黃金比例

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots .}$

兩個數值成黃金比例若且唯若佢哋嘅比例等於佢哋加埋同大嗰個嘅比例，用代數式嚟講，即係話如果${\displaystyle a>b>0}$，

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi }$

一條線段，其中有一個分割點，令到整體長度比長節=長節比短節，咁呢個比例就係黃金比。假設短節係1，長節係x。

黃金比就可寫做${\displaystyle {x+1 \over x}={x \over 1}}$ ，轉換成${\displaystyle x^{2}=x+1}$ ，執靚佢 ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$ ，

用公式計到${\displaystyle x={1\pm {\sqrt {5}} \over 2}}$ ，因為${\displaystyle x}$ 係正數，所以${\displaystyle x={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$ 。

視藝

"Without Mathematics There is No Art." （「冇咗數學，就唔會有藝術。」）

Luca Pacioli （盧卡·帕西奧利）

視覺藝術上有對作品嘅數學特性作出思考。有唔少呢方面嘅工作者同學者認為，喺構圖上展示某啲數學特性嘅視藝作品會零舍有美感，而黃金比例就係一個成日俾人指同美感有重大關係嘅數值：有好多藝術界嘅工作者都相信，一幅靚嘅畫（或者一件靚嘅視藝作品）構圖需要喺某啲方面展示黃金比例；而文藝復興時期（Renaissance）嘅意大利藝術家廣泛噉將黃金比例用喺佢哋作品嘅構圖當中，以達文西（Da Vinci）舉世聞名嘅作品《蒙娜麗莎》（Mona Lisa）為例：

黃金長方形嘅圖解；圖中嘅 ${\displaystyle a}$  同 ${\displaystyle b}$  成黃金比例。    《蒙娜麗莎》全圖    蒙娜麗莎塊面俾人指係運用咗黃金長方形嘅原理。

 

無理數

黃金比例係一個無理數，以下係兩個簡單嘅證明：

最簡分數

根據定義，如果假設長邊嘅長度係a，短邊嘅長度係b，咁黃金比例就符合：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}$ 

但係如果設長邊係n，兩條邊加埋係m，咁等式就變成：

${\displaystyle {\frac {n}{m-n}}={\frac {m}{n}}}$ 

假如黃金比例係有理數，咁佢就可以寫做兩個整數嘅比例，可以假設約到最簡之後係 m/n，但係根據上面條式，n/(m-n) 係約到更簡嘅分數，得出矛盾，所以黃金比例係無理數。

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ 係無理數

• 貴金屬比
• 二次方程
• 美感