1}(y)}$  përmban saktësisht një element. Funksioni ${\displaystyle f}$  është bijektiv nëse dhe vetëm nëse pranon një funksion të anasjelltë, domethënë një funksion ${\displaystyle g\colon Y\to X}$  sikurse ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$  dhe ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$ 

• Bartle, Robert (1976). The Elements of Real Analysis (në anglisht) (bot. 2nd). Wiley. ISBN 978-0-471-05465-8. OCLC 465115030.
• Bloch, Ethan D. (2011). Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics (në anglisht). Springer. ISBN 978-1-4419-7126-5.
• Cunningham, Daniel W. (2016). Set theory: A First Course (në anglisht). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-12032-7.
• Gödel, Kurt (1940). The Consistency of the Continuum Hypothesis (në anglisht). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1.
• Halmos, Paul R. (1970). Naive Set Theory (në anglisht). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003). Set theory (në anglisht) (bot. 3rd). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Spivak, Michael (2008). Calculus (në anglisht) (bot. 4th). Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.

• Anton, Howard (1980). Calculus with Analytical Geometry (në anglisht). Wiley. ISBN 978-0-471-03248-9.
• Bartle, Robert G. (1976). The Elements of Real Analysis (në anglisht) (bot. 2nd). Wiley. ISBN 978-0-471-05464-1.
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992). The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy (në anglisht). Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-081-7.
• Hammack, Richard (2009). "12. Functions" (PDF). Book of Proof (në anglisht). Virginia Commonwealth University. Marrë më 2012-08-01.
• Husch, Lawrence S. (2001). Visual Calculus (në anglisht). University of Tennessee. Marrë më 2007-09-27.
• Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis (në anglisht). D. C. Heath and Company.
• Kleiner, Israel (1989). "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey". The College Mathematics Journal (në anglisht). 20 (4): 282–300. CiteSeerX 10.1.1.113.6352. doi:10.2307/2686848. JSTOR 2686848.
• Lützen, Jesper (2003). "Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis". përmbledhur nga Porter, Roy (red.). The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences (në anglisht). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57199-9. An approachable and diverting historical presentation.
• Malik, M. A. (1980). "Historical and pedagogical aspects of the definition of function". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (në anglisht). 11 (4): 489–492. doi:10.1080/0020739800110404.
• Reichenbach, Hans (1947). Elements of Symbolic Logic (në anglisht). Dover. ISBN 0-486-24004-5.
• Ruthing, D. (1984). "Old Intelligencer: Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N." Mathematical Intelligencer (në anglisht). 6 (4): 71–78. doi:10.1007/BF03026743. S2CID 189883712.
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995). Calculus and Analytic Geometry (në anglisht) (bot. 9th). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-53174-9.