Reelle Tal

Alle reelle tal har ein desimaltalrepresentasjon som ${\displaystyle n.d_{1}d_{2}d_{3}\dots }$ eller ${\displaystyle n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{10^{2}}}+\dots +{\frac {d_{m}}{10^{m}}}+\dots }$, der ${\displaystyle n}$ er eit naturleg tal og alle ${\displaystyle d_{i}}$ er siffer i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Reelle tal omfattar rasjonelle tal som 1, 5 og 21/7, men også irrasjonelle tal som ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ og ${\displaystyle \pi }$. Dei reelle tala er ei delmengd av dei komplekse tala.

Eit reelt tal kan ha opptil to ulike desimaltaltalrepresentasjonar. Til dømes er 0.9999... og 1.000... representasjonar av det same reelle talet. At nokre reelle tal har to representasjonar og andre berre eitt skuldast at ein desimaltalrepresentasjonen er ein konvensjon basert på titalssystemet; det er ikkje sjølve essensen til dei reelle tala.

Cantor-Dedekinds aksiom seier at dei reelle tala er ordensisomorfe med det lineære kontinuumet i geometrien. Det vil seia at det finst ein bijeksjon mellom reelle tal og punkt på ei line. Dette er ikkje eit aksiom i ordinær forstand.

Dei reelle tala er den unike, komplette, ordna kroppen ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,<)}$  som har dei rasjonelle tala ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  som ein underkropp:

• Dersom ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ , så gjeld éin av ${\displaystyle x$ , ${\displaystyle x=y}$  og ${\displaystyle x>y}$ .
• Dersom ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle x$  og ${\displaystyle y$ , så er også ${\displaystyle x$ .
• Dersom ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$  er ikkje-tom og bunden ovanfrå, så finst ${\displaystyle M=\sup {E}}$  (komplettleiksprinsippet).
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$  er ei abelsk gruppe med identitet 0:
  • Dersom ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ , så er ${\displaystyle x+y\in \mathbb {R} }$ .
  • Dersom ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ , så er ${\displaystyle x+y=y+x}$  (kommutativitet).
  • Dersom ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }$ , så er ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$  (assosiativitet).
  • Det finst ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} }$  slik at ${\displaystyle 0+x=x}$  for alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  (identitetselement).
  • Dersom ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ , så finst ${\displaystyle -x\in \mathbb {R} }$  slik at ${\displaystyle -x+x=0}$  (inverse element).
• ${\displaystyle (\mathbb {R} -\{0\},\cdot )}$  er ei abelsk gruppe med identitet 1:
  • Dersom ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} -\{0\}}$ , så er ${\displaystyle x\cdot y\in \mathbb {R} }$ .
  • Dersom ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} -\{0\}}$ , så er ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$  (kommutativitet).
  • Dersom ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} -\{0\}}$ , så er ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$  (assosiativitet).
  • Det finst ${\displaystyle 1\in \mathbb {R} -\{0\}}$  slik at ${\displaystyle 1\cdot x=x}$  for alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  (identitetselement).
  • Dersom ${\displaystyle x\in \mathbb {R} -\{0\}}$ , så finst ${\displaystyle {\frac {1}{x}}\in \mathbb {R} }$  slik at ${\displaystyle {\frac {1}{x}}\cdot x=1}$  (inverse element).
• Multiplikasjon distribuerer over addisjon: Dersom ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }$ , så er ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$ 
• ${\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}}$  er ein underkropp:
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$ 
  • Ordenen til ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  samenfell med ordenen til ${\displaystyle \mathbb {R} }$  når brukt på rasjonelle tal.
  • Addisjon i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  samenfell med addisjon ${\displaystyle \mathbb {R} }$  når brukt på rasjonelle tal.
  • Multiplikasjon i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  samenfell med multiplikasjon i ${\displaystyle \mathbb {R} }$  når brukt på rasjonelle tal.

Denne definisjonen gjev i seg sjølv ikkje ei sikring av at dei reelle tala finst eller at dei er unikt definerte; me må følgja definisjonen opp med ein konstruksjon av dei reelle tala frå dei rasjonelle tala. Det finst i alle fall tre ulike, men på eit vis ekvivalente framgangsmåtar:

Dei reelle tala som Dedekindkutt

Ei delmengd ${\displaystyle E\subset \mathbb {Q} }$  er eit Dedekindkutt dersom

• ${\displaystyle E\neq \emptyset }$  og ${\displaystyle E\neq \mathbb {Q} }$ .
• Dersom ${\displaystyle p\in E}$ , ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$  og ${\displaystyle q$ , så ${\displaystyle q\in E}$  (E inneheld alle rasjonelle tal lågare enn p dersom p er i E).
• Dersom ${\displaystyle p\in E}$ , så finst ${\displaystyle r\in E}$  slik at ${\displaystyle p$  (E har ingen største element).

Dei reelle tala er mengda av Dedekindkutt;

• ${\displaystyle E$  dersom E er ei ekte delmengd av F.
• ${\displaystyle E+F}$  er mengda av alle ${\displaystyle r+s}$ , der ${\displaystyle r\in E}$  og ${\displaystyle s\in F}$ . 0* er Dedekindkuttet av negative rasjonelle tal.
• Dersom ${\displaystyle E>0*}$  og ${\displaystyle F>0*}$ , så er ${\displaystyle E\cdot F}$  mengda av alle ${\displaystyle p\leq rs}$ , der ${\displaystyle r\in E}$  og ${\displaystyle s\in F}$  er ikkje-negative.
• ${\displaystyle E\cdot 0*=0*\cdot E=0*}$ .
• ${\displaystyle E\cdot F=(-E)\cdot (-F)}$  for ${\displaystyle E<0*}$  og ${\displaystyle F<0*}$ .
• ${\displaystyle E\cdot F=-((-E)\cdot F)}$  for ${\displaystyle E<0*}$  og ${\displaystyle F>0*}$ .
• ${\displaystyle E\cdot F=-(E\cdot (-F))}$  for ${\displaystyle E>0*}$  og ${\displaystyle F<0*}$ .

Denne konstruksjonen vart gjennomført av Dedekind i 1872.

Dei reelle tala som Cauchyfølgjer

Ei Cauchyfølgje blant dei rasjonelle tala er ei følgje ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}$  slik at for alle omegn U om 0 finst eit naturleg tal N slik at ${\displaystyle x_{n}-x_{m}\in U}$  for alle ${\displaystyle m,n\geq N}$ . To Cauchyfølgjer ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}$  og ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\geq 0}}$  er ekvivalente dersom ${\displaystyle x_{n}-v_{n}\to 0}$  i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  med den vanlege topologien indusert av metrikken ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ . Dei reelle tala er då mengda av ekvivalensklassane og er kompletteringa av dei rasjonelle tala. Ei alternativ formulering er at ${\displaystyle \mathbb {R} =F/N}$ , der N er idealet av nullfølgjer i ringen F av cauchyfølgjer i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Denne konstruksjonen vart gjennomført av Cauchy i 1871.

Dei reelle tala som nøsta intervall

La ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$  vera ei følgje av lukka, avgrensa intervall i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , slik at ${\displaystyle I_{n+1}\subseteq I_{n}}$ . Dersom lengda av intervalla går mot null, så er eit bestemt reelt tal det unike talet som finst i alle desse mengdene. Dette argumentet vart gjort i detalj av Bachmann i 1892 (intervallinnkapslingsmetoden).

Tarski si aksiomatisering

Eit alternativt aksiomsystem for dei reelle tala er:

• < er ein asymmetrisk binær operasjon som er Dedekindkomplett og tett i mengda ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• + er ein assosiativ operasjon på ${\displaystyle \mathbb {R} }$  og for alle x og y finst z slik at x + z = y.
• Dersom ${\displaystyle x+y$ , så er anten ${\displaystyle x$  eller ${\displaystyle y$  og det finst eit element 1 i ${\displaystyle \mathbb {R} }$  slik at 1 < 1 + 1.

Sjå Tarski si aksiomatisering av dei reelle tala.