數學 嘅數 基本
延伸
雙複數 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 共四元數 八元數 O {\displaystyle \mathbb {O} } 超數 上超實數 超現實數
超複數 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ⋆ R {\displaystyle {}^{\star }\mathbb {R} }
其他 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = + − 1 {\displaystyle +{\sqrt {-1}}} 無窮大量 ∞
圓周率 ,一般用 π 表示,係一個喺數學 同物理學 普遍存在嘅常數 ,大約等於 3.14159。佢嘅定義係平面幾何 (或者歐幾里得幾何 )入面圓形 嘅圓周 同直徑 嘅比例 ,亦等於圓形嘅面積 同半徑 平方 嘅比例。佢係精確計算圓周長、圓面積 、球 體積等幾何量嘅關鍵。喺分析學上, π {\displaystyle \pi } 可以定義為最細嘅 x > 0 {\displaystyle x>0} 令到 sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} = 0 {\displaystyle =0} 。
如果個圓直徑係一,佢個圓周就等如圓周率( π {\displaystyle \pi } )。 手寫體嘅 π {\displaystyle \pi } 圓周率係一個無理數 ,唔可以用分數 準確表示。
圓周率亦係一個超越數 ,冇辦法用有理 係數嘅多項式 嚟表達。
古代最初估計圓周率係 3 {\displaystyle 3} ,正所謂「周三徑一」。後尾有人發現有理數 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}} 可以當做圓周率嘅近似值 ,叫做約率 。中國 南北朝 數學家祖沖之 發現有理數 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} ( 3.1415929203539823008849557522124 ⋯ ⋯ ⋯ {\displaystyle 3.1415929203539823008849557522124\cdots \cdots \cdots } )更加接近(只係大咗 0.0000002667641890624223123 ⋯ ⋯ ⋯ {\displaystyle 0.0000002667641890624223123\cdots \cdots \cdots } 或接近千萬分之一),所以叫做密率 。
日本 數學家 三上義夫為咗記念祖沖之 嘅成就,提議將呢個近似值 叫做祖率 。喺一般應用, 3.14 {\displaystyle 3.14} 或約率 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}} 就已經夠數,但係工程學 成日用 3.1416 {\displaystyle 3.1416} (5位有效數字)或者 3.14159 {\displaystyle 3.14159} (6位有效數字)。至於密率 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} 就係一個易記啲、精確到7位有效數字嘅分數 。
1650年,約翰·沃利斯搵到 π 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ ⋯ 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 8\cdot 8\cdot \cdots }{1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 9\cdot \cdots }}}
1674年,萊布尼茲 搵到 π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + 1 13 − ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-\cdots }
巴比倫 人用嘅六十進制 圓周率係
3.8,29,44,0,47,25,53,7,24,57, 36,17,43,4,29,7,1,3,41,17, 52,36,12,14,36,44,51,5,15,33, 7,23,59,9,13,48,22,12,21,45, 22,56,47,39,44,28,37,58,23,21, 11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。
定義
搵圓周率數值嘅現代方法
Monte Carlo方法 Monte Carlo方法,用隨機嘅方法嚟搵π 嘅近似值。
Monte Carlo方法即係重覆好多次隨機嘅過程去搵答案,可以用嚟搵 π {\displaystyle \pi } 嘅近似值。Buffon嘅針係一個例子:一個平面上面畫咗一柞平行線,每條相隔t個單位,隨機掉n次每條長度係l個單位嘅針落去,記錄啲針同平行線相交嘅次數係x,噉π 大約就係:
π ≈ 2 n ℓ x t {\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}}
另一個方法係係畫一個正方形外接住一個圓,隨機擺啲點落去,喺圓入面嘅點占嘅比例大約係 π / 4 {\displaystyle \pi /4} 。
睇埋
參考
來源 其他書
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