Numrat Natyrorë: Numri në bashkësinë e numrave natyrorë

Numrat që përdoren për numërimin quhen numra kardinalë, ndërsa numrat që përdoren për data ose renditje quhen ordinalë.

Disa përkufizime, duke përfshirë standardin ISO 80000-2, i nisin numrat natyrorë me 0, që korrespondojnë me numrat jo-negativë 0, 1, 2, 3, ..., ndërsa të tjerët fillojnë me 1, që korrespondojnë me numrat pozitivë 1, 2, 3, ... Tekstet që përjashtojnë zeron nga numrat natyrorë ndonjëherë i referohen numrave natyrorë së bashku me zeron si numra të tërë, ndërsa në shkrimet e tjera, ky term përdoret në vend të plotë (duke përfshirë edhe numrat negativë). [5]
${\displaystyle \mathbb {N} =\{\,1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \,\}}$

Matematikani i njohur italian G.Peano (1858-1932) në vitin 1899 e aksiomatizoi aritmetikën e numrave natyrorë.

Peano përfshiu në numrat natyrorë edhe zeron :

${\displaystyle \mathbb {N} =\{\,0,1,2,3,\ldots ,n\}}$

Përkufizimi aksiomatik i numrave natyrorë:

Numër natyror quhet çdo elementet i bashkësisë jo të zbrazët ${\displaystyle N}$ në të cilen është përkufizuar relacioni " është pasardhës i drejtpërdrejtë i " që plotëson këto aksioma:

• 1.1 Aksioma - Ekziston numri natyror ${\displaystyle 0}$  i cili nuk është pasardhës i drejtpërdrejtë i asnjë numri natyror.
• 1.2 Aksioma - Për çdo numër natyror ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$  , ekziston vetëm një numër natyror ${\displaystyle a^{\prime }}$  që është pasardhës i tij.

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\forall a,b\in \mathbb {N} )a=b\Rightarrow a^{\prime }=b^{\prime }}$ 

• 1.3 Aksioma - Secili numër natyror ${\displaystyle a^{\prime }\in \mathbb {N} }$  është pasardhës i jo më shumë se një numri natyror ${\displaystyle \ a}$ .

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\forall a,b\in \mathbb {N} )a^{\prime }=b^{\prime }\Rightarrow a=b}$ 

• 1.4 Aksioma e induksionit - Cilado bashkësi e numrave natyrore ${\displaystyle \mathbb {M} }$  që ka këto veti:

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$ (a) ${\displaystyle 1\in \mathbb {M} }$  dhe (b) ${\displaystyle a\in \mathbb {M} \Rightarrow a^{\prime }\in \mathbb {M} }$ 

përmban të gjithë numrat natyrorë

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbb {M} =\mathbb {N} \Leftarrow {\begin{cases}\ 1\in \mathbb {M} \\a\in \mathbb {M} \Rightarrow a^{\prime }\in \mathbb {M} \end{cases}}}$