Naravno Število

Naravno število služi za mero končnih množic. Z naravnimi števili se šteje ali pa razvršča. Označuje se jih z N ali z ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Na nekaterih področjih matematike (teorija množic, matematična logika in računalništvo) se včasih privzame, da je tudi 0 naravno število. Takšna množica se imenuje »množica naravnih števil z nič« in se jo označi z ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$. Kadar je množica naravnih števil definirana na ta način, označujejo množico naravnih števil brez 0 tudi ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}\,}$ ali ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}\,}$.

Čeprav tudi majhen otrok razume kaj se misli z naravnimi števili, njihova določitev ni enostavna. Peanovi aksiomi opišejo množico naravnih števil, ki se jo običajno označi z N ali z ${\displaystyle \mathbb {N} \,}$ .

• Obstaja naravno število 0.
• Vsakemu naravnemu številu n sledi naravno število n + 1 (ali kot se tudi označi naslednik števila n je n' ).
• Ne obstaja naravno število, kateremu sledi število 0 (ni naravnega števila −1').
• Različnima naravnima številoma sledita različni naravni števili: če je n₁ ≠ n₂, potem n₁ + 1 ≠ n₂ + 1 (ali n' ₁ ≠ n' ₂).
• Če neka značilnost P velja za število 0 in če iz P(n) sledi P(n+1) za vsak n, potem velja značilnost P za vsa naravna števila.

Zadnji aksiom zagotavlja veljavnost matematične indukcije pri dokazovanju.

S standardno konstrukcijo v teoriji množic preko Zermelo-Fraenkelovih aksiomov se določi vsako naravno število kot množico naravnih števil, manjšo od števila, tako, da so prva naravna ševila:

0 ≡ Ø = {} (prazna množica),
1 ≡ 0' = {0} = {Ø },
2 ≡ 1' = {0,1} = {0, {0}}, = {Ø, {Ø }},
3 ≡ 2' = {0,1,2} = = {0, {0}, {0, {0}} } = {Ø, {Ø, {Ø, {Ø }}}}

Množica 0 nima elementov, množica 1 ima en element, množica 2 dva, itd. Množica n je množica, ki ima n elementov 0,1,2,...,n−1 in hkrati je n podmnožica N in element N.

Seštevanje naravnih števil se določi induktivno z zahtevama:

n₁ + 0 ≡ n₁ za vsak n₁ ${\displaystyle \in }$  N,
n₁ + (n₂ + 1) ≡ (n₁ + n₂) + 1 za vsak n₁,n₂ ${\displaystyle \in }$  N.

Tako je množica naravnih števil (N, +) komutativni monoid z nevtralnim elementom 0 ali prosti monoid z enim generatorjem. Ta monoid se lahko vloži v grupo. Najmanjša grupa, ki vsebuje naravna števila je množica celih števil.

Podobno je množenje · določeno z zahtevama:

n₁ · 0 ≡ 0 za vsak n₁ ${\displaystyle \in }$  N,
n₁ · (n₂ + 1) = (n₁ · n₂) + n₁.

S tem je (N, ·) komutativni monoid z nevtralnim elementom 1. Seštevanje in množenje sta združljivi dvočleni aritmetični operaciji, izraženi z distributivnostjo:

n₁ · (n₂ + n₃) = n₁ · n₂ + n₁ · n₃.

Množica naravnih števil je popolno urejena tako, da velja n₁ ≤ n₂, samo tedaj kadar obstaja naravno število n₃, za katero velja n₁ + n₃ = n₂. Urejenost je združljiva z aritmetičnimi operacijami. Če so n₁, n₂ in n₃ naravna števila in n₁ ≤ n₂, potem velja:

n₁ + n₃ ≤ n₂ + n₃ in
n₁ · n₃ ≤ n₂ · n₃.

Pomembna značilnost naravnih števil je, da so dobro urejena. Vsaka množica naravnih števil ima najmanjši element.

Deljenje v splošnem v množici naravnih števil ni mogoče. To operacijo zamenja deljenje z ostankom: za poljubni dve naravni števili n₁ in n₂, kjer n₂ ≠ 0, obstajata takšni naravni števili k in l₂, da velja:

n₁ = n₂ · k + l     in     l < n₂.

Število k se imenuje količnik (kvocient) in l ostanek ali delitev števila n₁ z n₂. Števili k in l sta enolično določeni s številoma n₁ in n₂.

Globlje značilnosti naravnih števil, kot je porazdelitev praštevil raziskuje teorija števil.

Naravna števila se lahko uporabi za dva namena. Za opis lege elementa v urejenem zaporedju, kar je posplošeno s pojmom ordinalnega števila. In za določitev velikosti končne množice, kar je posplošeno s pojmom kardinalnega števila. V končnem pojma sovpadata: končna ordinalna števila so enaka N kot tudi končna kardinalna števila. V neskončnem pa se pojma razlikujeta.

Konstanta neskončnega verižnega ulomka naravnih števil je:

${\displaystyle u_{n}=[0;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\ldots ]=0,697774657964\ldots \!\,,}$  (OEIS A052119).

Vrednost tega verižnega ulomka je enaka razmerju neskončnih vrst:

${\displaystyle u_{n}={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{(n!)^{2}}}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n!)^{2}}}}}={\frac {I_{1}(2)}{I_{0}(2)}}={\frac {1,590636854637\ldots }{2,279585302336\ldots }}\!\,,}$ 

kjer sta ${\displaystyle I_{1}(2)\,}$  in ${\displaystyle I_{0}(2)\,}$  modificirani Besselovi funkciji prve vrste reda 1 in 0 (OEIS A096789 in A070910).

• von Neumannova števila