Natüürelk Taal

Tekst üüb Öömrang

${\displaystyle \mathbb {N} }$

A natüürelk taalen (mengde ${\displaystyle \mathbb {N} }$) san jodiaren taalen, diar dü uftääl könst: 1(ian), 2(tau), 3(trii) an so widjer. Det gongt so widjer saner aanj, at jaft nian gratst taal. Enkelten tääl uk noch at 0 (nol) tu a natüürelk taalen.

At formeltiaken för a natüürelk taalen

${\displaystyle \mathbb {N} }$ 

Diartu hiar a positiif hial taalen

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1;2;3;\ldots \}}$ 

Enkelten tääl diar uk at 0 noch tu, do san't aler hial taalen, diar ei negatiif san

${\displaystyle \mathbb {N} }$ ₀${\displaystyle =\{0;1;2;3;\ldots \}}$ 

A matematikers Gieuseppe Peano an Richard Dedekind haa a natüürelk taalen so definiaret:

1. 0 as en natüürelk taal.
2. Tu arke natüürelk taal ${\displaystyle n}$  jaft at genau ään efterfulger ${\displaystyle n'}$ , an di as uk en natüürelk taal.
3. Nian natüürelk taal hää üs efterfulger det 0.
4. Arke natüürelk taal as efterfulger faan ei muar üs ian natüürelk taal.
5. Faan aler taalmengden ${\displaystyle X}$ , huar
   - det taal 0 an
   - mä arke natüürelk taal ${\displaystyle n}$  uk imer di efterfulger ${\displaystyle n'}$ 
   uun föörkomt, as det mengde faan a natüürelk taalen det letjst.

Det leetst aksiom as det Induksjuunsaksiom, diar baut en bewismetoode uun a matematiik üüb ap. Uun a formelspriak het jo Peano-Aksiomen so:

1. ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$ 
2. ${\displaystyle \forall n:(n\in \mathbb {N} \Rightarrow \exists !n'\in \mathbb {N} )}$ 
3. ${\displaystyle \forall n:\lnot (n'=0)}$ 
4. ${\displaystyle \lnot \exists (m,n):m'=n',\lnot m=n}$ 
5. ${\displaystyle \mathbb {N} =\inf(X:0\in X,(\forall n:n\in X\Rightarrow n'\in X))}$ 

A Peano-Aksiomen san a grünjlaag för't reegnin uun ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

1. ${\displaystyle n+0:=n\,}$  Bispal: 17 + 0 = 17
2. ${\displaystyle n+m':=(n+m)'\,}$  Bispal : 12 + (13 + 1) = (12 + 13) + 1 , det ment 12 + 14 = 25 + 1

an do

1. ${\displaystyle n\cdot 0:=0}$  Bispal: 17 * 0 = 0
2. ${\displaystyle n\cdot m':=(n\cdot m)+n}$  Bispal 3 * (4 + 1) = 3 * 4 + 3, det ment 3 * 5 = 12 + 3

Sodenang brangt det induksjuunsaksiom det seekerhaid, dat bi't reegnin aleewen weder natüürelk taalen ütjkem.

Gieuseppe Peano