תורת הקבוצות

בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי.

תורת הקבוצות

תורת הקבוצות היא תורה מתמטית בסיסית העוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים שונים זה מזה. התורה מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף. תורת הקבוצות האקסיומטית, המנוסחת בשפה של הלוגיקה המתמטית, מספקת תשתית לכל תחומי המתמטיקה. כשלעצמה, תורת הקבוצות עוסקת בעיקר בתכונות של מונים וסודרים.

את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (בגרמנית במקור), בכתב-העת Mathematische Annalen.

בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרונן פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה ההתייחסות לתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית. תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה והתוצאות שלה נכונות גם בגרסה האקסיומטית.

הגדרת הקבוצה

קבוצה מוגדרת כאוסף של איברים. לכל קבוצה ולכל עצם בעולם נכונה בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות:

  • העצם איבר בקבוצה
  • העצם אינו איבר בקבוצה

את השייכות לקבוצה מסמנים באות היוונית אפסילון. הסימון "תורת הקבוצות " אומר "תורת הקבוצות  שייך ל־תורת הקבוצות " במשמעות של תורת הקבוצות  איבר בקבוצה תורת הקבוצות . אם תורת הקבוצות  אינו איבר של תורת הקבוצות , מסמנים תורת הקבוצות .

בקבוצה אין משמעות לחזרות. כלומר, איבר לא יכול להופיע פעמיים בקבוצה: או שהוא שייך לה – או שאינו שייך. לדוגמה, הקבוצה תורת הקבוצות  היא בדיוק הקבוצה תורת הקבוצות , כלומר: תורת הקבוצות . בנוסף, אין חשיבות לסדר בייצוג הקבוצה, למשל: תורת הקבוצות .

נתבונן עתה בקבוצה תורת הקבוצות  ועליה נשאל, "האם בקבוצה תורת הקבוצות  יש איברים?"

  • אם אין בה איברים, זוהי הקבוצה הריקה ונסמן: תורת הקבוצות .
  • אם קיימים בה איברים, אז היא אינה ריקה: תורת הקבוצות .

את הקבוצה תורת הקבוצות  שבה קיימים רק שלושת האיברים תורת הקבוצות  נסמן: תורת הקבוצות . אפשרות סימון נוספת היא על ידי תנאי, כלומר: תורת הקבוצות , קבוצת כל ה-a-ים שעבורם הפסוק הלוגי תורת הקבוצות  (תנאי כלשהו) מתקיים.

יחסי ההכלה

אומרים ש-תורת הקבוצות  מוכלת ב-תורת הקבוצות  או חלקית ל-תורת הקבוצות  (ומסמנים תורת הקבוצות ) אם כל איבר של תורת הקבוצות  הוא איבר של תורת הקבוצות . יחס חשוב זה מגדיר שוויון בין קבוצות: קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים. באופן שקול: תורת הקבוצות  אם ורק אם תורת הקבוצות  וגם תורת הקבוצות . זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות. שילוב היחסים מאפשר להגדיר חלקיות ממש: תורת הקבוצות  חלקית ממש לקבוצה תורת הקבוצות  אם ורק אם היא חלקית לה, אך אינה שווה לה; במקרה זה נסמן תורת הקבוצות  או תורת הקבוצות . כלומר, כל האיברים שבקבוצה תורת הקבוצות  שייכים גם לקבוצה תורת הקבוצות , אך קיים לפחות איבר אחד אשר שייך ל־תורת הקבוצות  ואינו שייך ל־תורת הקבוצות .

פעולות על קבוצות

תורת הקבוצות 
דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

באוסף של קבוצות מתקיימות הפעולות הבאות:

  • איחוד: האיחוד של שתי קבוצות תורת הקבוצות  ו-תורת הקבוצות  הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של תורת הקבוצות  ואת כל האיברים של תורת הקבוצות , בלי איברים אחרים. האיחוד של תורת הקבוצות  ו-תורת הקבוצות  נכתב בדרך כלל כך: תורת הקבוצות .
    בכתיב פורמלי:
    תורת הקבוצות  (תורת הקבוצות  הוא איבר ב-תורת הקבוצות ) אם ורק אם תורת הקבוצות  או תורת הקבוצות .
  • חיתוך: החיתוך של שתי קבוצות תורת הקבוצות  ו-תורת הקבוצות  הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-תורת הקבוצות  ששייכים גם ל-תורת הקבוצות  (או באופן שקול, כל האיברים ב-תורת הקבוצות  ששייכים גם ל-תורת הקבוצות ), ורק אותם. החיתוך של תורת הקבוצות  ו-תורת הקבוצות  נכתב בדרך כלל כך: תורת הקבוצות . בכתיב פורמלי: תורת הקבוצות  (תורת הקבוצות  הוא איבר ב-תורת הקבוצות ) אם ורק אם תורת הקבוצות  וגם תורת הקבוצות .
    לדוגמה: החיתוך של קבוצת אזרחי ישראל עם קבוצת אזרחי צרפת הוא קבוצת האנשים שלהם אזרחות כפולה, ישראלית וצרפתית.
  • משלים: משלים של קבוצה תורת הקבוצות  הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-תורת הקבוצות . זאת ביחס לקבוצה תורת הקבוצות  כלשהי שהיא הקבוצה האוניברסלית - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של תורת הקבוצות . נהוג לסמן משלים בסימונים תורת הקבוצות  או תורת הקבוצות .
    דוגמה: המשלים של קבוצת אזרחי ישראל הוא קבוצת האנשים שאינם ישראלים. בדוגמה זו מובלעת ההנחה שהקבוצה האוניברסלית בהקשר זה היא קבוצת האנשים. בדרך כלל ברור מתוך ההקשר מהי הקבוצה האוניברסלית, אך לעיתים ראוי לציין זאת במפורש.
  • הפרש: ההפרש בין קבוצה תורת הקבוצות  לקבוצה תורת הקבוצות  הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששייכים ל-תורת הקבוצות  אך לא ל-תורת הקבוצות . מסמנים את ההפרש ב-תורת הקבוצות  או תורת הקבוצות . בכתיב פורמלי: תורת הקבוצות  (תורת הקבוצות  הוא איבר ב-תורת הקבוצות ) אם ורק אם תורת הקבוצות  וגם תורת הקבוצות .
    מתקיים תורת הקבוצות .
    בהינתן קבוצה תורת הקבוצות , המשלים שלה ביחס לקבוצה תורת הקבוצות  הוא אם כן תורת הקבוצות .
  • מכפלה קרטזית: בהינתן שתי קבוצות תורת הקבוצות , המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת תורת הקבוצות  והיא הקבוצה שמכילה את אוסף הזוגות הסדורים תורת הקבוצות  כך ש-תורת הקבוצות , תורת הקבוצות .
  • הפרש סימטרי: הפרש סימטרי של שתי קבוצות תורת הקבוצות  הוא הקבוצה תורת הקבוצות  המורכבת מכל איברי תורת הקבוצות  שלא שייכים ל-תורת הקבוצות  וכל איברי תורת הקבוצות  שלא שייכים ל-תורת הקבוצות  - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
    בכתיב פורמלי: ההפרש הסימטרי, המסומן תורת הקבוצות  מוגדר כדלהלן:
    תורת הקבוצות 
  • קבוצת החזקה: קבוצת החזקה של קבוצה נתונה תורת הקבוצות  היא קבוצת כל תתי הקבוצות של תורת הקבוצות , היינו תורת הקבוצות . עוצמת קבוצת החזקה היא תורת הקבוצות , ומשפט קנטור קובע כי עוצמת קבוצת החזקה גדולה ממש מעוצמת הקבוצה.

יחסים ופונקציות

יחס

יחס בינארי הוא קבוצה של זוגות סדורים. יחסים מהווים כלי חשוב לזיהוי קבוצות ואיברים. פורמלית, יחס מקבוצה תורת הקבוצות  לקבוצה תורת הקבוצות  הוא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית תורת הקבוצות , ולכל תורת הקבוצות  מסמנים תורת הקבוצות . אומרים שהיחס הוא על קבוצה תורת הקבוצות  אם זה יחס מהקבוצה אל עצמה. למשל, היחס תורת הקבוצות  (קטן ממש) על הקבוצה תורת הקבוצות  הוא היחס תורת הקבוצות .

יחס על תורת הקבוצות  נקרא רפלקסיבי אם תורת הקבוצות , סימטרי אם תורת הקבוצות , וטרנזיטיבי אם תורת הקבוצות . יחס המקיים את שלוש התכונות הללו נקרא יחס שקילות. ליחסים כאלה תפקיד בסיסי וחשוב בכל תחומי המתמטיקה, והם מגדירים שקילויות בין איברים וקבוצות, ומאגדים איברים הנחשבים שקולים לאיבר אחד, המכונה מחלקת שקילות. מחלקות השקילות מהוות חלוקה של הקבוצה – הן זרות ואיחודן הוא כל הקבוצה. גם ההפך נכון, בהינתן חלוקה, ניתן להגדיר יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו הן איברי החלוקה. כלומר, יש התאמה מלאה בין יחסי שקילות לחלוקות של קבוצה נתונה.

יחס על תורת הקבוצות  יקרא יחס סדר אם הוא טרנזיטיבי, רפלקסיבי ואנטי סימטרי, (לחלופין, טרנזיטיבי, א-סימטרי, וא-רפלקסיבי היינו תורת הקבוצות ). היחס יקרא יחס סדר מלא אם כל שני איברים ניתנים להשוואה, ויחס סדר טוב אם הוא מלא ולכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. יחסי הסדר הקלאסיים על המספרים כולם יחסי סדר מלאים. יחס ההכלה הוא יחס סדר לא מלא. לכל יחס סדר ניתן לבנות את דיאגרמת הסה שלו - בדיאגרמה זו יש קו בין איבר תחתון לעליון, אם התחתון מתייחס לעליון. במקרה שהיחס מלא, מתקבלת שרשרת ארוכה של התייחסויות. באופן כללי, שרשרת עולה ביחס היא מהצורה תורת הקבוצות . הלמה של צורן קובעת כי בקבוצה סדורה חלקית, אם לכל שרשרת קיים חסם מלעיל, אז יש בקבוצה איבר מקסימלי.

פונקציה

פונקציה מורכבת משלושה חלקים: תחום, טווח וכלל התאמה בניהם. פורמלית, פונקציה מקבוצה תורת הקבוצות  (התחום) לקבוצה תורת הקבוצות  (הטווח) היא יחס חד ערכי, כלומר תת-קבוצה תורת הקבוצות  המקיים תורת הקבוצות . כלומר, לכל איבר בתחום מתאים איבר יחיד בטווח. אם קיים איבר בתחום שלא קיימת לו התאמה בטווח, אזי היחס אינו פונקציה. בנוסף, אם קיים איבר במקור שמתאים לשני איברים שונים בטווח, גם אז היחס אינו פונקציה.

פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום איבר אחר בטווח נקראת פונקציה חד-חד-ערכית. פונקציה עבורה לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום, כלומר התמונה שלה שווה לטווח שלה, תיקרא פונקציה על. פונקציה שהיא גם על וגם חד-חד ערכית מוכיחה את שקילות הקבוצות. פונקציה כזו היא גם הפיכה. גם ההפך נכון, אם הפונקציה הפיכה אז קיימת לה פונקציה חד-חד ערכית ועל.

הפונקציה היא מונח כללי השימושי בכל ענפי המתמטיקה. למחקר פונקציות והתכונות שלהן מקום מכריע בכל המתמטיקה. ניתן להגדיר פונקציות משמרות תכונות, פונקציות רציפות, פונקציות גזירות וכו', ולחקור את המבנים הנוצרים. הדגש על מעברים בין אובייקטים, המכליל את הרעיון של הפונקציה, נתון במושג המורפיזם בתורת הקטגוריות.

קבוצה אינסופית ועוצמה

קבוצה המספרים הטבעיים, כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום מוסמנת באות תורת הקבוצות , כלומר: תורת הקבוצות . הקבוצה תורת הקבוצות  מוגדרת באופן שאינו מאפשר לספור את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם, תמיד יהיו עוד איברים לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי. קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל גודלן של קבוצות אלו. הוא החליף את פעולת הספירה האינטואיטיבית בשימוש בכלים מתמטיים כגון פונקציות, דבר שאיפשר להרחיב את היחסים המוכרים בין הקבוצות הסופיות גם לאינסופיות. אם קיים מיפוי דו-כיווני בין שתי קבוצות סופיות, קרי, פונקציה חד-חד ערכית ועל מ-תורת הקבוצות  על תורת הקבוצות  (או מ־תורת הקבוצות  ל־תורת הקבוצות ) הרי שלשתי הקבוצות יש אותו גודל.

למשל לקבוצות הסופיות תורת הקבוצות  המוגדרות:

    תורת הקבוצות 
    תורת הקבוצות 

נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ-תורת הקבוצות  על תורת הקבוצות : (בשימוש בזוגות סדורים)

    תורת הקבוצות 

מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן באותו גודל. מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת גודלן של קבוצות סופיות בלי לספור את איבריהן. במינוח המתמטי, אם קיים יחס שקילות בין שתי קבוצות. אז הקבוצות הן שוות עצמה.

נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, וקבוצת הטבעיים הזוגיים המוגדרות:

    תורת הקבוצות 
    תורת הקבוצות 

נגדיר פונקציה:

    תורת הקבוצות 

פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הזוגיים הטבעיים.

נגדיר באופן מדויק מהי קבוצה אינסופית: קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת לה קבוצה חלקית ממש ושקולה לה. או לחלופין: קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ-תורת הקבוצות  ל-תורת הקבוצות  שאינה על תורת הקבוצות . תכונה זו לא מתקיימת בקבוצות סופיות, אך היא מתקיימות בקבוצות שעוצמתן אינסופית.

ישנן קבוצות אינסופיות רבות שונות בגודלן זו מזו. מושג העוצמה משמש כיום כלי מרכזי בהתייחסות מתמטית לגודלן של קבוצות, בייחוד אינסופיות. מסמנים את העוצמה של קבוצה ב-תורת הקבוצות ; אומרים ש-תורת הקבוצות  אם יש פונקציה חד-חד-ערכית תורת הקבוצות , ו-תורת הקבוצות  אם יש פונקציה על תורת הקבוצות .קבוצות נקראות שקולות עוצמה אם יש ביניהן פונקציה הפיכה, ומסמנים תורת הקבוצות . משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע כי מכך ש-תורת הקבוצות , תורת הקבוצות  ניתן להסיק כי תורת הקבוצות .

תוצאות נוספות (ולעיתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים. כמו כן, משפט קנטור הוכיח אי שקילות בין כל קבוצה לקבוצת החזקה שלה והאלכסון של קנטור הוכיח אי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים.

קבוצה השקולה לתת קבוצה כלשהי של הטבעיים נקראת קבוצה בת-מנייה. חיתוך, מכפלה קרטזית סופית ואיחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה נשאר בן מנייה. לעומת זאת קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים האי־רציונליים הן קבוצות שאינן בנות־מנייה. כלומר, שעוצמת גדולה מאלף אפס, עוצמת המספרים הטבעיים.

עוצמות

סודרים

לסודרים שימושים רבים בתחומים שונים ולא צפויים במתמטיקה, והם מהווים מונח יסוד בתורת הקבוצות. חשיבותם נובעת ממשפט הסדר הטוב, על פיו ניתן להגדיר על כל קבוצה לא ריקה יחס סדר, המקיים את התכונה הבאה: בכל תת-קבוצה לא ריקה קיים אבר מינימלי (אבר קטן ביותר).

סודר הוא קבוצה הסדורה היטב לפי היחס תורת הקבוצות  שהיא גם תורת הקבוצות -טרנזטיבית (כלומר, אם תורת הקבוצות  אז תורת הקבוצות . בין כל שני סודרים קיים יחס סדר. יתרה מזאת, כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית סדר לסודר יחיד, המהווה מעין נציג קנוני במחלקה שלה.

ניתן גם להגדיר פעולות בין סודרים, כמו חיבור, הפרש, כפל וחזקה. פעולות אלו שומרות חלקית על התכונות של הפעולות הרגילות על מספרים (למשל, החיבור איננו חילופי). ניתן להגדיר פונקציות מונוטוניות ורציפות בין סודרים, ביחס לטופולוגיית סדר.

סודרים מאפשרים להגדיר בתורת הקבוצות את האינדוקציה הטרנספיניטית ולהוכיח את משפט הרקורסיה הטרנספיניטית המהווים הכללה של המונחים אינדוקציה ורקורסיה על הטבעיים, ולהם שימושים רבים.

פרדוקסים

הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים, בהם הפרדוקס של ראסל. בעקבות הסתירה אליה הוביל הפרדוקס של ראסל, ובעיות נוספות, בהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה (ראו פרדוקס קנטור) והפרדוקס של בורלי-פורטי, והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים


Tags:

תורת הקבוצות הגדרת הקבוצהתורת הקבוצות יחסי ההכלהתורת הקבוצות פעולות על קבוצותתורת הקבוצות יחסים ופונקציותתורת הקבוצות קבוצה אינסופית ועוצמהתורת הקבוצות עוצמותתורת הקבוצות סודריםתורת הקבוצות פרדוקסיםתורת הקבוצות לקריאה נוספתתורת הקבוצות קישורים חיצונייםתורת הקבוצותסימון מתמטי

🔥 Trending searches on Wiki עברית:

אוסקר גלוךגולדה מאירהכנסתדוד מינץהאחרונים מבינינו (סדרת טלוויזיה)מונדיאל 2022המהפכה החוקתיתרימון הלםאופק (משפחת לוויינים)בסיס פלמחיםדניאל פרידמןחולצות שחורותארץ נהדרתאירוויזיון 2023ספרות זולהחוקה (ישראל)אלמוג כהן (חבר הכנסת)שטאזיפנחס עידןמיקי הרןדורון ליידנראסף זמירדר זוזובסקיפורטיטודו בולוניהארגנטינהרמי לויאיילת שקדאורנה ברביבאיבנימין נתניהושחמטיהודה לוי (שחקן)רון דרמרחזבאללהמחמוד ג'אבררז שלמהגוף שלישי (סדרת טלוויזיה)קבוצת וגנרליידי גאגאמשחקי הכס (סדרת טלוויזיה)רשימת פלאי תבלבית המשפט העליון של ארצות הבריתשכונה (סדרת טלוויזיה)יעל איכילוביוטיובאסתר חיותבן כספית2023ההסתדרות הכללית של העובדים בארץ ישראלג'ון וויק (סדרת סרטים)ראשון לציוןיעל שלביההבחירות לכנסת השבע עשרהמלחמת אוקראינה–רוסיההמשמר האזרחידובאיכדורגלמלכת היופי של ירושלים (סדרת טלוויזיה)עודד קטשמלאך משחיתטהורה לעדהתנחלותדוד ביטןשחר סגל (במאי)מלחמת יום הכיפוריםנועה קירלליגת האומות 2022/2023יעקב זיו (מדען)סברי מרנן (סדרת טלוויזיה)רצח אסף שטיירמןאמנון שפירא29 במרץהמשמר הלאומי של ישראלהמשמר הלאומי הישראלידרוזיםרצח תאיר ראדהבגץ עמותת הפורום החילוני נגד שר הבריאותוולפסברג (כדורגל)🡆 More