集合論

集合（set；以下簡稱做「集」）呢個概念喺數學入面出現得好密。一個「集」簡單啲講就係指「一柞嘢」⸺而呢柞嘢通常係有某啲啦掕所以先畀人擺埋一齊，例如係下面呢個集咁：

${\displaystyle \{1,3,5,7,9,\ldots \}}$

呢個集嘅定義（definition）可以係「所有單數嘅集」（the set of all odd numbers）⸺一個集可以包含任何嘢：數字、物件、或者抽象概念呀咁；一個集嘅元素（element）可以係根據某個定義湊埋一齊嘅（好似係頭先嗰個例子咁），但係亦都可以係夾硬擺埋一齊、冇乜規律嘅。透過研究唔同集嘅數學特質，數學家發現佢哋可以精確又唔循環（circular）咁定義數字同加減乘除呢啲基本嘅數學概念⸺呢點對於下下都講究系統性嘅數學嚟講好緊要。

集（set）係一嚿包括一堆符合條件嘅元素嘅嘢。可以將佢諗成環保分類係既黃、藍、啡嘅桶。

元素（elements）係集入面嘅嘢，多數會叫佢做一個集入面嘅一粒嘢。用返上面既比喻，元素就係放入桶入面嘅垃圾。

黃桶入面裝嘅係鋁製品嘅，入面嘅垃圾一定係鋁製。同一道理，一個集入面嘅元素一定符合嘅條件。

• 自然數：${\displaystyle \mathbb {N} :=\{1,2,3,4,\ldots \}}$ ，有啲數學家會將零包括埋入自然數呢個集入面。
• 整數：${\displaystyle \mathbb {Z} :=\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \}}$ 。由整數出嚟，可以有一個叫正整數嘅集。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}:=\{0,1,2,3,4,\ldots \}}$ 。
• 有理數：${\displaystyle \mathbb {Q} :=\{{\frac {a}{b}}|a,b\in \mathbb {Z} \land b\neq 0\}}$ 
• 實數：${\displaystyle \mathbb {R} :=\mathbb {Q} \cup \{}$ 所有無理數${\displaystyle \}}$ 
• 複數：${\displaystyle \mathbb {C} :=\{a+bi|a,b\in \mathbb {R} ,i={\sqrt {-1}}\}}$ 

空集

一個入面無元素嘅集係叫空集（empty set）。

空集可以想像成為一個入面無嘢嘅紙袋，咁呢個袋就係一個空袋。對應就係空集。

空集集

空集集（set of empty set）就係一個集，入面裝住一個空嘅集，即係 ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ 。咁空集就係呢個集嘅元素，${\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}}$ 。注意：唔可以寫成${\displaystyle \varnothing \in \varnothing }$ 。

可以幻想成，一個袋入面裝住一個袋，而入面個袋係無袋任何嘢。

相等集

如果有兩個集 ${\displaystyle X}$  同 ${\displaystyle Y}$ ，佢哋係相等（equal），即係話兩個集都有相同嘅元素。即係話，呢兩個袋入面裝住嘅嘢係一樣。

一般會以 ${\displaystyle X=Y}$  表示相等，${\displaystyle X\neq Y}$  表示唔相等。

例子

• ${\displaystyle \{5,6,7\}=\{7,5,6\}}$ 
• ${\displaystyle \{1,2,3\}\neq \{1,2\}}$ 
• ${\displaystyle \{\varnothing \}\neq \varnothing }$ 
• ${\displaystyle \{\{2\},4\}\neq \{2,4\}}$ 
• ${\displaystyle \mathbb {R} \neq \mathbb {N} }$ 
• ${\displaystyle 2\mathbb {N} =\{0,\pm 2,\pm 4,\cdots \}}$ 

有限集

如果集${\displaystyle X}$ 入面嘅元素係有限數量嘅話，咁 ${\displaystyle X}$  就係叫有限集（finite set）。而 ${\displaystyle X}$  入面嘅元素數量就叫基數（cardinality）。

基數一般會以 ${\displaystyle |X|}$  嚟表示 ${\displaystyle X}$  嘅基數。

例子

• ${\displaystyle \{\varnothing ,1,2\}}$  嘅基數係 ${\displaystyle 3}$ 。
• ${\displaystyle \{\varnothing ,1,\{4,2\}\}}$  嘅基數都係 ${\displaystyle 3}$ 。

以數學嘅角度嚟定義一個集，會以 ${\displaystyle \{x|x}$  乎合條件 ${\displaystyle P\}}$ 。「${\displaystyle |}$ 」係可以表示「當中」（such that）嘅意思。亦會有用「:」嚟代替「${\displaystyle |}$ 」。

例子

• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :4\leq x\leq 6\}}$  就係 ${\displaystyle \{4,5,6\}}$  呢個集。
• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x^{2}+1=0\}}$  就係 ${\displaystyle \varnothing }$  呢個集。
• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {C} |x^{2}+1=0\}}$  就係 ${\displaystyle \{i,-i\}}$  呢個集。

用集合論定義自然數字

${\displaystyle 0=\{\}}$ 

${\displaystyle 1=\{0\}=\{\{\}\}}$ 

${\displaystyle 2=\{0,1\}=\{\{\},\{\{\}\}\}}$ 

${\displaystyle ...}$ 

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