წარმოებული

ერთი ნამდვილი ცვლადის ${\displaystyle f}$ ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე ${\displaystyle x_{0}}$წერტილის მიდამოში არგუმენტის ${\displaystyle x-x_{0}}$ ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება ${\displaystyle f(x)-f(x_{0})}$. სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული ${\displaystyle x_{0}}$ წერტილის მიდამოში.

განსაზღვრება: ერთი ნამდვილი ცვლადის ${\displaystyle f:[a,\;b]\to R}$ ფუნქციის წარმოებული ${\displaystyle x_{0}\in ]a,\;b[}$ წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი ${\displaystyle f'(x_{0})}$ და

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$

თუ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ან ${\displaystyle x_{0}=b}$, მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს ${\displaystyle f'(a)}$ და ${\displaystyle f'(b)}$ ვუწოდებთ შესაბამისად მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულებს. თუ ${\displaystyle x_{0}}$ წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს ${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}\;\;{\text{დ ა}}\;\;\Delta f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})}$, მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს

${\displaystyle (1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\;\;{\text{ან}}\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}}.}$

წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია ${\displaystyle \varepsilon (x)={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})}$ აკმაყოფილებს ტოლობას ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}\varepsilon (x)=0}$. ამიტომ უტოლობიდან ${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq |f'(x_{0})(x-x_{0})|+|\varepsilon (x)(x-x_{0})|}$, გამომდინარეობს ${\displaystyle f}$ ფუნქციის უწყვეტობა ${\displaystyle x_{0}}$ წერტილში. ამდენად ${\displaystyle f'(x_{0})}$ წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს ${\displaystyle f}$ ფუნქციის უწყვეტობა ${\displaystyle x_{0}}$ წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას ${\displaystyle f(x)=|x|}$ არ გააჩნია წარმოებული ${\displaystyle f'(0)}$. მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული.

თუ ფუნქციას ${\displaystyle f:[a,\;b]\to R}$ ყოველ ${\displaystyle x_{0}\in [a,\,b]}$ წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ ${\displaystyle x_{0}\in [a,\,b]}$ რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს ${\displaystyle f'(x_{0})}$ აღვნიშნავთ სიმბოლოთი ${\displaystyle f'}$ და ვუწოდებთ ${\displaystyle f}$ ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი ${\displaystyle f}$ ფუნქციის წარმოებულ ${\displaystyle f'}$ ფუნქციას არ გააჩნია პირველი გვარის წყვეტები.

თუ ${\displaystyle f'}$ ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას ${\displaystyle f''}$, რომელსაც ეწოდება ${\displaystyle f}$ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული. ანალოგიურად ${\displaystyle f''}$ ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ ${\displaystyle f'''}$ -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ ${\displaystyle n-}$ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი ${\displaystyle f^{(n)}}$და

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(x_{0})=(f^{(n-1)}(x_{0}))'=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}}}\;\;\;\;(n\in N),}$

სადაც ${\displaystyle f^{(0)}:=f}$ . ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული ${\displaystyle f',f'',\cdots ,f^{(n)}}$, აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები ${\displaystyle {\frac {df}{dx}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},\cdots ,{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}}$ შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები ${\displaystyle {\dot {f}},{\ddot {f}}.}$ ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის ${\displaystyle x_{0}}$ წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები ${\textstyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}{\bigg \vert }_{x=x_{0}}\;\;{\text{ან}}\;\;\;\;{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x_{0})}$.

თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე გლუვს.

 

ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკის მხები წერტილში. ამისთვის ჯერ გავიხსენოთ მხების ლაიბნიცისეული განსაზღვრება, რომ მოცემული წირის ${\displaystyle A}$  წერტილში გავლებული მხები არის წრფე, რომელიც გადის ${\displaystyle A}$  და მასთან უსასრულოდ მიახლოვებულ ${\displaystyle B}$  წერტილებზე. მოყვანილი განსაზღვრება პირდაპირ გვკარნახობს როგორ უნდა ავაგოთ მოცემული წირის მოცემულ ${\displaystyle A}$  წერტილზე გამავალი მხები (ნახ.1). უწყვეტი ${\displaystyle f}$  ფუნქციის გრაფიკის ${\displaystyle A(x_{0},\;f(x_{0}))}$  წერტილში მხების ასაგებად, ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილის მცირე მიდამოში განვიხილოთ ნებისმიერი ${\displaystyle x_{1}:=x_{0}+\Delta x\;(\Delta x\not =0)}$  წერტილი და ${\displaystyle f}$  ფუნქციის გრაფიკზე ავიღოთ შესაბამისი ${\displaystyle B(x_{0}+\Delta x,\;f(x_{0}+\Delta x))}$  წერტლი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ ${\displaystyle A}$  და ${\displaystyle B}$  წერტილების შემაერთებელი წრფის (გრაფიკის ქორდის) განტოლება იქნება

${\displaystyle (2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell _{\text{ქორდ}}(x)={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}(x-x_{0})+f(x_{0})}$ .

 

ახლა თუ ${\displaystyle x_{1}}$  წერტილით მივუახლოვედებით ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილს, შესაბამისად ${\displaystyle B}$  წერტილიც მიუახლოვდება ${\displaystyle A}$  წერტილს და ${\displaystyle \ell _{\text{ქორდ}}}$  ქორდა გადაიქცევა მხებად თუ კი ასეთი არსებობს. ანუ ${\displaystyle \ell _{\text{მხებ}}}$ მხების განტოლების მისაღებად საჭიროა (2) ტოლობაში გადავიდეთ ზღვარზე ${\displaystyle x_{1}\to x_{0}\;(\Delta x\to 0)}$ , და თუ ეს ზღვარი არსებობს, (1) ტოლობის გათვალისწინებით მივიღებთ

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell _{\text{მხებ}}(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}$ .

უკანასკნელი ტოლობის თანახმად ფუნქციის წარმოებული წერტილში ყოფილა ამ წერტილში გავლებული მხების განტოლების ${\displaystyle k}$  კუთხური კოეფიციენტის ტოლი, რომელიც როგორც ცნობილია განისაზღვრება ტოლობიდან ${\displaystyle k=\tan \alpha }$ , სადაც ${\displaystyle \alpha }$  არის კუთხე მხებსა და ${\displaystyle OX}$  ღერძის დადებით მიმართულებას შორის (ნახ. 2), და ამიტომ სამართლიანია ტოლობა

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\tan \alpha }$ .

წამოებულის განსაზღვრების თანახმად თუ ${\displaystyle f'(x_{0})>0}$  მაშინ ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}>0}$  როდესაც ${\displaystyle x}$  საკმარისად ახლოსაა ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილთან, რაც ნიშნავს ${\displaystyle f}$  ფუნქციის მკაცრად ზრდადობას ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილში. ანალოგიურად თუ ${\displaystyle f'(x_{0})<0}$  მაშინ ფუნქცია ${\displaystyle f}$  მკაცრად კლებადია ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილში. თუ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0}$ , მაშინ ${\displaystyle f}$  ფუნქცია ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილში შეიძლება იყოს როგორც ზრდადი ისე კლებადი (როდესაც წარმოებული არ იცვლის ნიშანს ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილში, ასეთებია ვთქვათ ${\displaystyle x_{0}=0}$  წერტილში მკაცრად ზრდადი ${\displaystyle x^{3}}$  და მკაცრად კლებადი ${\displaystyle -x^{3}}$  ფუნქციები) ან სულაც შეიძლება გააჩნდეს ექსტრემუმი. კერძოდ ${\displaystyle f}$  ფუნქციას გააჩნია ლოკალური მაქსიმუმი (მინიმუმი) თუ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0}$  და ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილში წარმოებული ნიშანს იცვლის დადებითიდან უარყოფითზე (უარყოფითიდან დადებითზე).

აგრეთვე ადვილი საჩვენებელია, რომ თუ ${\displaystyle f''(x_{0})<0\;\;(f''(x_{0})>0)}$  მაშინ ${\displaystyle f}$  ფუნქცია ამოზნექილია (ჩაზნექილია) ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილის გარკვეულ მცირე მიდამოში.

თუ ${\displaystyle f''(x_{0})=0}$  და ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილში ${\displaystyle f''}$  იცვლის ნიშანს, მაშინ ${\displaystyle x_{0}}$  წერტილს ეწოდება ${\displaystyle f}$  ფუნქციის გადაღუნვის წერტილი.

ელემენტარული და მათი შებრუნებული ფუნქციების წარმოებულები მოიცემა შემდეგი ცხრილით:

1. ${\displaystyle c'=0}$  (მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულია); ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$  5. ${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\;\;\;(\sin x)'=\cos x}$ ;

2. ${\displaystyle (x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha -1}\;(\alpha \in R)}$ , კერძოდ ${\displaystyle x'=1}$ ; ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$  6. ${\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\;\;(x\not ={\frac {\pi }{2}}+\pi k),\;\;\;}$  ${\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\;\;(x\not =\pi k)}$ ;

3. ${\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a\;\;(a>0)}$ , კერძოდ ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$ ; ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$  7. ${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\;\;\;(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;\;x\in (-1,\;1)}$ ;

4. ${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}\;\;(a>1)}$ , კერძოდ ${\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}$ ; ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$  8. ${\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}},\;\;\;(\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$ .

თუ ${\displaystyle f}$  და ${\displaystyle g}$  წარმოებადი ფუნქციებია და ${\displaystyle \alpha \in R}$ , მაშინ გაწარმოების შემდეგი წესებია სამართლიანი: ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\alpha f)'=\alpha f',\;\;\;\;\;(f+g)'=f'+g',\;\;\;\;\;(fg)'=f'g+fg',\;\;\;\;\;{\Bigl (}{\frac {f}{g}}{\Bigr )}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\;\;(g\not =0),}$ 

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)={\frac {df(y)}{dy}}{\bigg \vert }_{y=g(x)}{\frac {dg(x)}{dx}},\;\;\;\;\;\;(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}.}$ 

ვთქვათ ${\displaystyle D\subset R^{n}}$  და ყოველ ${\displaystyle x=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in D}$  ვექტორს გარკვეული წესით შეესაბამება ერთადერთი ${\displaystyle y\in R}$ , ანუ მოცემული გვაქვს ${\displaystyle n}$  ცვლადის ${\displaystyle f:D\to R}$  ფუნქცია. ჩავთვალოთ რომ ${\displaystyle x_{i}\;(1\leq i\leq n)}$  ცვლადის გარდა ყველა სხვა ცვლადს მიენიჭა ფიქსირებული მნიშვნელობა, ანუ ${\displaystyle x_{1}=a_{1},\cdots ,x_{i-1}=a_{i-1},x_{i+1}=a_{i+1},\cdots ,x_{n}=a_{n}}$ , მაშინ ${\displaystyle g(x_{i}):=f(a_{1},\cdots ,a_{i-1},x_{i},a_{i},\cdots ,a_{n})}$  იქნება ერთი ${\displaystyle x_{i}}$  ცვლადის ფუნქცია. თუ ${\displaystyle g}$  ფუნქციას გააჩნია წარმოებული ${\displaystyle x_{i}=a_{i}}$  წერტილში, მაშინ რიცხვს ${\displaystyle g'(a_{i})}$  ვუწოდებთ ${\displaystyle f}$  ფუნქციის კეძო წარმოებულს ${\displaystyle x_{i}}$  ცვლადით ${\displaystyle a:=(a_{1},\cdots ,a_{i-1},a_{i},a_{i},\cdots ,a_{n})}$  წერტილში და აღვნიშნავთ სიმბოლოთი ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})}$ , ანუ

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\cdots a_{n})-f(a_{1},\cdots ,a_{n})}{h}}}$ .

თუ ყოველ ${\displaystyle (a_{1},\cdots ,a_{n})\in D}$  წერტილს შეესაბამება რიცხვი ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})}$ , მივიღებთ ${\displaystyle n}$  ცვლადის ფუნქციას, რომელსაც ეწოდება ${\displaystyle f}$  ფუნქციის კეძო წარმოებული ${\displaystyle x_{i}}$  ცვლადით და აღინიშნება სიმბოლოთი ${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}}$ , ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ , ან თუ ეს არ იწვევს გაუგებრობას ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ .

 

განვიხილოთ ვექტორი ${\displaystyle v:=(v_{1},\cdots ,v_{n})}$ . ადვილი დასანახია, რომ თუ ${\displaystyle h\to 0}$  ${\displaystyle (h\in R)}$ , მაშინ ვექტორი ${\displaystyle x:=a+vh}$ , უახლოვდება ${\displaystyle a:=(a_{1},\cdots ,a_{n})}$  ვექტორს ${\displaystyle v}$  ვექტორის მიმართულებით, რადგან ${\displaystyle x-a=vh}$  და ${\displaystyle v}$  ვექტორები კოლინეარულია (ეს განსაკუთრებით თვალნათელია თუ n=2 (იხ. ნახ. 3)) . ნათქვამიდან ცხადია რატომ ეწოდება რიცხვს

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{v}f(a):=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(a+vh)-f(a)}{h}}}$ ,

${\displaystyle f}$  ფუნქციის წარმოებული ${\displaystyle a}$  წერტილში ${\displaystyle v}$  მიმართულებით. ადვილი დასამტკიცებელია მიმართული წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულა

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{v}f(x)=(\triangledown f\cdot v)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{i}}}v_{i}}$ ,

სადაც ${\displaystyle (\quad \cdot \quad )}$  არის სკალარული ნამრავლი და ${\displaystyle \triangledown f={\Bigl (}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{n}}}{\Bigr )}}$  ანუ ${\displaystyle f}$  ფუნქციის გრადიენტია.

ვთქვათ ${\displaystyle C}$  არის კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, ${\displaystyle D\subset C}$  არის არე, ${\displaystyle z_{0}\in D}$  და განსაზღვრული გვაქვს კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია ${\displaystyle f:D\to C.}$  მაშინ

${\displaystyle (3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(z_{0})=\lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$ 

მნიშვნელოვანია იმის გათვალისწინება, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრების თანახმად (3) ტოლობაში მონაწილე ზღვარი არსებობს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ზღვრის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია ${\displaystyle z}$ -ის ${\displaystyle z_{0}}$  რიცხვისკენ მისწრაფების გზისაგან. უკანასკნელი პირობა საკმარისად მძიმე შეზღუდვაა და განაპირობებს იმას, რომ კომპლექსური ცვლადის ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$  ფუნქციას სადაც ${\displaystyle z=x+iy}$ , გააჩნია წარმოებული ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$  წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ${\displaystyle u}$  და ${\displaystyle v}$  ფუნქციები დიფერენცირებადია ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  წერტილში და ამ წერტილში სრულდება ე.წ. კოში-რიმანის პირობები (ხშირად დალამბერ-ეილერის პირობებადაც მოიხსენიებენ)

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial x}}={\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial y}},\;\;\;{\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=-{\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial x}}}$ .

თუ კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია წარმოებადია ${\displaystyle D}$  არეში, ამბობენ რომ ის ანალიზური ფუნქციაა ამ არეში. აღმოჩნდა რომ თუ ფუნქცია ანალიზურია, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებულები, კერძოდ სამართლიანია შემდეგი თეორემა

კოშის თეორემა (1842 წ.) თუ ${\displaystyle f}$  ფუნქცია ანალიზურია ${\displaystyle D}$  არეში და უწყვეტია ${\displaystyle {\overline {D}}}$  (${\displaystyle D}$ -ს ჩაკეტვა) სიმრავლეზე, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებული ამ არეში და სამართლიანია ინტეგრალური წარმოდგენა

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma _{D}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi \;\;\;(z\in D),}$ 

სადაც ${\displaystyle \gamma _{D}}$  არის ${\displaystyle D}$  არის საზღვარი.