Număr Real

Numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor.

Termenul de "număr real" a apărut ulterior noțiunii de "număr imaginar"^{[necesită citare]}. Numerele reale pot fi raționale sau iraționale, algebrice sau transcendente, pozitive sau negative. Numerele reale iraționale pot fi aproximate prin șiruri de numere raționale prin aproximație diofantică cu o eroare prin lipsă de 10^-n.

Simbolul mulțimii numerelor reale este R (sau alternativ, ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Este o mulțime nenumărabilă. Ea constituie baza pentru operațiile din analiza reală.

Fie R mulțimea numerelor reale. Atunci:

• Mulțimea R, împreună cu operațiile de adunare și înmulțire formează un corp .
• Corpul R este ordonat, adică există o relație de ordine totală ≥ pe R astfel încât, pentru orice x,y și z din R, avem:
  • dacă x ≥ y atunci x + z ≥ y + z;
  • dacă x ≥ 0 și y ≥ 0 atunci xy ≥ 0.
• Ordinea este Dedekind-completă, adică, orice submulțime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară (numită supremum) în R.

Ultima proprietate diferențiază mulțimea numerelor reale de cea a numerelor raționale. De exemplu, submulțimea numerelor raționale cu pătratul mai mic decât 2 are o margine superioară rațională (de ex. 1,5), dar nu are o cea mai mică margine superioară rațională, pentru că rădăcina pătrată a lui 2 nu este număr rațional.

Se poate demonstra că numerele reale sunt definite exact de proprietățile de mai sus. Mai exact, date fiind două corpuri ordonate Dedekind-complet R1 și R2, există un unic izomorfism de corpuri între R1 și R2, ceea ce ne permite să privim cele două corpuri ca pe același obiect matematic.

• Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Courier Dover Publications, 1963, ISBN 0-486-21010-3
• William Andrew Coppel, Number Theory: An Introduction to Mathematics, Springer, 2006, ISBN 0-387-30529-7

	Matematică – Teoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
	Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)  • • ${\displaystyle \mathbb {N} }$   • • ${\displaystyle \mathbb {Z} }$   • • ${\displaystyle \mathbb {Q} }$   • • ${\displaystyle \mathbb {I} }$   • • ${\displaystyle \mathbb {T} }$   • • ${\displaystyle \mathbb {R} }$   • • ${\displaystyle \mathbb {C} }$   • •