Přirozené Číslo: Kladné či nezáporné celé číslo

Čísla používaná pro vyjádření počtu se v matematice označují jako kardinální čísla, zatímco čísla určená pro vyjádření pořadí se nazývají ordinální čísla. Přirozená čísla studuje odvětví matematiky teorie čísel.

Přirozená čísla patří mezi základní matematické koncepty, a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel. Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje písmenem ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Podle některých z používaných definic (např. standard ISO 80000-2) přirozená čísla začínají číslem 0 a označují tak celá nezáporná čísla (tj. čísla 0, 1, 2, …), zatímco podle jiných definic přirozená čísla začínají číslem 1 a označují tak celá kladná čísla 1, 2, 3, …

Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmenem ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ). (Z latiny numero-číslo, naturalis-přírodní, přirozený.^[zdroj?])

Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:

• pro nezáporná celá čísla (včetně nuly):
  • N⁰, resp. ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$ , případně N₀, resp. ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ , nebo
  • Z⁺₀, resp. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$ ;
• pro kladná celá čísla (bez nuly):
  • N⁺, resp. ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ , nebo
  • Z⁺, resp. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ .

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):

• Každé přirozené číslo ${\displaystyle a}$  má jediného následníka, označovaného ${\displaystyle S(a)}$ .
• Existuje jediné přirozené číslo, jež není následníkem žádného přirozeného čísla, značí se obvykle 0.
• Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud ${\displaystyle a\neq b}$ , pak ${\displaystyle S(a)\neq S(b)}$ .
• Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom (resp. axiomatické schéma) zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v axiomatické teorii množin je následující postup (von Neumannova konstrukce):

• Definuje se ${\displaystyle 0=\{\}=\emptyset }$  (prázdná množina).
• Definuje se ${\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}}$  (sjednocení množin) pro všechna ${\displaystyle a}$ .
• Množina přirozených čísel se pak definuje jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

${\displaystyle 0=\{\}}$ 
${\displaystyle 1=\{0\}=\{\{\}\}}$ 
${\displaystyle 2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}}$ 
${\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}}$ 
…atd.

Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo n vyjadřuje mohutnost množiny o právě n prvcích.

• Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
• Na přirozených číslech lze definovat operaci sčítání takto: ${\displaystyle a+0=a,a+S(b)=S(a+b)}$  pro všechna ${\displaystyle a,b}$ . Tím se stane ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\operatorname {+} )}$  komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme ${\displaystyle S(0)=1}$ , je ${\displaystyle S(a)=S(a+0)}$ ${\displaystyle =a+S(0)=a+1}$ , tedy následníkem čísla ${\displaystyle a}$  je číslo ${\displaystyle a+1}$ . Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
• Obdobně lze s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: ${\displaystyle a\cdot 0=0,a\cdot (b+1)=(a\cdot b)+a}$ . Tím se stane ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\operatorname {\cdot } )}$  komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ . ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\operatorname {+} ,\operatorname {\cdot } )}$  je tedy komutativním polookruhem.
• Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy ${\displaystyle a\leq b}$  právě tehdy, když existuje přirozené číslo ${\displaystyle c}$  takové, že ${\displaystyle a+c=b}$  Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, takže každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
• Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla ${\displaystyle a,b}$ , kde ${\displaystyle b\neq 0}$ , můžeme najít taková přirozená čísla ${\displaystyle r,g}$ , že platí ${\displaystyle a=bg+r}$  a zároveň ${\displaystyle r$ . Číslu ${\displaystyle r}$  pak říkáme zbytek po dělení čísla ${\displaystyle a}$  číslem ${\displaystyle b}$ , číslo ${\displaystyle q}$  je celočíselný podíl ${\displaystyle a}$  a ${\displaystyle b}$ . Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.

• Celé číslo
• Racionální číslo
• Reálné číslo
• Iracionální číslo

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu přirozené číslo na Wiki Commons
•   Slovníkové heslo přirozené číslo ve Wikislovníku
• Přirozené číslo v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Neil Sloane: Annotated version of "What's Special About This Number?" (Part 0)