Derivada: Operación en cálculo infinitesimal

Para que unha función sexa derivable nun punto ${\displaystyle x_{a}\,}$ ten que ser continua na súa contorna pola dereita e pola esquerda e ter o mesmo límite polos dous lados. Nese caso defínese a derivada coma o resultado de:

${\displaystyle f'(x_{a})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{a}+h)-f(x_{a})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{a}-h)-f(x_{a})}{-h}}\,}$

Do mesmo xeito pódese definir o valor da función derivada para calquera punto do dominio de ${\displaystyle f(x)\,}$, na cal se expresa o valor da derivada para tódolos puntos continuos do dominio:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{-h}}\,}$

Derivada dunha función polinómica:

${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle =3x^{2}+2x-6\,\Rightarrow }$
${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {(3(x+h)^{2}+2(x+h)-6)-(3x^{2}+2x-6)}{h}}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {(3(x^{2}+h^{2}+2xh)+2(x+h)-6)-(3x^{2}+2x-6)}{h}}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {(3x^{2}+3h^{2}+6xh+2x+2h-6)-(3x^{2}+2x-6)}{h}}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {3x^{2}+3h^{2}+6xh+2x+2h-6-3x^{2}-2x+6}{h}}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {3h^{2}+6xh+2h}{h}}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\to 0}3h+6x+2}$
	${\displaystyle =6x+2\,}$

Derivada da función logaritmo:

• ${\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,}$ 
• ${\displaystyle f(x+h)=\log _{a}(x+h)\,}$ 
• ${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\log _{a}(x+h)-\log _{a}x=\log _{a}{\frac {x+h}{x}}\,}$ 
• ${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=}$ 

lim 2x+1= x->2

O uso da derivación ten valido para explicar ou determinar multitude de situacións da física ou da xeometría. Un pequeno exemplo pode ser a seguinte táboa:

Figura	Lonxitude	Superficie	Volume
Círculo & circunferencia	(Circunferencia) ${\displaystyle 2\pi r\,}$	(Círculo) ${\displaystyle \pi r^{2}\,}$	non procede
Esfera	non procede	${\displaystyle 4\pi r^{2}\,}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,}$

onde se pode comprobar que o valor de dimensión espacial N se corresponde coa derivada do valor de dimensión espacial N+1 da mesma figura.

Outro caso na física sería o valor da posición, velocidade e aceleración dunha partícula expresadas en función do tempo, que son cada unha derivada da anterior:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{posición}}&p=&p_{0}+&v_{0}t+&{\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}\\{\text{velocidade}}&v=&&v_{0}+&a_{0}t\\{\text{aceleración}}&a=&&&a_{0}\end{matrix}}}$ 

Outros artigos

• Diferencial
• Integración
• Cálculo integral
• Lista de integrais