Türev: Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

 

Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{a+h-a}}}$  =
${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ 

 

limiti olarak tanımlanır. Bu limit eğer var ise, yani bir reel sayıysa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir denir. Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda, f'ye a noktasında türevlenemez denir. Bu limitin temsil ettiği oran yukarıdaki grafikte gösterilmiştir. Limiti alınan oran, yani ${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$  oranı, Newtonsal oran olarak adlandırılır.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y = f(a) eğrisine (a, f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada :${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$  ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.

${\displaystyle a}$  noktasında türevlenebilen bir fonksiyon, ${\displaystyle a}$  civarında sürekli olmak zorundadır. Fakat bunun tersi doğru değildir. Başka bir ifadeyle ${\displaystyle a}$  civarında sürekli olan fakat türevlenemeyen fonksiyon bulmak mümkündür. Örnek olarak Weierstrass fonksiyonu reel sayılar kümesinin her noktasında sürekli olmasına karşın hiçbir noktasında türevlenebilir değildir.

Yukarıdaki limit a civarında doğrudur. Başka bir deyişle h sayısı 0 civarında 0'a yaklaştıkça a + h sayısı a civarında a'ya yaklaşır. Bu sebepten dolayı eğer uç noktalarda türev alınacaksa, limit sembolü soldan limit veya sağdan limit olarak yazılmalıdır. Analiz kitapları, genellikle sürekli fonksiyonları kapalı aralıklarda, türevlenebilir fonksiyonları ise açık aralıklarda tanımladıklarından sol ve sağ limit tanımlamazlar.

Türevin birinci tanımını örnekleyerek bir ikinci tanım daha yapılabilir.

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$  ifadesinin mantığında {h} sonsuz küçüğünü ekleme işlemi yapılmıştır. Genelleştirilmiş şekliyle sonsuz küçük artırımı yerine sonsuz küçük katının artırımı da yapılabilir.

Bir f(x) fonksiyonunu q türevi

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}}$ 

sıklıkla ${\displaystyle D_{q}f(x)}$  şeklinde yazılır, q-türev Jackson türevi olarak bilinir.

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 1}{\frac {f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}}}$ 

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ = ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 1}{\frac {f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}}}$ 

ayrıca;

${\displaystyle {\frac {df(a)}{da}}=f'(a)}$ = ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 1}{\frac {f(a\,h)-f(a)}{a\,(h-1)}}}$  elde edilebilir.

Eğer f bir Rⁿ üzerinde gerçek değerli fonksiyon ise koordinat eksenlerinin yönü içinde f in kısmî türevi içinde çeşitli ölçmeler ise (mesela f bir x ve y fonksiyonunun x yönü ve y yönü içinde f 'nin kısmî türevinde çeşitli ölçmeler ise) buna yönlü türev denir.

Bununla birlikte köşegen çizgi y = x boyunca gibi herhangi diğer yön içinde f in yönlü ölçü çeşitleri yoktur.

Burada yönlü türev ölçüsü kullanılıyor.

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$ 

bir vektörse vnin yönü içinde fin yönlü türevinin x noktasında sınırıdır.

${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$ 

Bâzı durumlarda bu vektörün uzunluğunu değiştirme sonrası yön türevi hesaplamak veya tahmin etmek daha kolay olabilir. Genellikle bu bir birim vektör yönünde bir yönde türevinin hesaplanması içinde sorunu açmak için yapılır. Bunun nasıl çalıştığını görmek için bunu v = λu varsayalım.h = k/λ fark katsayısı içinde yerine konur.Aradaki fark katsayısı:

${\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}$ 

Bu u sırasıyla fin yönlü türevi için λ zaman içinde farklı katsayısıdır. Dahası sıfıra yönelen k olarak alınan limit olarak aynı h ve k için herhangi diğerinin çarpımıdır. Bunun için D_v(f) = λD_u(f). Bu nedenle yeniden ölçeklendirme özelliği, yönlü türevler sık sık sadece birim vektörler için kabul edilir.

Eğer f'in tüm kısmî türevleri var ve x'de sürekli ve formülü ile v yönünde f içinde belirlenen yönlü türev ise

${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$ 

Bu toplam türevin tanımının bir sonucudur. Bu yönlü türev, aşağıda v içinde doğrusaldır. Bu da

D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f).

demektir. Aynı tanım, ayrıca f olduğunda R^m içindeki değerleri ile bir fonksiyondur. Yukardaki tanım, vektörlerin her bir bileşeni için uygulanır. Bu durum içinde yönlü türev R^m içinde bir vektördür.

 

${\displaystyle f(x)}$  tek terimli olduğunu varsayalım

${\displaystyle f(x)=x^{k}\;}$ .

Burada kullanılan türev

${\displaystyle f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\;.}$ 

tekrarlanarak şu sonuca ulaşılır:

${\displaystyle {d^{a} \over dx^{a}}x^{k}={k! \over (k-a)!}x^{k-a}\;,}$ 

faktöriyel yerine Gama fonksiyonu alınırsa

${\displaystyle {d^{a} \over dx^{a}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-a+1)}x^{k-a}\;.}$ 

x'in yarı türevi

${\displaystyle {d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)}x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}.}$ 

Bu durumu tekrarlarsak

${\displaystyle {d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{{1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x^{0}={1 \over \Gamma (1)}=1\;,}$ 

Gerçekten burada beklenen sonuç aynıdır.

${\displaystyle \left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}\right)x={d \over dx}x=1\,}$ 

Buradaki türev alma işlemi sadece reel sayılarla sınırlı değildir. Mesela (1 + i)inci türev, (1 - i)inci türev iki türevlidir. Ancak negatif değerler için alınan a, integrali verir.

Laplace dönüşümü

Laplace dönüşümünün ifadesi

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)}$ 

ve

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{Jf\right\})(s)={\frac {1}{s^{2}}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)}$ 

v.s. Beklentimiz

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }({\mathcal {L}}\{f\})(s)\right\}}$ .

Mesela

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}J^{\alpha }\left(t^{k}\right)&=&{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\dfrac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}\\&=&{\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}\end{array}}}$ 

beklentisi doğrudur. Gerçekten verilen konvolüsyon kök ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}=({\mathcal {L}}\{f\})({\mathcal {L}}\{g\})}$  (ve kısaca ${\displaystyle p(x)=x^{\alpha -1}}$  doğrulama için) bulunur

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(J^{\alpha }f)(t)&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left({\mathcal {L}}\{p\}\right)({\mathcal {L}}\{f\})\right\}\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{array}}}$ 

Cauchy serisini verir. Laplace transformu bâzı fonksiyonların kullanılabilmesi ile ilişkilidir. Sıklıkla kesirli diferansiyel denklemler çözümünde kullanılır.

Kısmî türev, çok değişkenli bir fonksiyonun sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmî diferansiyel denklem denir.

Kısmî türevin tanımı

${\displaystyle z:{{\mathbb {R} }^{n}}\times {{\mathbb {R} }^{n}}\to \mathbb {R} }$ 

${\displaystyle z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}$ 

şeklinde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki ${\displaystyle \Delta {{x}_{m}}}$  değişimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

${\displaystyle {\frac {\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}}={\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}}}$ 

${\displaystyle \Delta {{x}_{m}}=h}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}}}$ 

ifadesine ${\displaystyle z}$  fonksiyonunun ${\displaystyle {{x}_{m}}}$  değişkenine göre kısmî türevi denir.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {{x}_{m}}}}={{f}_{{x}_{m}}}={{D}_{{x}_{m}}}f={\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={{z}_{{x}_{m}}}}$ 

şeklinde gösterilir.

${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$  ise;

${\displaystyle {{f}_{x}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}$ 

${\displaystyle {{f}_{y}}\left(x,y\right)={\underset {k\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x,y+k\right)-f\left(x,y\right)}{k}}}$ 

Örnek:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}{y}-{{y}^{3}}\\&{{f}_{x}}={{\left({{x}^{3}}\right)}_{x}}+{{\left({{x}^{2}}y\right)}_{x}}-{{\left({{y}^{3}}\right)}_{x}}\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy\\\end{aligned}}}$ 

Ayrıca q türevinin tanımına uygun olarak kısmî türev içinde kesirli kısmî türev tanımı yapılabilir.

Fonksiyonlar, en genel biçimde cebirsel, trigonometrik üstel veya logaritmik olarak üçe ayrılırlar. Bu ayrımın kombinasyonları da olabilir. Her üç genel şeklin türev alma biçimleri farklılık gösterir. Ama türevin tanımının mantığı değişmez, yani türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f' sembolüyle gösterilir. Ayrıca

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)}$ 

formülü, f'nin türevlenebildiği her ${\displaystyle x}$ 'te bu durumu ifade etmek için kullanılır. Burada f' bir fonksiyon olduğundan f' 'nün tanım kümesi, f'nin türevlenebildiği noktaların kümesidir.

Türevlenebilir fonksiyonlar ve türevleri

Cebirsel

• Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$  fonksiyonu,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$ 

Bu eşitlik Binom Teoremi'nin bir sonucudur. (Bu formül yalnızca reel sayılarda kullanılır!)

Trigonometrik

• sin(x) ve cos(x) trigonometrik fonksiyonları,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$ 

Üstel veya logaritmik

• ${\displaystyle e^{x}}$  üstel fonksiyonu,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ 

• ${\displaystyle x^{x}}$  logaritmik fonksiyonu,

${\displaystyle y=x^{x}}$ 
${\displaystyle y'=x^{x}.(lnx+1)}$ 

Türevlenemeyen fonksiyonlar

• Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {|0+h|-|0|}{h}}}$ 

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$  fonksiyonu da 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt[{3}]{0+h}}-{\sqrt[{3}]{0}}}{h}}}$ 

limitinin ${\displaystyle \infty }$ , yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$  fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

• (f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a),
• (f × g)'(a) = f'(a) × g(a) + g'(a) × f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),
• (f o g)'(a) = f'(g(a)) × g'(a) (Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı olarak bilinir).
• (f / g)'(a) = [f'(a) × g(a) - g'(a) × f(a)] / g²(a) (Fark Kuralı).

• Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f' , f fonksiyonunun türeviyse ve de f", f' fonksiyonunun türeviyse o zaman f" fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.
• Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f kompleks sayılar veya p-sel sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (kompleks sayılar kümesi gibi) alıyor olabilir.
• Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür. Ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu, kısmî türev maddesinde bulunur.

• f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.
• Hesabın temel teoremi'ne göre türev almakla integral almak, birbirlerinin tersi olan iki operasyondur.
• Taylor açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların değerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.
• Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumuşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin diferansiyel denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.
• Matematiğin diferansiyel geometri ve diferansiyel topoloji alanları öncelikle türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla tarif edilebilen geometrik yapılarla ilgilenirler.

• Çarpım fonksiyonunun türevi:

${\displaystyle y=f(x).g(x)\!}$  olsun

${\displaystyle y'=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!}$ 'dir

İspat:

${\displaystyle y=f(x).g(x)\!}$ 

${\displaystyle lny=ln[f(x).g(x)]\!}$ 

${\displaystyle lny=lnf(x)+lng(x)\!}$ 

${\displaystyle dlny=d[lnf(x)+lng(x)]\!}$ 

${\displaystyle dlny=dlnf(x)+dlng(x)\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {df(x)}{f(x)}}+{\frac {dg(x)}{g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'dx}{f(x)}}+{\frac {g(x)'dx}{g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{f(x).g(x)}}={\frac {f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle dy=f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx\!}$ 

${\displaystyle dy=dx[f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)]\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!}$ 

${\displaystyle y'=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!}$ 

• Bölüm fonksiyonunun türevi:

${\displaystyle y={\frac {f(x)}{g(x)}}\!}$  olsun

${\displaystyle y'={\frac {f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^{2}}}\!}$ 'dir

İspat:

${\displaystyle y={\frac {f(x)}{g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle lny=ln{\frac {f(x)}{g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle lny=lnf(x)-lng(x)\!}$ 

${\displaystyle dlny=d[lnf(x)-lng(x)]\!}$ 

${\displaystyle dlny=dlnf(x)-dlng(x)\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {df(x)}{f(x)}}-{\frac {dg(x)}{g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'dx}{f(x)}}-{\frac {g(x)'dx}{g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{\frac {f(x)}{g(x)}}}={\frac {f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle dy={\frac {[f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx]}{f(x).g(x)}}.{\frac {f(x)}{g(x)}}\!}$ 

${\displaystyle dy={\frac {f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{g(x)^{2}}}\!}$ 

${\displaystyle dy={\frac {dx[f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)]}{g(x)^{2}}}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^{2}}}\!}$ 

${\displaystyle y'={\frac {f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^{2}}}\!}$