Hulgateooria

See artikkel räägib matemaatika mõistest; muusika mõiste kohta vaata artiklit Muusikaline hulgateooria

Matemaatika alused on hulgateooriaga tihedalt läbi põimunud.

Hulgateooria on üks moodsa matemaatika alustaladest. Kogu tänapäeva matemaatika sõnastatakse tavaliselt hulgateooria terminites ja enamik matemaatilisi objekte on defineeritav hulkadena. Võrreldes teiste matemaatikaharudega on hulgateooria noor. Praeguse keskse koha matemaatikas omandas see alles pärast matemaatika aluste kriisi ületamist 20. sajandi alguses.

Moodsa hulgateooria rajajateks loetakse Georg Cantorit ja Richard Dedekindi. Pärast nende nn naiivse hulgateooria paradokside avastamist (matemaatika aluste kriis) pakuti välja mitmeid aksiomaatilisi hulgateooriaid, mille seas on Zermelo-Fraenkeli hulgateooria, mis sisaldab valikuaksioomi, ja Von Neumanni-Bernaysi-Gödeli hulgateooria.

19. sajand

 

Hulgateooria rajas Georg Cantor aastatel 1874–1897. Termini "hulk" (Menge) asemel kasutas ta algul sõnu Inbegriff ("kogusumma") ja Mannigfaltigkeit ("mitmekesisus"). Hiljem hakkas ta kasutama sõnu Menge ja Mengenlehre ("hulgateooria"). 1895. aastal sõnastas ta järgmise hulga definitsiooni: ""Hulga" all mõistame oma kaemuse või oma mõtlemise hästi eristatud objektide m (mida nimetame M-i elementideks) iga kokkuvõtet M tervikuks."

Cantor klassifitseeris hulki, iseäranis lõpmatuid hulki, võimsuse järgi. Lõplike hulkade puhul on see nende elementide arv. Ta nimetas kaht hulka ekvivalentseteks (võrdvõimsateks), kui neid saab bijektiivselt teineteisele kujutada, st kui nende elementide vahel leidub üksühene vastavus. Nõnda defineeritud võrdvõimsus on ekvivalentsusseos ja hulga M võimsus ehk kardinaalarv on Cantori järgi hulgaga M võrdvõimsate hulkade ekvivalentsusklass. Ta märkas tõenäoliselt esimesena, et on erinevaid lõpmatuid võimsusi. Kõigi naturaalarvude hulka ja kõiki sellega võrdvõimsaid hulki nimetatakse Cantori eeskujul loenduvateks hulkadeks, kõiki teisi lõpmatuid hulki mitteloenduvateks hulkadeks.

Cantori olulisi tulemusi

• Naturaalarvude hulk, ratsionaalarvude hulk (Cantori esimene diagonaalargument) ja algebraliste arvude hulk on loenduvad ning seega võrdvõimsad.
• Reaalarvude hulgal on suurem võimsus kui naturaalarvude hulgal, järelikult on ta mitteloenduv (Cantori diagonaaltõestus).
• Hulga M kõigi alamhulkade hulgal (astmehulgal) on alati suurem võimsus kui hulgal M (Cantori teoreem).
• Kahest hulgast on vähemalt üks võrdvõimas teise hulga mõne alamhulgaga. Seda tõestatakse täieliku järjestuse mõiste abil, mida Cantor põhjalikult käsitles.
• Võimsusi on mitteloenduvalt palju.

Cantor nimetas kontiinumi probleemiks järgmist küsimust: kas on olemas naturaalarvude hulga võimsuse ja reaalarvude hulga võimsuse vahepealne võimsus? (Oletust, et vastus on eitav, nimetatakse kontiinumi hüpoteesiks.) Ta püüdis seda probleemi lahendada, kuid see ei õnnestunud. Hiljem selgus, et probleem on põhimõtteliselt lahendamatu.

Cantori kõrval oli hulgateooria oluline teerajaja ka Richard Dedekind. Ta rääkis hulkade asemel süsteemidest ning töötas 1872 välja reaalarvude hulgateoreetilise konstruktsiooni ja 1888 naturaalarvude sõnalise hulgateoreetilise aksiomaatika. Ta formuleeris seal esimesena hulgateooria ekstensionaalsuse aksioomi.

Giuseppe Peano, kes nimetas hulki klassideks, lõi juba 1889 esimese formaalse klasside loogika arvutuse, mis oli aluseks aritmeetika Peano aksiomaatikale, mille ta esimest korda formuleeris täpses hulgateoreetilises keeles. Ta töötas sellega välja tänapäevase hulgateooria valemite keele ja võttis kasutusele paljud matemaatilised sümbolid, sealhulgas elemendimärgi ehk kuuluvussümboli ${\displaystyle \in }$ , mida loetakse "... on ... element" Märk ${\displaystyle \in }$  on vanakreeka sõna ἐστί 'on' väike algustäht ε (epsilon).

Aritmeetikat püüdis hulgateoreetilisele alusele viia ka Gottlob Frege pisut hiljem oma 1893. aasta arvutuses. Selles avastas Bertrand Russell 1902. aastal vastuolu, mis sai tuntuks Russelli paradoksi nime all. See ja ka mõned teised vastuolud tekivad piiramatu hulgamoodustuse tõttu, mistõttu hulgateooria varajast kuju hakati nimetama naiivseks hulgateooriaks. Cantori hulgadefinitsioon ei pea aga silmas niisugust naiivset hulgateooriat, nagu näitab tema tõestus, et kõikide hulkade klass ei ole hulk (on mittehulk; (teine Cantori antinoomia).

Cantori kaasaegsed ei pidanud tema hulgateooriat revolutsiooniliseks saavutuseks. Paljud matemaatikud, näiteks Leopold Kronecker, lükkasid selle tagasi. Veel rohkem umbusku tekitas hulgateooria antinoomiate avastamine, nii et näiteks Henri Poincaré pilkas: "Loogika ei olegi enam viljatu, ta sigitab nüüd vastuolusid."

20. sajand

20. sajandil lõid Cantori ideed üha enam läbi; samal ajal tekkis areneva matemaatilise loogika raames aksiomaatiline hulgateooria, mis võimaldas vastuolud ületada.

Aastatel 1903 ja 1908 ilmunud teostes töötas Bertrand Russell välja tüüpide teooria, milles hulkadel on alati kõrgem tüüp kui nende elementidel, nii et problemaatilised hulgamoodustused on võimatud. Ta näitas esimese väljapääsu vastuoludest ning näitas teoses "Principia Mathematica" (1910–1913) ka, kuidas tüüpide teooriat saab rakendada. Lõpuks osutus, et tüüpide teooria ei ole Cantori hulgateooria jaoks piisav. Tüüpide teooria ei löönud läbi ka oma keerukuse tõttu.

Mugavam ja edukam oli aksiomaatiline hulgateooria (Zermelo aksiomaatika), mille Ernst Zermelo töötas 1907 välja Cantori ja Dedekindi hulgateooria vastuoludeta põhjendamiseks. Abraham Fraenkel märkas 1921, et selleks on veel tarvis tema asenduse aksioomi. Zermelo lülitas selle oma 1930. aasta Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikasse, mida ta nimetas ZF-süsteemiks. Ta nägi seal ette ka urelemendid, mis ei ole hulgad, aga saavad olla hulkade elemendid (Cantori "meie kaemuse objektid" hõlmab ka neid). Tänapäevane Zermelo-Fraenkeli hulgateooria seevastu on vastavalt Fraenkeli ettekujutusele puhas hulgateooria, mille hulgad on eranditult hulgad.

Et 1930. aasta Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika nimetab ka valikuaksioomi, tähistatakse seda urelementideta variandis ka ZFC (C inglise sõna choice järgi). ZF on ZFC ilma valikuaksioomita.

Paljud matemaatikud eelistasid aga järjekindlale aksiomatiseerimisele pragmaatilist hulgateooriat, mis probleemseid hulki väldib, näiteks Felix Hausdorff (1914) ja Erich Kamke (1928). Tasapisi teadvustas üha enam matemaatikuid, et hulgateooria on matemaatika struktureerimise vältimatu alus. ZFC on end praktikas õigustanud, mistõttu enamik matemaatikuid tunnustab seda moodsa matemaatika alusena; sellest aksiomaatikast ei ole vastuolusid tuletatud. Selle mittevastuolulisus on tõestatud siiski ainult lõplike hulkade puhul. Gödeli esimese mittetäielikkusteoreemi (1931) järgi ei ole ZFC mittevastuolulisuse tõestamine põhimõtteliselt võimalik. Gödeli avastused panid küll piiri Hilberti programmile, mis nägi ette matemaatika ja hulgateooria tõestatavalt mittevastuolulise aksiomaatika rajamine, ent ei takistanud hulgateooria edukust, nii et matemaatika aluste kriis, millest rääkisid intuitsionismi pooldajad, ei olnud tegelikult tuntav.

• Deskriptiivne hulgateooria