Teoria E Vendosur

Megjithëse çdo lloj objekti mund të mblidhet në një grup, teoria e grupit zbatohet më shpesh për objektet që janë të rëndësishme për matematikën. Gjuha e teorisë së vendosur mund të përdoret për të përcaktuar pothuajse të gjitha objektet matematikore .

Studimi modern i teorisë së grupeve u iniciua nga Georg Cantor dhe Richard Dedekind në vitet 1870. Pas zbulimit të paradokseve në teorinë e vendosjes naive, siç është paradoksi i Russell, në fillim të shekullit XX u propozuan sisteme të shumta aksiomë, nga të cilat aksiomat Zermelo-Fraenkel, me ose pa aksiomën e zgjedhjes, janë më të njohurit.

Teoria e setit zakonisht përdoret si një sistem themelor për matematikë, veçanërisht në formën e teorisë së vendosur të Zermelo-Fraenkel me aksiomën e zgjedhjes. Përtej rolit të saj themelor, teoria e vendosur është një degë e matematikës në vetvete, me një bashkësi aktive kërkimore. Hulumtimi bashkëkohor në teorinë e grupeve përfshin një koleksion të larmishëm temash, duke filluar nga struktura e linjës së numrave real deri tek studimi i konsistencës së kardinalëve të mëdhenj .

 

Temat matematikore zakonisht shfaqen dhe evoluojnë përmes ndërveprimeve midis shumë studiuesve. Teoria e vendosur, sidoqoftë, u themelua nga një letër e vetme në vitin 1874 nga Georg Cantor : " Mbi një pronë të koleksionit të të gjithë numrave algjebrikë të vërtetë ".

Që në shekullin V para Krishtit, duke filluar me matematikan Greke Zenoni në Perëndim dhe matematikanët e hershëm indianë në Lindje, matematikanët kishin luftuar me konceptin e pafundësisë . Veçanërisht e dukshme është vepra e Bernard Bolzano në gjysmën e parë të shekullit XIX. Kuptimi modern i pafundësisë filloi në 1870-1874 dhe u motivua nga puna e Cantor në analiza të vërteta . Një takim i vitit 1872 midis Cantor dhe Richard Dedekind ndikoi në mendimin e Cantor dhe arriti kulmin në letrën e Cantor-it në 1874.

Puna e Cantor fillimisht polarizoi matematikanët e ditës së tij. Ndërsa Karl Weierstrass dhe Dedekind mbështesin Kantorin, Leopold Kronecker, që tani shihet si themelues i konstruktivizmit matematikor, nuk e bëri. Teoria e setit kantorian përfundimisht u bë e përhapur, për shkak të dobisë së koncepteve kantoriane, të tilla si korrespodenca një-në-një midis grupeve, prova e tij se ekzistojnë më shumë numra realë sesa numrat e plotë, dhe "pafundësia e pafundësive" (" Parajsa e Kantorit ") që vijnë nga operacioni i vendosur për energji . Kjo vegël e teorisë së vendosur çoi në artikullin "Mengenlehre" kontribuar në 1898 nga Arthur Schoenflies në enciklopedinë e Klein .

Vala tjetër e eksitimit në teorinë e vendosur erdhi rreth vitit 1900, kur u zbulua se disa interpretime të teorisë së setit kantorian krijuan disa kontradikta, të quajtura antinomë ose paradokse . Bertrand Russell dhe Ernst Zermelo e gjetën në mënyrë të pavarur paradoksin më të thjeshtë dhe më të njohur, të quajtur tani paradoksin e Russell : konsideroni "grupin e të gjitha grupeve që nuk janë anëtarë të vetvetes", i cili çon në një kundërshtim pasi ai duhet të jetë anëtar i vetvetes dhe jo një anëtar i vetvetes. Më 1899, Cantor kishte shtruar vetë pyetjen "Cili është numri kardinal i grupit të të gjitha grupeve?", Dhe mori një paradoks të lidhur. Russell e përdori paradoksin e tij si temë në rishikimin e tij të vitit 1903 të matematikës kontinentale në Parimet e Matematikës .

Në 1906 lexuesit anglezë fituan librin Teoria e grupeve të pikave nga burri dhe gruaja William Henry Young dhe Grace Chisholm Young, botuar nga Universiteti Cambridge Press .

Momenti i teorisë së vendosur ishte i tillë që debati mbi paradokset nuk çoi në braktisjen e tij. Puna e Zermelos në 1908 dhe vepra e Abraham Fraenkel dhe Thoralf Skolem në 1922 rezultuan në grupin e aksiomave ZFC, i cili u bë grupi më i përdorur zakonisht i aksiomave për teorinë e setit. Puna e analistëve të tillë si Henri Lebesgue demonstroi mjetin e madh matematikor të teorisë së vendosur, e cila qysh atëherë është bërë e endur në strukturën e matematikës moderne. Teoria e setit zakonisht përdoret si një sistem themelor, megjithëse në disa fusha - siç është gjeometria algjebrike dhe topologjia algjebrike - teoria e kategorisë mendohet të jetë një themel i preferuar.

Teoria e vendosur fillon me një lidhje themelore binare midis një objekti o dhe një grupi A Nëse o është një anëtar (ose element ) i A, përdoret shënimi o ∈ A. Një grup përshkruhet duke renditur elemente të ndara me presje, ose nga një karakteristikë e elementeve të tij, brenda parantezave {}. Meqenëse grupet janë objekte, lidhja e anëtarësisë mund të ketë lidhje edhe me grupe.

Një lidhje binare e rrjedhur midis dy grupeve është lidhja e nën-bashkësisë, e quajtur edhe përfshirja e vendosur . Nëse të gjithë anëtarët e grupit A janë gjithashtu anëtarë të grupit B, atëherë A është një nënbashkësi e B, e shënuar A ⊆ B. Për shembull, {1, 2} është një nënbashkësi prej {1, 2, 3} , dhe kështu është {2} por {1, 4} nuk është. Si i insinuuar nga ky përkufizim, një grup është një nënbashkësi e vetvetes. Për rastet kur kjo mundësi është e papërshtatshme ose do të kishte kuptim të refuzohej, termi nënkontratë e duhur përcaktohet. A quhet një nënbashkësi e duhur e B nëse dhe vetëm nëse A është një nënbashkësi e B, por A nuk është e barabartë me B Gjithashtu 1, 2, dhe 3 janë anëtarë (elementë) të grupit {1, 2, 3} por nuk janë pjesë e tij; dhe nga ana tjetër, nëngrupet, të tilla si {1}, nuk janë anëtarë të grupit {1, 2, 3.

Ashtu si aritmetika përmban operacione binare në numra, teoria e vendosur përmban operacione binare në grupe. Me:

• Bashkimi i grupeve A dhe B, që shënohet A ∪ B, është bashkësia e të gjitha objekteve që janë anëtare të A, ose B, ose të dyve. Bashkimi i {1, 2, 3} dhe {2, 3, 4} është grupi {1, 2, 3, 4} .
• Kryqëzimi i grupeve A dhe B, me AA ∩ B, është tërësia e të gjitha objekteve që janë anëtare të A dhe B Kryqëzimi i {1, 2, 3} dhe {2, 3, 4} është grupi {2, 3} .
• Diferenca e U dhe A, e shënuar U \ A, është grupi i të gjithë anëtarëve të U që nuk janë anëtarë të A Diferenca e vendosur {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} është {1} , ndërsa, anasjelltas, diferenca e vendosur {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} është {4} . Kur A është një nënbashkësi e U, ndryshimi i vendosur U \ A quhet gjithashtu plotësues i A në U Në këtë rast, nëse zgjedhja e U është e qartë nga konteksti, shënimi A c ndonjëherë përdoret në vend të U \ A, veçanërisht nëse U është një grup universal si në studimin e diagrameve Venn .
• Diferenca simetrike e grupeve A dhe B, e treguar A △ B ose A ⊖ B, është grupi i të gjitha objekteve që janë anëtar i saktësisht një prej A dhe B (elementë të cilët janë në një prej grupeve, por jo në të dy). Për shembull, për grupet {1, 2, 3} dhe {2, 3, 4} , grupi i diferencës simetrike është {1, 4} . Eshtë ndryshimi i vendosur i bashkimit dhe kryqëzimit, (A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) ose (A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
• Produkti Kartezian i A dhe B, që shënohet A × B, është grupi anëtarët e të cilit janë të gjithë çiftet e mundshëm të porositur (a, b ) ku a është një anëtar i A dhe b është anëtar i B Produkti kartezian i {1, 2} dhe {kuq, bardhë} është {(1, kuq), (1, bardhë), (2, kuq), (2, bardhë)}.
• Fuqia e një seti A është grupi, anëtarët e të cilit janë të gjitha nënndarjet e mundshme të A Për shembull, grupi i fuqisë prej {1, 2} është { {}, {1}, {2}, {1, 2} } .

Disa grupe themelore me rëndësi qendrore janë grupi bosh (grupi unik që nuk përmban elemente; herë pas here quhet grupi i pavlefshëm edhe pse ky emër është i paqartë), bashkësia e numrave natyrorë dhe bashkësia e numrave realë .

 

Një grup është i pastër nëse të gjithë anëtarët e tij janë grupe, të gjithë anëtarët e anëtarëve të tij janë grupe, etj. Për shembull, grupi {{}} që përmban vetëm grupin bosh është një grup i pastër jobosh. Në teorinë moderne të vendosjes, është e zakonshme të kufizoni vëmendjen në universin von Neumann të grupeve të pastra, dhe shumë sisteme të teorisë së grupeve aksiomatike janë krijuar për të aksiomatizuar vetëm grupet e pastra. Ka shumë avantazhe teknike për këtë kufizim, dhe pak gjeneralitet humbet, sepse në thelb të gjitha konceptet matematikore mund të modelohen nga grupe të pastra. Sete në universin von Neumann janë të organizuar në një hierarki kumulative, bazuar në atë se sa thellë vendosen anëtarët e tyre, anëtarët e anëtarëve, etj. Çdo grup në këtë hierarki është caktuar (nga rekursimi transfinit ) një numër rendor ${\displaystyle \alpha }$ , i njohur si grada e tij. Renditja e një grupi të pastër ${\displaystyle X}$  përcaktohet të jetë kufiri më i vogël i të gjithë pasardhësve të radhëve të anëtarëve të ${\displaystyle X}$  . Për shembull, grupi i zbrazët caktohet grada 0, ndërsa grupi {{}} që përmban vetëm setin bosh caktohet grada 1. Për secilën rendore ${\displaystyle \alpha }$ , seti ${\displaystyle V_{\alpha }}$  është përcaktuar të përbëhet nga të gjitha grupet e pastra me gradë më pak se ${\displaystyle \alpha }$  . E gjithë universi von Neumann është shënuar  ${\displaystyle V}$  .

Teoria e grupit fillor mund të studiohet në mënyrë joformale dhe intuitive, dhe kështu mund të mësohet në shkollat fillore duke përdorur diagrame Venn . Qasja intuitive supozon në mënyrë të heshtur që një grup mund të formohet nga klasa e të gjitha objekteve që plotësojnë çdo kusht të veçantë përcaktues. Ky supozim krijon paradokse, më të thjeshtat dhe më të njohurit nga të cilët janë paradoksi i Russell dhe paradoksi Burali-Forti . Teoria e grupit aksiomatik u krijua fillimisht për të hequr qafe teorinë e vendosur të paradokseve të tilla.

Sistemet më të studiuara të teorisë së grupeve aksiomatike nënkuptojnë se të gjitha grupet formojnë një hierarki kumulative . Sisteme të tilla vijnë në dy shije, ato ontologjia e të cilave përbëhet nga:

• Vendos vetëm .Kjo përfshin teorinë më të zakonshme të grupeve aksiomatike, teorinë e vendosur , e Z ermelo- F teori raenkel vendosur me aksiomë e C hoice (ZFC). Fragmente të ZFC përfshijnë:
  • Teoria e vendosur e Zermelo, e cila zëvendëson skemën aksiomë të zëvendësimit me atë të ndarjes ;
  • Teoria e përgjithshme e setit, një fragment i vogël i teorisë së vendosjes së Zermelo, i mjaftueshëm për aksiomat e Peano dhe grupeve të fundme ;
  • Teoria e vendosur Kripke – Platek, e cila heq aksiomat e pafundësisë, fuqisë dhe zgjedhjes, dhe dobëson skemat e aksiomave të ndarjes dhe zëvendësimit .
• Sete dhe klasa të përshtatshme . Këto përfshijnë teorinë e vendosur të Von Neumann-Bernays-Gödel, e cila ka të njëjtën forcë si ZFC për teoremat rreth grupeve vetëm, dhe teorinë e vendosur Morse-Kelley dhe teorinë e vendosur Tarski-Grothendieck, të dyja janë më të forta se ZFC.

Sistemet e mësipërme mund të modifikohen për të lejuar urelmentet, objektet që mund të jenë anëtarë të grupeve, por që nuk janë vetë grupe dhe nuk kanë asnjë anëtar.

Sistemet e Fondacioneve të Reja të NFU (duke lejuar urelements ) dhe NF (që nuk kanë ato) nuk bazohen në një hierarki kumulative. NF dhe NFU përfshijnë një "tërësi të gjithçkaje", në lidhje me të cilën çdo grup ka një plotësues. Në këto sistem urelements kanë rëndësi, sepse NF, por jo NFU, prodhojnë grupe për të cilat aksioma e zgjedhjes nuk mban.

Sistemet e teorisë konstruktive caktuar, të tilla si CST, CZF, dhe IZF, embed aksiomat e tyre të vendosur në intuitionistic në vend të logjikës klasike . Megjithatë, sistemet e tjera pranojnë logjikën klasike, por kanë një lidhje anëtarësie jo standarde. Këto përfshijnë teori të përafërt të grupit dhe teori të vendosur fuzzy, në të cilën vlera e një formule atomike që mishëron lidhjen e anëtarësisë nuk është thjesht e vërtetë ose e rremë . Modelet e vlerësuara nga Boolean e ZFC janë një temë e lidhur.

Një pasurim i ZFC i quajtur teori e brendshme e brendshme u propozua nga Edward Nelson në 1977.

Shumë koncepte matematikore mund të përcaktohen saktësisht duke përdorur vetëm koncepte të përcaktuara teorike. Për shembull, strukturat matematikore po aq të larmishme sa grafikët, manifoldet, unazat dhe hapësirat vektoriale, të gjitha mund të përcaktohen si grupe që kënaqin veti të ndryshme (aksiomatike). Marrëdhëniet e ekuivalencës dhe rendit janë të përhapura në matematikë, dhe teoria e marrëdhënieve matematikore mund të përshkruhet në teorinë e vendosur.

Teoria e setit është gjithashtu një sistem themelor premtues për pjesën më të madhe të matematikës. Që nga botimi i vëllimit të parë të Principia Mathematica, është pohuar se shumica ose edhe të gjitha teoritë matematikore mund të nxirren duke përdorur një grup aksiomash të dizajnuar me vend për teorinë e setit, të shtuar me shumë përkufizime, duke përdorur logjikën e rendit të parë ose të dytë . Për shembull, vetitë e numrave natyrorë dhe realë mund të nxirren brenda teorisë së caktuar, pasi secili sistem i numrave mund të identifikohet me një grup klasash ekuivalence nën një lidhje ekuivalente të përshtatshme, fusha e të cilit është një grup i pafund .

Teoria e caktuar si një themel për analizën matematikore, topologjinë, algjebën abstrakte dhe matematikën diskrete është po ashtu jokonkurruese; matematikanët pranojnë që (në parim) teoremat në këto fusha mund të rrjedhin nga përkufizimet përkatëse dhe aksiomat e teorisë së vendosur. Pak derivime të plota të teoremave komplekse matematikore nga teoria e grupeve janë verifikuar zyrtarisht, megjithatë, sepse derivimet e tilla formale shpesh janë shumë më të gjata se sa matematikanët e provave të gjuhës natyrore që janë zakonisht të pranishme. Një projekt verifikimi, Metamath, përfshin derivime të verifikuara nga njeriu, të shkruara nga njeriu, të verifikuar nga kompjutera të më shumë se 12,000 teoremave duke filluar nga teoria e caktuar e ZFC, logjika e rendit të parë dhe logjika propozuese .

Teoria e vendosur është një fushë kryesore e kërkimit në matematikë, me shumë nënfusha të ndërlidhura.

Teoria e kombinatore komerciale

Teoria kombinatore ka të bëjë me shtrirjet e kombinatorëve të kufizuar në grupe të pafundme. Kjo përfshin studimin e aritmetikës kardinal dhe studimin e zgjatimeve të teoremës së Ramsey si teorema Erdős-Rado .

Teoria e grupit përshkrues

Teoria e grupit përshkrues është studimi i nënshtetësive të linjës reale dhe, më përgjithësisht, nënzetjeve të hapësirave polake . Fillon me studimin e klasave të pikave në hierarkinë Borel dhe shtrihet në studimin e hierarkive më komplekse siç është hierarkia projektuese dhe hierarkia Wadge . Shumë veti të grupeve Borel mund të vendosen në ZFC, por provimi i këtyre pronave të vendosura për grupe më të komplikuara kërkon aksioma shtesë që lidhen me përcaktimin dhe kardinalët e mëdhenj.

Fusha e teorisë efektive të përcaktimit përshkrues është midis teorisë së grupit dhe teorisë së rekursionit . Ai përfshin studimin e klasave të pikave të dritës dhe është i lidhur ngushtë me teorinë hiperarithmetike . Në shumë raste, rezultatet e teorisë klasike të përshkrimeve të përshkrimit kanë versione efektive; në disa raste, rezultatet e reja merren duke provuar së pari versionin efektiv dhe më pas duke e zgjëruar atë ("relativizimin") për ta bërë atë më të zbatueshëm.

Një fushë e kohëve të fundit e hulumtimit ka të bëjë me marrëdhëniet e ekuivalencës Borel dhe marrëdhëniet më të ndërlikuara të ekuivalencës përcaktuese. Kjo ka aplikime të rëndësishme për studimin e invarianteve në shumë fusha të matematikës.

Teoria e vendosur e paqartë

Në teorinë e caktuar si Cantor i definuar dhe Zermelo dhe Fraenkel axiopjekur, një objekt është ose një anëtar i një grupi apo jo. Në teorinë e setit fuzzy kjo gjendje u qetësua nga Lotfi A. Zadeh kështu që një objekt ka një shkallë anëtarësie në një grup, një numër midis 0 dhe 1. Për shembull, shkalla e anëtarësimit të një personi në grupin e "njerëzve të gjatë" është më fleksibël sesa një përgjigje e thjeshtë po ose jo dhe mund të jetë një numër real siç është 0.75.

Teoria e modelit të brendshëm

Një model i brendshëm i teorisë së vendosjes së Zermelo-Fraenkel (ZF) është një klasë kalimtare që përfshin të gjitha rregullat dhe plotëson të gjitha aksiomat e ZF. Shembulli kanonik është universi i konstruktueshëm L i zhvilluar nga Gödel. Një arsye që studimi i modeleve të brendshme është me interes është se mund të përdoret për të provuar rezultatet e qëndrueshmërisë. Për shembull, mund të tregohet se pavarësisht nëse një model V i ZF plotëson hipotezën e vazhdimësisë ose aksiomën e zgjedhjes, modeli i brendshëm L i ndërtuar brenda modelit origjinal do të kënaqë si hipotezën e vazhduar të gjeneruar ashtu edhe aksiomën e zgjedhjes. Kështu që supozimi se ZF është i qëndrueshëm (ka të paktën një model) nënkupton që ZF së bashku me këto dy parime janë konsistente.

Studimi i modeleve të brendshme është i zakonshëm në studimin e përcaktueshmërisë dhe kardinalëve të mëdhenj, veçanërisht kur merren parasysh aksiomat siç është aksioma e përcaktueshmërisë që kundërshton aksiomën e zgjedhjes. Edhe nëse një model fiks i teorisë së setit e plotëson aksiomën e zgjedhjes, është e mundur që një model i brendshëm të mos arrijë të plotësojë aksiomën e zgjedhjes. Për shembull, ekzistenca e kardinalëve mjaftueshëm të mëdhenj nënkupton që ekziston një model i brendshëm që kënaq aksiomën e përcaktueshmërisë (dhe kështu të mos kënaqë aksiomën e zgjedhjes).

Kardinalë të mëdhenj

Një kardinal i madh është një numër kardinal me një pronë shtesë. Shumë prona të tilla janë studiuar, duke përfshirë kardinalë të paarritshëm, kardinalë të matshëm, dhe shumë më tepër. Këto veti zakonisht nënkuptojnë se numri kardinal duhet të jetë shumë i madh, me ekzistencën e një kardinali me pasurinë e specifikuar të paprovueshme në teorinë e vendosur Zermelo-Fraenkel.

Përcaktimi

Përcaktimi i referohet faktit se, nën supozimet e duhura, disa lojëra me dy lojtarë të informacionit të përsosur përcaktohen që nga fillimi në kuptimin që një lojtar duhet të ketë një strategji fituese. Ekzistenca e këtyre strategjive ka pasoja të rëndësishme në teorinë e përcaktimit përshkrues, pasi supozimi se një klasë më e gjerë e lojërave përcaktohet shpesh nënkupton që një klasë më e gjerë e grupeve do të ketë një pronë topologjike. Aksioma e përcaktueshmërisë (AD) është një objekt i rëndësishëm studimi; megjithëse është i papajtueshëm me aksiomën e zgjedhjes, AD nënkupton që të gjitha nënsektet e vijës reale janë sjellur mirë (në veçanti, i matshëm dhe me pronën e caktuar të përsosur). AD mund të përdoret për të vërtetuar se shkallët Wadge kanë një strukturë elegante.

Imponimi

Paul Cohen shpiku metodën e detyrimit ndërsa kërkoi një model të ZFC në të cilin hipoteza e vazhduar nuk funksionon, ose një model i ZF në të cilin aksioma e zgjedhjes dështon. Detyrimi i bashkimit të disa modeleve të dhënë të teorisë së grupeve grupe shtesë në mënyrë që të krijojë një model më të madh me vetitë e përcaktuara (d.m.th. "të detyruara") nga ndërtimi dhe modeli origjinal. Për shembull, ndërtimi i Cohen vendos nënndarje shtesë të numrave natyrorë pa ndryshuar asnjë nga numrat kardinalë të modelit origjinal. Forcimi është gjithashtu një nga dy metodat për të provuar përputhshmërinë relative me metodat finitiste, metoda tjetër është modeli me vlera Boolean .

Pushtarët kardinalë

Një invariant kardinal është një pronë e linjës reale e matur me një numër kardinal. Për shembull, një invariant i studiuar mirë është kardinaliteti më i vogël i një koleksioni të grupeve të varfëra të realiteteve, bashkimi i të cilëve është gjithë linja reale. Këto janë invariante në kuptimin që çdo dy model izomorfik i teorisë së setit duhet të japë të njëjtin kardinal për secilin invariant. Shumë invariante kardinale janë studiuar, dhe marrëdhëniet midis tyre janë shpesh komplekse dhe kanë të bëjnë me aksiomat e teorisë së vendosur.

Topologjia vendosur-teorike

Topologjia vendosur-teorike studion pyetje të topologjisë së përgjithshme që janë natyrë-teorike ose që kërkojnë metoda të përparuara të teorisë së grupit për zgjidhjen e tyre. Shumë nga këto teorema janë të pavarura nga ZFC, që kërkojnë aksioma më të forta për provën e tyre. Një problem i njohur është pyetja normale e hapësirës Moore, një pyetje në përgjithësi topologjia që ishte objekt i një studimi intensiv. Përgjigja për pyetjen normale të hapësirës Moore përfundimisht u vërtetua se ishte e pavarur nga ZFC.

Nga fillimi i teorisë së vendosur, disa matematikanë e kanë kundërshtuar atë si një themel për matematikën . Kundërshtimi më i zakonshëm për teorinë e vendosur, Kronecker shprehur në vitet më të hershme të teorisë së vendosur, fillon nga këndvështrimi konstruktivist se matematika është e lidhur lirisht me llogaritjen. Nëse kjo pikëpamje është dhënë, atëherë trajtimi i përcakton pafund, si në naiv dhe në teori axiomatic caktuar, prezanton në metodat e matematikës dhe objekteve që nuk janë të llogaritshëm edhe në parim. Mundësia e konstruktivizmit si një themel zëvendësues për matematikën u rrit shumë nga libri me ndikim i Errett Bishop Themelat e Analizës Konstruktive .

Një kundërshtim tjetër u shtri nga Henri Poincaré është se përcaktimici grupeve duke përdorur skema aksiomë e specifikimeve dhe zëvendësimit, si aksiomë e vendosur të pushtetit, prezanton impredicativity, një lloj të qarkullimit, në përcaktimet e objekteve matematikore. Shtrirja e matematikës të themeluar në mënyrë predikative, ndërsa më pak se ajo e teorisë së pranuar zakonisht të Zermelo-Fraenkel, është shumë më e madhe se ajo e matematikës konstruktive, deri në pikën që Solomon Feferman ka thënë se "të gjitha analizat e zbatueshme shkencërisht mund të zhvillohen [duke përdorur predikative metodat] ".

Ludwig Wittgenstein dënoi teorinë e vendosur. Ai shkroi se "teoria e vendosur është e gabuar", pasi ndërton mbi "marrëzinë" e simbolizmit fiktiv, ka "idioma shkatërruese" dhe se është e pakuptimtë të flasim për "të gjithë numrat".   Pikëpamjet e Wittgenstein për themelet e matematikës u kritikuan më vonë nga Georg Kreisel dhe Paul Bernays, dhe u hetuan nga Crispin Wright, ndër të tjerë.

Teoricienët e kategorisë kanë propozuar teorinë e vendosjes si një alternative e teorisë tradicionale të vendosur aksiomatik. Teoria e Topos mund të interpretojë alternativa të ndryshme të kësaj teorie, të tilla si konstruktivizmi, teoria e grupeve të fundme dhe teoria e caktuar e llogaritshme . Topoi gjithashtu jep një mjedis natyror për detyrimin dhe diskutimin e pavarësisë së zgjedhjes nga ZF, si dhe sigurimin e kornizës për topologjinë e pakuptimtë dhe hapësirat e Gurit . .

Një fushë aktive e hulumtimit janë themelet univalente dhe që lidhen me të teorinë e tipit homotopik . Brenda teorisë së tipit homotopik, një grup mund të konsiderohet si një homotopi 0-tip, me vetitë universale të grupeve që rrjedhin nga vetitë induktive dhe rekurzive të llojeve më të larta induktive . Parime të tilla si aksioma e zgjedhjes dhe ligji i mesit të përjashtuar mund të formulohen në një mënyrë që korrespondon me formulimin klasik në teorinë e vendosur ose mbase në një spektër mënyrash të dallueshme unike për teorinë e tipit. Disa nga këto parime mund të dëshmohen se janë pasojë e parimeve të tjera. Shumëllojshmëria e formulimeve të këtyre parimeve aksiomatike lejon një analizë të hollësishme të formulimeve të kërkuara në mënyrë që të nxjerrin rezultate të ndryshme matematikore.

Ndërsa teoria e vendosur fitoi popullaritetin si një themel për matematikën moderne, ka pasur mbështetje për idenë e prezantimit të teorisë themelore, ose teorisë naive të vendosur, në fillim të edukimit të matematikës .

Në SH.B.A. në vitet '60, eksperimenti i Matematikës së Re synonte të mësonte teorinë themelore të vendosjes, midis koncepteve të tjera abstrakte, për studentët e klasës fillore, por u prit me shumë kritika. Matematika mësimore në shkollat evropiane e ka ndjekur këtë trend, dhe aktualisht përfshin subjektin në nivele të ndryshme në të gjitha klasat.

Teoria e vendosur përdoret për të prezantuar studentët me operatorët logjikë (NUK, DHE, OSE) dhe përshkrimin semantik ose rregull ( përcaktimi teknik intensiv . ) i grupeve, (p.sh. "muajt që fillojnë me 'A'"). Kjo mund të jetë e dobishme kur mësoni programimin kompjuterik, pasi grupet dhe logjika boolean janë blloqe themelore ndërtimi të shumë gjuhëve të programimit.

ℕ zakonisht referohen kur mësoni për lloje të ndryshme të numrave ( ℕ, Z, R ...) dhe kur përcaktoni funksionet matematikore si marrëdhënie midis dy grupeve.

• Devlin, Keith (1993), Gëzimi i grupeve (në anglisht) (bot. 2nd), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
• Ferreirós, Jose (2007), Labirinti i Mendimit: Një histori e teorisë së vendosur dhe roli i saj në matematikën moderne (në anglisht), Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
• Johnson, Philip (1972), Një histori e teorisë së vendosur (në anglisht), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
• Kunen, Kenneth (1980), [Vendosni teorinë: Një hyrje në provat e pavarësisë (në anglisht), North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
• Potter, Michael (2004), Vendosni teorinë dhe filozofinë e saj: Një hyrje kritike (në anglisht), Oxford University Press
• Tiles, Mary (2004), Filozofia e Teorisë së Vendosur: Një hyrje historike në parajsën e kantorit (në anglisht), Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6
• Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Vendosni Teori dhe Problemi i Vazhdueshëm (në anglisht), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
• Monk, J. Donald (1969), Hyrje në Teorinë e Vendosur (në anglisht), McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066

• Daniel Cunningham, Vendosni artikullin Teoria në Enciklopedinë e Internetit të Filozofisë .
• Jose Ferreiros, Artikulli i Zhvillimit të Hershëm të Teorisë së Vendosur në [Stanford Enciklopedia e Filozofisë] .
• Foreman, Matthew, Akihiro Kanamori, eds. Manuali i Teorisë së Vendosur. 3 vëllime., 2010. Do kapitull anketon disa aspekte të kërkimit bashkëkohor në teorinë e grupeve. Nuk përfshin teorinë e vendosur elementare të vendosur, mbi të cilën shiko Devlin (1993).
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Teoria e grupit aksiomatik", Enciklopedia e Matematikës, Springer Science + Business Media BV / Kluwer Publikuesit Akademik, ISBN   Hazewinkel, Michiel
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Teoria e vendosur", Enciklopedia e Matematikës, Springer Science + Business Media BV / Kluwer Publikuesit Akademik, ISBN   Hazewinkel, Michiel
• Jech, Thomas (2002). " Teoria e Vendosur ", Enciklopedia e Filozofisë e Stanford .
• Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre në enciklopedinë e Klein .
• Online books
• Rudin, Walter B. (6 prill 1990). "Set Theory: An Offspring of Analysis". Marden Lecture in Mathematics (në anglisht). University of Wisconsin-Milwaukee.