實數

實數域係個完備嘅有序域（complete ordered field），係有理數域嘅完備化（completion），係複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$嘅子域（實數就係虛部（imaginary part）係${\displaystyle 0}$嘅複數）；實數可以用戴德金分割（Dedekind cut）定義；每個實數都係一列有理數嘅極限，直觀、應用上，一個實數可以用有限或者無限嘅小數表示。數學家會用「${\displaystyle \mathbb {R} }$」嚟表示實數集，即係所有實數。

實數包含有理數之外嘅數叫無理數，包括圓周率${\displaystyle \pi }$、${\displaystyle {\sqrt {2}}}$等等。

實數係日常生活都會見到嘅數字，所以通常嚟講，多數會直接用數字嚟形容實數。

${\displaystyle \mathbb {R} }$ 包括咗十條對應加法同乘法嘅代數性質。頭四條係對應加法，中間四條係對應乘法，最後兩條係講加法同乘法之間嘅關係。

1. ${\displaystyle a+b=b+a,\forall a,b\in \mathbb {R} }$ 。意思係，加法次序唔影響結果。
2. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ 。意思係，三個實數嘅加法次序唔影響結果。
3. ${\displaystyle \exists \,0\in \mathbb {R} }$ 使到${\displaystyle 0+a=a+0=a,\forall a\in \mathbb {R} }$ 。意思係，任何嘢加零，都唔會改變原本嗰樣嘢。而呢個零係一定喺${\displaystyle \mathbb {R} }$ 入面。
4. 每一個對應嘅${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle \exists \,(-a)\in \mathbb {R} }$ 使到${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0}$ 。意思係，任何一個數，都會搵到一個對應嘅數，兩個加埋會變做零。
5. ${\displaystyle a\times b=b\times a,\forall a,b\in \mathbb {R} }$ 。意思係，乘法次序唔影響結果。
6. ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c),\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ 。意思係，三個實數嘅乘法次序唔影響結果。
7. ${\displaystyle \exists \,1\in \mathbb {R} }$ 使到${\displaystyle 1\times a=a\times 1=a,\forall a\in \mathbb {R} }$ 。意思係，一定有一個「一」係${\displaystyle \mathbb {R} }$ 入面，令到任何嘢乘佢都係等於自己。
8. 每一個對應嘅非零${\displaystyle a\neq 0\in \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle \exists \,{\frac {1}{a}}\in \mathbb {R} }$ 使到${\displaystyle a\times {\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}\times a=1}$ 。意思係，一個實數一定會有一個對應嘅實數，之後佢哋兩個乘埋就係一。
9. ${\displaystyle a\times (b+c)=(a+b)\times (a+c),\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ 同埋${\displaystyle (b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a),\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ 。
10. ${\displaystyle 1\neq 0}$ 。

推論一

如果有兩個數字${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ 係符合${\displaystyle a+b=a}$ ，咁即係可以得出${\displaystyle b=0}$ 。

證明：

${\displaystyle b=b+0=b+(a+(-a))=(b+a)+(-a)=(a+b)+(-a)=a+(-a)=0}$ 。

以上嘅證明只可以利用代數性質嘅十條定理嚟做，唔可以用平時處理加乘嘅習慣嚟做。

呢個證明嘅意義，係證明只有零先可以做到上面題及嘅嘢。

推論二

如果有兩個數字${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ 係符合${\displaystyle b\neq 0}$ 同埋${\displaystyle a\times b=b}$ ，咁即係得出${\displaystyle a=1}$ 。

證明：

${\displaystyle a=a\times 1=a\times (b\times {\frac {1}{b}})=(a\times b)\times {\frac {1}{b}}=b\times {\frac {1}{b}}=1}$ 。

同一個原理，唔可以用平時嘅習慣處理。

呢個證明證明，只有一先可以做到上面題及嘅嘢。

推論三

如果${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ，咁樣${\displaystyle a\times 0=0}$ 。

證明：

推${\displaystyle a+(a\times 0)=a\times 1+a\times 0=a\times (1+0)=a\times 1=a}$ 。

再利用推論一嘅結果，${\displaystyle a\times 0=0}$ 。

呢個證明嘅意義在於，佢證明咗咩嘢乘零都會等於零。

推論四

如果${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ 符合${\displaystyle a\neq 0}$ 同埋${\displaystyle a\times b=1}$ ，咁得出${\displaystyle b={\frac {1}{a}}}$ 。

證明：

${\displaystyle b=b\times 1=b\times (a\times {\frac {1}{a}})=(b\times a)\times {\frac {1}{a}}=(a\times b)\times {\frac {1}{a}}=1\times {\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}}$ 。

就係因為呢個證明，先可以進行到除法。

推論五

如果${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ 符合${\displaystyle a\times b=0}$ ，之後得出${\displaystyle a=0}$ 或者${\displaystyle b=0}$ 。

證明：

假設${\displaystyle a\neq 0}$ 。（想要證出${\displaystyle b=0}$ 。）

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\times 1\\&=b\times (a\times {\frac {1}{a}})\\&=(b\times a)\times {\frac {1}{a}}\\&=(a\times b)\times {\frac {1}{a}}\\&=0\times {\frac {1}{a}}\\&=0\end{aligned}}}$ 

排序性質（Order Properties）係${\displaystyle \mathbb {R} }$ 其中一個性質。佢係嚟自於三叉性質（Trichotomy Proporties），就係因為三叉定理，${\displaystyle \mathbb {R} }$ 先會有不等式。

三叉性質

考慮${\displaystyle \mathrm {P} }$ 係${\displaystyle \mathbb {R} }$ 嘅一個子集，${\displaystyle \mathrm {P} }$ 係一個整實數嘅子集，然後${\displaystyle \mathrm {P} }$ 符合以下三項特性：

• 如果${\displaystyle a,b\in \mathrm {P} }$ ，咁樣${\displaystyle a+b\in \mathrm {P} }$ 。
• 如果${\displaystyle a,b\in \mathrm {P} }$ ，咁樣${\displaystyle a\times b\in \mathrm {P} }$ 。
• 所有${\displaystyle \mathbb {R} }$ 入面嘅元素，叫${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ，都係必定符合以下其中一項。
  • ${\displaystyle a\in \mathrm {P} }$ 
  • ${\displaystyle a=0}$ 
  • ${\displaystyle -a\in \mathrm {P} }$ 

因為呢個三叉性質，${\displaystyle \mathbb {R} }$ 入面嘅數字可以分做正數、負數同埋零。就係因為噉，所以產生咗不等式。從而${\displaystyle \mathbb {R} }$ 入面嘅數字有大細之分。

完全性質（Completeness Property）係${\displaystyle \mathbb {R} }$ 嘅最終性質，意思係「${\displaystyle \mathbb {R} }$ 係俾數字填滿」。舉個例，喺${\displaystyle 0.5}$ 同${\displaystyle 0.6}$ 中間有無限咁多個數字。換句話講，你唔會搵到有兩個數字之間係無數字。

完全性質可以由好多唔同方面去證明，其中一個係嚟自完備。完全性質指明：「任何一個實數集，如果佢有上限，就一定有一個最小上限。」因為咁，亦到有人叫完全性質做「最小上限性質」（Supremum Property）。

• 絕對值
• 不等式
• 界限
• 間距
• 質進數
• 複數
• 實數完備性