Mathematik Afbillen

Een Afbillen tüsken een Koppel ${\displaystyle A}$  un een Koppel ${\displaystyle B}$  is een Deelkoppel ${\displaystyle f\subseteq A\times B}$  met de dåre Eygenskap:

${\displaystyle \forall a\in A\exists b\in B:(a,b)\in f}$ 

d.b. för elk ${\displaystyle a\in A}$  is der akkråt een ${\displaystyle b\in B}$  met ${\displaystyle (a,b)\in f}$ .

In düssen Fall skrievt wi ${\displaystyle f:A\to B}$ , üm antogeven, dat ${\displaystyle f}$  een Afbillen van ${\displaystyle A}$ , de Definitionskoppel, nå ${\displaystyle B}$ , de Ennkoppel is, un beteekent met ${\displaystyle f(a)}$  för elk ${\displaystyle a\in A}$  dat eendütige Element van ${\displaystyle B}$  met ${\displaystyle (a,f(a))\in f}$ .

Is ${\displaystyle f:A\to B}$  een Afbillen, so is ${\displaystyle \{(a,f(a))|a\in A\}}$  de Graph van ${\displaystyle f}$ .

Bild un Urbild

Is ${\displaystyle f:A\to B}$  een Afbillen, so defineert me för ${\displaystyle X\subseteq A}$  un ${\displaystyle Y\subseteq B}$  de Koppels

• ${\displaystyle f[X]:=\{f(a)|a\in A\}}$  dat Bild van ${\displaystyle X}$  ünner ${\displaystyle f}$ , soas
• ${\displaystyle f^{-1}[Y]:=\{a\in a|f(a)\in Y\}}$  dat Urbild van Y ünner ${\displaystyle f}$ .

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Een Afbillen ${\displaystyle f:A\to B}$  hait

• injektiv/Injektion, as för alle ${\displaystyle a,a'\in A}$  uut ${\displaystyle a\neq a'}$  ok ${\displaystyle f(a)\neq f(a')}$  folgt, elk ${\displaystyle b\in B}$  düs häuchstens een Urbild häff.
• surjektiv/Surjektion, as der för alle ${\displaystyle b\in B}$  een ${\displaystyle a\in A}$  met ${\displaystyle f(a)=b}$  existeert, elk ${\displaystyle b\in B}$  düs minnstens een Urbild häff.
• bijektiv/Bijektion, as se injektiv un surjektiv is.

Antall Stiärn / Arität

Is de Definitionsberiek ${\displaystyle D}$  een Produktkoppel ${\displaystyle D=A\times B}$ , so nöömt wi de Afbillen tweestiärig of binär. Analog is een ${\displaystyle n}$ -stiärige Relation op een Koppel ${\displaystyle A}$  een Deelkoppel ${\displaystyle R\subset A^{n}}$ .

Koppel van Afbillens

Alle Afbillens van ${\displaystyle A}$  nå ${\displaystyle B}$  billen sülvst de Koppel

${\displaystyle B^{A}:=\{f\in {\mathcal {P}}(A\times B)|\forall a\in A\exists !b\in B:(a,b)\in f\}}$