گرتە

چەمکی گرتە، وەکوو تەواوکاری، لە بابەتێکی ئەندازەیی، واتە دۆزینەوەی ھێڵی لێکەوتی چەماوەیەک لە خاڵێکدا بەرھەم دێت و تا سەرەتاکانی سەدەی ١٧ زایینی، بەر لەوەی ماتماتیکزانی فەڕانسەوی، فێرما بەھایەکانی ئەوپەڕی (ئێکستێرمۆمەکانی) ھەندێک فانکشنی دیاریکراو بدۆزیتەوە، پێناسە نەکرابوو. فێرما بەو ئەنجامە گەیشت ھێڵەکانی لێکەوت لەو خاڵانە کە فانکشنەکان، گەورەترین (ماکسیمۆم) یان بچووکترین (مینیمۆم) بەھایان ھەیە، دەبێت ئاسۆیی بن. لەبەر ئەوە ئەو بیرۆکە لەلای دروست بوو پەیوەندییەک بدۆزیتەوە لە نێوان بابەتی دیاریکردنی بەھایەکانی ئەوپەڕی فانکشن و بابەتی لێکەوتە ئاسۆیییەکان. لە ئەنجامی ھەوڵەکانی فێرما بۆ شیکاریکردنی ئەو بابەتە چەمکی گرتە ھاتە ئاراوە.

لە سەرەتادا زانایان لەو باوەڕەدابوون کە لە نێوان بابەتی ڕووبەری سنووردراوی ناوچەیەک و دۆزینەوەی ھێڵی لێکەوتی چەماوەیەک، پەیوەندییەک نادۆزرێتەوە، یەکەم کەس ئیساک بارۆ مامۆستای ئیساک نیوتۆن بوو کە بەو ئەنجامە گەیشت لە نێوان ئەو دوو چەمکەی بە ڕواڵەت دوور لەیەک، پەیوەندییەکی نزیک ھەیە. پێناسەی گرتە بەم شێوەی ئەمڕۆکە دەبینرێت، یەکەم جار لە ساڵی ١٦٦٦ زایینی بە تێکۆشانی نیوتۆن و چەند ساڵ پاش ئەو، لایبنیتس بەجیا داھێنرا. ئەم دوو زانایە لە درێژەی چالاکییەکانیاندا دیسانیش ھەر بەجیا بەشی دووھەمی شیکاریی بیرکاری، واتە ھەژماری تەواوکارییان پێناسە کرد. گەشەکردنی جیاکاری و تەواوکاری بۆ ھەوڵی زاناکانی بیرکاری ئۆگوستین-لوی کۆشی، بێرنارد ڕیمان و براکانی بێرنۆلی ژاکوب و یوھان، دەگەڕێتەوە. گیوم لۆپیتاڵ (بە فەڕەنسی: Guillaume de l'Hôpital)، زانای فەڕەنسەوی، لە ساڵی ١٦٩٦ یەکەمین کتێبی وانەی شیکاریی بیرکاری بڵاو کردەوە، کە کورتەباسێک بوو لە وانەکانی مامۆستاکەی یوھان بێرنۆلی، لەم کتێبەدا باس لە ڕێسای لۆپیتاڵ، کراوە کە ڕێسایەکە بۆ لابردنی نادیاری لە ڕادەکاندا، ئەم ڕێسایە بە ناوی لۆپیتاڵ ناسراوە، بەڵام لە ڕاستیدا یوھان بێرنۆلی داھێنەری ئەم ڕێسایە.

گۆڕانەکانی فانکشن

 

لێژی ھێڵی لێکەوتی دیاگرامی فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  لە خاڵی ${\displaystyle x\!}$  یەکسانە بە بەھای گرتەی فانکشن لە خاڵی ${\displaystyle x\!}$ .

 

لێژی بڕەری دیاگرامی فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  یەکسانە بە m.

 

ئەگەر ${\displaystyle h\!}$  زیاتر و زیاتر لە سیفر نیزیک ببێتەوە لێژی ھێڵی بڕەر لە لێژی ھێڵی لێکەوت لە خاڵی ${\displaystyle x\!}$  نیزیک دەبێتەوە.

 

. ئەنیمەیشن: لێژی ھێڵی لێکەوت (گرتە) یان ڕادەی بڕەر

پێناسەی لێژایی فانکشن

ئەگەر ${\displaystyle (x,f(x))\!}$  خاڵێک لە ڕوونکردنەوەی فانکشنی ${\displaystyle y=f(x)\!}$  و ${\displaystyle (x+h,f(x+h))\!}$  خاڵێکی تر لە فانکشنەکە بێت، ئەوا ${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+h)-f(x)\!}$  و لێژی ھێڵی بڕەر بریتییە لە:

${\displaystyle m={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\!}$ 

ئەگەر ${\displaystyle x\!}$  نەگۆڕێت و ${\displaystyle h\!}$  لە سیفر نزیک ببێتەوە ئەوا لێژیی بڕەرەکە لە لێژی لێکەوت نزیک دەبێتەوە. بە دەستەواژەیەکی تر ڕادەی لێژیی بڕەرەکە ئەگەر تەنیا بە ${\displaystyle x\!}$  بەسترابێتەوە یەکسان دەبێت لەگەڵ لێژیی لێکەوتی چەماوەکە. بە فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  دەوترێت توانای گرتە یان داتاشراوی ھەیە لە خاڵی ${\displaystyle a\!}$ = ${\displaystyle x\!}$  ئەگەر لێژایییەکەی لەو خاڵەدا پێناسە کرابێت. لە ژێر ڕۆشنایی ئەم تێبینییەوە دەتوانین پێناسەی گرتەی فانکشن بکەین.

پێناسەی گرتەی فانکشن

ئەگەر ${\displaystyle f\!}$  فانکشنێک بێت توانای گرتەی لە ھەموو خاڵەکانی بوارەکەیدا ھەبێت، ئەوا دەتوانیت ھەر بەھایەکی ${\displaystyle a\!}$  لە بواری فانکشنەکە بە لێژایییەکەی ${\displaystyle f'\!}$  لە ${\displaystyle a\!}$ = ${\displaystyle x\!}$  ببەستیتەوە، ئەو فانکشنە بە شێوەی ${\displaystyle f'\!}$  دەنووسرێت و پێی دەوترێت گرتەی فانکشنی f.

فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  لە ھاوسێی خاڵی ${\displaystyle a\!}$  پێناسە کراوە، ئەگەر ${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$  بوونی ھەبێت ${\displaystyle f\!}$  لە ${\displaystyle a\!}$  توانای گرتەی ھەیە. ئەو ڕادەیە بە ${\displaystyle f'(a)\!}$  دیاری دەکرێت و گرتەی ${\displaystyle f\!}$  لە خاڵی${\displaystyle a\!}$  ناو دەنێن.

بە گۆڕینی گۆڕەکی ${\displaystyle h\!}$  بە ${\displaystyle x-a\!}$  پێناسەی گرتە بەم شێوە دەنووسرێت:

زانایانی بیرکاری وەک لایبنیتس و نیوتن و لاگرانژ و ئەوانەی لە بواری بیرکاری کار دەکەن چەندین ھێمای جیاواز بەکار دەھێنن بۆ دەربڕینی بەھای گرتە. لایبنیتس لە سالی ١٦٧٥ بە کەلکوەرگرتن لە کرداری جیاکەرەوەی ${\displaystyle \Delta \!}$  و ڕێژەی دوو جیاوازی ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$  و ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$  بۆ گرتەی فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  لە خاڵی ${\displaystyle x\!}$  ھێمای ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\!}$ ی پێناسە کرد، کە بەم شێوەیش ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}f(x)}$  دەنووسرێت. ئەم ھێمایە کە بە ڕوونکردنەوەی دیفرانسیێلی گرتە ناسراوە، بۆ گرتە بەرزەکان بە شێوەی ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}f(x)}$  پێناسە دەکرێت. بەپێی ھێمای لایبنیتس ڕێسای گرتە بەم شێوەیە:

نیوتن گرتەی یەکەمی بە شێوەی ${\displaystyle {\dot {y}}\!}$  دەنووسی و گرتەی دووھەم بەم شێوە ${\displaystyle {\ddot {y}}\!}$ . ھێما خاڵدارەکانی نیوتن لە ھەندێک لە چەمکە سەرەکییەکانی فیزیک وەک خێرایی و لەز بەکار دێن. گرتەی فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  دەشێت بەم شێوەیش ${\displaystyle f'\!}$  بنووسرێت. ئەم ھێمایە لەسەر ئەوە جەخت دەکا کە ${\displaystyle f'\!}$  فانکشنێکی نوێیە و لە ${\displaystyle f\!}$  وەرگیراوە و بەھاکەی لە خاڵی ${\displaystyle x\!}$  بە شێوەی ${\displaystyle f'(x)\!}$  دیاری دەکرێت. پۆوتانی ${\displaystyle x\!}$  و ${\displaystyle y\!}$  لەسەر ڕوونکردنەوەی فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  بە ھاوکێشەی ${\displaystyle y=f(x)\!}$  بە یەک دەبەسترێنەوە، و ھێمای ${\displaystyle y'\!}$  بۆ دیاریکردنی ${\displaystyle f'(x)\!}$  بەکار دێت کە بەھاکەی لە خاڵی ${\displaystyle x\!}$  بە شێوەی ${\displaystyle y'_{x}\!}$  دەنووسرێت. لاگرانژ ئەم ھێمایەی لە ساڵی ١٧٧٠ی زایینی بەکار ھێنا و گرتە بەرزەکانی بە شێوەی ${\displaystyle f'\!}$  (گرتەی یەکەم)، ${\displaystyle f''\!}$  (گرتەی دووھەم)، ${\displaystyle f'''\!}$  (گرتەی سێھەم)، ${\displaystyle f^{(4)}\!}$  (گرتەی چوارەم) … ${\displaystyle f^{(n)}\!}$  (گرتەی ${\displaystyle n\!}$ ەم) دیاری کرد.

ئەگەر ${\displaystyle f\!}$  فانکشنێک بێت توانای گرتەی ھەبێت، ئەوا گرتەکەش فانکشنە لەوانەیە توانای گرتەی ھەبێت، ئەگەر گرتەی ${\displaystyle f'\!}$  فانکشنێک بێت توانای گرتەی ھەبێت ئەوا بە گرتەکەی دەوترێت گرتەی دووھەمی فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  و بە ھێمای ${\displaystyle f''\!}$  ھێما دەکرێت. لەم بارەدا بە ${\displaystyle f'\!}$  دەوترێت گرتەی یەکەم. گرتەی دووھەم بە نموونەیەک لە گرتە بەرزەکان دادەنرێت، دەتوانیت ھەژماری گرتەی فانکشن لە ھەر پلەیەک بکەیت (ئەگەر ھەبێت) لەبەر ئەوە گرتەی سێھەم بریتییە لە گرتەی گرتەی دووھەم، ھەر وەک لە خوارەوە ڕوون کراوەتەوە

لە گرتەی چوارەم بەرەو سەرەوە بەم شێوە ھێما دەکرێن

شێوەی گشتی ھاوکێشەی گرتەی ${\displaystyle n\!}$ ەم:

نموونە

گرتەی ${\displaystyle n\!}$ ەمی چەند فانکشنی گرینگ بەپێی ${\displaystyle x\!}$  کە ${\displaystyle a\!}$  و ${\displaystyle b\!}$  لێرەدا ژمارەی نەگۆڕن:

• ڕێسای فانکشنی نەگۆر: ئەگەر ${\displaystyle f(x)\!}$  فانکشنێکی نەگۆڕ بێت ئەوا

${\displaystyle f'=0.\,}$ 

• ڕێسای سەرجەم: بۆ ھەر فانکشنێک وەکوو ${\displaystyle f(x)\!}$  و ${\displaystyle g(x)\!}$  و ھەر ژمارەیەکی ڕاستەقینەی${\displaystyle \alpha }$  و ${\displaystyle \beta }$ 

${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}$ 

• ڕێسای ئەنجامی لێکدان: بۆ ھەر فانکشنێک وەکوو ${\displaystyle f(x)\!}$  و ${\displaystyle g(x)\!}$ 

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$ 

نموونەیەکی تایبەتی بۆ ڕێسای لێکدان ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$  لەبەر ئەوەی ${\displaystyle \alpha }$  نەگۆڕە، چوون ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$  بە بەکارھێنانی ڕێسای فانکشنی نەگۆڕ ئەوا

٠+${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ 

• ڕێسای ئەنجامی دابەشبوون: بۆ ھەر فانکشنێک وەکوو ${\displaystyle f(x)\!}$  و ${\displaystyle g(x)\!}$ 

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$  g ≠ 0.

• ڕێسای فانکشنیی فانکشن: ئەگەر ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ , ئەوا

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}$ 

نموونە

گرتەی فانکشنی ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$  بە شێوەی خوارەوەیە

ئەگەر فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  لە ماوەیەکی کراوە توانای گرتەی ھەبێت و گرتەی یەکەمی لەو ماوەیەدا ڕوو لە زیاد بوون بێت، ئەوا چەماوەکە قوپاوە وەکوو ${\displaystyle \smile \!}$  لەو ماوەیەدا، بەڵام ئەگەر گرتەکە لەو ماوەیەدا ڕوو لە کەمبوون بێت، ئەوا چەماوەکە قۆقزە وەکوو ${\displaystyle \frown \!}$  لەو ماوەیەدا.

 

تاقیکردنەوەکانی قۆقز و قوپاو

فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  لە ماوەی کراوەی I دوو جار توانای گرتەی ھەیە

1. ئەگەر ${\displaystyle f''(x)>0\!}$  لە ماوەی Iدا، ئەوا چەماوەی فانکشنەکە لە ماوەی I قوپاوە
2. ئەگەر ${\displaystyle f''(x)<0\!}$  لە ماوەی Iدا، ئەوا چەماوەی فانکشنەکە لە ماوەی I قۆقزە.

خاڵی وەرگەڕان

ئەگەر فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  بەردەوام بێت و ئەگەر ڕوونکردنەوەکەی لە خاڵی ${\displaystyle c\!}$  لێکەوتی ھەبێت ئەوا ئەو خاڵە بریتییە لە خاڵی وەرگەڕانی فانکشنەکە، ئەگەر چەماوەکە لەو خاڵەدا لە قوپاو بۆ قۆقز یان لە قۆقزەوە بۆ قوپاو بگۆڕێت. کەوایە بۆ شیکاریی خاڵی وەرگەڕان دەبێت ئەم سێ مەرجەی خوارەوە بێتەدی.

1. ${\displaystyle f\!}$  لە خاڵی ${\displaystyle c\!}$  بەردەوام بێت
2. ${\displaystyle f\!}$  لە خاڵی ${\displaystyle c\!}$  تەنھا یەک لێکەوتی ھەبێت (لار، ئاسۆیی یا ئەستوونی)
3. ئاراستەی قۆقز و قوپاوی ${\displaystyle f\!}$  لە ${\displaystyle c\!}$  بگۆڕێت.

 

خاڵی وەرگەڕان بە لێکەوتی لارە

 

خاڵی وەرگەڕان بە لێکەوتی ئاسۆیی

 

خاڵی وەرگەڕان بە لێکەوتی ئەستوون

بەپێی تیۆرمی لاگرانژ یان تیۆرمی بەھای ناوەند ئەگەر فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  لە ${\displaystyle [a,b]\!}$  بەردەوام و لە ماوەی ${\displaystyle (a,b)\!}$  توانای گرتەی ھەبێت، ئەوا لانیکەم خاڵێک وەکوو ${\displaystyle c\!}$  لە ماوەی ${\displaystyle (a,b)\!}$  ھەیە و ئەم ھاوکێشە پاسادان دەکات:

 

 

• لێکدانەوەی ئەندازەیی: لە ماوەی ${\displaystyle (a,b)\!}$  لانیکەم خاڵێک ھەیە کە لێکەوتی چەماوە لەو خاڵەدا ھاوبەر دەبێت لەگەڵ ئەو ھێڵەی لە پێکگەیاندنی سەری دوو خاڵی چەماوەکە دروست دەبێت.

تیۆرمی کۆشی گشتێنراوی تیۆرمی لاگرانژە، بەپێی ئەم تیۆرمە ئەگەر دوو فانکشنی ${\displaystyle f\!}$  و ${\displaystyle g\!}$  لە ماوەی ${\displaystyle [a,b]\!}$  بەردەوام و لە ماوەی ${\displaystyle (a,b)\!}$  توانای گرتەیان ھەبێت، ئەوا لانیکەم خاڵێکی وەکوو ${\displaystyle c\!}$  لە ماوەی ${\displaystyle (a,b)\!}$  ھەیە و ئەم ھاوکێشە پاسادان دەکات:

ڕێسای لۆپیتاڵ

لە ڕێسای لۆپیتاڵ بۆ لابردنی نادیاری ${\displaystyle {\frac {0}{0}}\!}$  و ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}\!}$  بۆ ھەژمارکردنی ڕادە لە بارەکانی نادیار کەلک وەردەگرین واتە ئەگەر ${\displaystyle f\!}$  و ${\displaystyle g\!}$  لە ${\displaystyle x=a\!}$  توانای گرتەی ھەبێت و ${\displaystyle f(a)=g(a)=0\!}$  ئەوا:

لەم پەیوەندییانەدا ${\displaystyle m\!}$ ،${\displaystyle c\!}$  و ${\displaystyle p\!}$  ژمارەی نەگۆڕ، ${\displaystyle y\!}$ ،${\displaystyle x\!}$ ،${\displaystyle v\!}$ ،${\displaystyle u\!}$ ،${\displaystyle t\!}$  گۆڕەک و ${\displaystyle e\!}$  ژمارەی نێپێرە.

فانکشنە جەبرییەکان

گرتەی فانکشنە جەبرییەکان بەم شێوە پێناسە دەکرێت:

فانکشنە سێگۆشەیییەکان

گرتەی فانکشنە سێگۆشەیییەکان:

ھەڵگەڕاوەی فانکشنە سێگۆشەیییەکان

فانکشنە توانی و لۆگاریتمییەکان

فانکشنە ھیپێربۆلیکەکان

• فانکشن
• جیاکاری و تەواوکاری
• ڕادە
• بەردەوامی
• تەواوکاری