比例

如果有兩個變量，其中一個始終係另外一個嘅 ${\displaystyle k}$  倍（即係話 ${\displaystyle k}$  係常數），而且 ${\displaystyle k\neq 0}$ ，噉爾兩個量就叫做成比例，而且 ${\displaystyle k}$  叫做比例常數。

比例常數同兩個量嘅次序有關，例如圓周長同直徑成比例，比例常數係 ${\displaystyle \pi }$ ，而反過來直徑亦同周長成比例，比例常數係 ${\displaystyle 1/\pi }$ 。

相關概念

表示四個量 ${\displaystyle a,b,c,d}$  之間關係嘅等式 ${\displaystyle a:b=c:d}$  叫比例式，其中同英文冒號一樣嘅符號叫做比號，表示除法。

比例式亦可以寫成分數嘅形式：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ 

喺比例式 ${\displaystyle a:b=c:d}$  道，${\displaystyle a,d}$  叫做比例外項，${\displaystyle b,c}$  叫做比例內項。

如果兩個比例內項相等，即係比例式係 ${\displaystyle a:b=b:c}$  噉款，噉 ${\displaystyle b}$  就叫做 ${\displaystyle a}$  同 ${\displaystyle c}$  嘅比例中項。討論等比數列問題嘅時候，經常會用到比例中項嘅概念。比例中項 ${\displaystyle b=\pm {\sqrt {ac}}}$ 。

例如，黃金分割比 ${\displaystyle p\approx 0.618}$  係 ${\displaystyle 1-p}$  同 ${\displaystyle 1}$  嘅比例中項。

性質

用初等代數可以好容易證明比例式嘅一系列性質。

基本性質

1. 比例式中各項同時乘（或除）以某一非零常數，比例式仍然成立；
2. 比例外項之積等於比例內項之積

倒數

${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}:{\frac {1}{a_{2}}}:{\frac {1}{a_{3}}}:{\frac {1}{a_{4}}}\cdots :{\frac {1}{a_{n}}}=a_{2}a_{3}a_{4}\cdots a_{n}:a_{1}a_{3}a_{4}\cdots a_{n}:a_{1}a_{2}a_{3}a_{5}\cdots a_{n}:\cdots :a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n-1}}$ 

合分比定理

如果 ${\displaystyle a:b=c:d}$ ，噉 ${\displaystyle (a\pm b):b=(c\pm d):d}$ 。上式取正號時，稱為合比定理，取負號時，稱為分比定理。

等比定理

如果 ${\displaystyle a_{1}:b_{1}=a_{2}:b_{2}=\ldots =a_{k}:b_{k}}$ ，而且 ${\displaystyle b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}\neq 0}$ ， 噉 ${\displaystyle a_{1}:b_{1}=a_{2}:b_{2}=\ldots =a_{k}:b_{k}=(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}):(b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k})}$ 。爾個叫做等比定理。

上面講到嘅比例有時又叫正比例，噉係為咗同反比例區分。

正比例函數同反比例函數

函數 ${\displaystyle y=kx(k\neq 0)}$  稱為正比例函數，爾個時候 ${\displaystyle y}$  同 ${\displaystyle x}$  成正比例，比例常數係 ${\displaystyle k}$ 。正比例函數係一次函數嘅特殊情形。正比例函數嘅圖像係一條過原點嘅直線。

函數 ${\displaystyle y={k \over x}(k\neq 0)}$  稱為反比例函數，爾個時候 ${\displaystyle x}$  同 ${\displaystyle y}$  互為反比例關係，但係一般無「比例常數係幾多」嘅講法。反比例函數嘅圖像係一條兩個焦點連線（焦軸）同坐標軸成 ${\displaystyle 45^{\circ }}$  角嘅雙曲線。

當 ${\displaystyle k=1}$  時，正比例函數同反比例函數都變成冪函數嘅特殊情形。

非正式用法

喺學術以外嘅範疇，正比同反比有時會用來分別指代正相關關係同負相關關係。所謂正相關，係指一個量大致趨勢上隨另一個量增加而增加；所謂負相關，係指一個量大致趨勢上隨另一個量增加而減少。

如果規定兩個變量都係正數（生活中用「正比」同「反比」來分別指代正相關同負相關大部分屬於爾種情形），噉數學上嘅正比例同反比例分別係正相關同負相關嘅特殊情形。但係如果無爾個限制，數學上嘅正比例亦可以係負相關，反之亦然。