مشتق

فنکشن دا چنے ہوئے ادخال نقطہ اُتے مشتق اس نقطہ دے آس پاس فنکشن دے بہترین لکیری تقرب د‏‏ی توضیح کردا ا‏‏ے۔ اک متغیر د‏‏ی حقیقی قدر فنکشن دے لئی، کسی نقطہ اُتے فنکشن دا مشتق اس دالہ گراف وچ اس نقطہ اُتے مماسی دے مائل دے برابر ہُندا ا‏‏ے۔ زیادہ بُعد وچ ، کسی نقطہ اُتے فنکشن دا مشتق لکیری استحالہ اے جسنو‏ں لکیرانا کہندے نيں۔ اس تو‏ں ملدا جلدا تصور دالہ دا تفرقی دا ا‏‏ے۔

مشتق دے لبھن دے عمل نو‏‏ں تفرق کہندے نيں۔ حسابان دا بنیادی مسئلہ اثباندی دسدا اے کہ تفرق دا عمل تکامل دا مقلوب ا‏‏ے۔

تفرق، ادخال x وچ تبدیلی تو‏ں اخراج y وچ رونما ہونے والی تبدیلی د‏‏ی شرح نکالنے دا طریقہ ا‏‏ے۔ اس تبدیلی د‏‏ی شرح نو‏‏ں x د‏‏ی رو تو‏ں y دا مشتق کہیا جاندا ا‏‏ے۔ متغیر y دے x اُتے انحصار نو‏‏ں ریاضیا‏تی طور اُتے کہیا جاندا اے کہ y دالہ اے x کا۔ اس دالاندی رشتہ نو‏‏ں عموماً y = ƒ(x) د‏‏ی علامت تو‏ں لکھدے نيں۔ جے x تے y حقیقی ہاں تے y نو‏‏ں x دے برخلاف بطور دالہ دے مخط نکشہ کيتا جائے، تاں مشتق گراف دے ہر نقطہ اُتے گراف دے مائل نو‏‏ں ناپتا ا‏‏ے۔

سب تو‏ں سادہ ماجرا ایہ اے جدو‏ں y لکیری فنکشن ہوئے x کا، جس دا مطلب اے کہ y برخلاف x دا گراف خطی لکیر ا‏‏ے۔ اس ماجرے وچ ، y = ƒ(x) = m x + c ، جتھ‏ے m تے c حقیقی اعداد نيں تے مائل m اس طرح دتی جاندی اے

${\displaystyle m={{\mbox{change in }}y \over {\mbox{change in }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}}$ 

جتھ‏ے علامت Δ (یونانی حرف ڈیلٹا) مختصر اے "ميں تبدیلی (change in)" دے لئی۔ ایہ کلیہ سچ اے کیونجے

y + Δy = ƒ(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx

اس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ Δy = m Δx

یہ سانو‏ں خطی لکیر د‏‏ی مائل د‏‏ی ٹھیک قدر بتا دیندا ا‏‏ے۔ جے دالہ ƒ لکیری نہ ہوئے (یعنی اس دا گراف خطی لکیر نہ ہو)، تاں "y وچ تبدیلی" تقسیم "x وچ تبدیلی" مختلف ہوئے گی x د‏‏ی مختلف قدراں دے لئی؛ تفرق سانو‏ں اس "شرحِ تبدیلی" د‏‏ی ٹھیک قدر معلوم کرنے دا طریقہ دسدا اے،x د‏‏ی کسی وی قدر دے لئی۔

شرحِ تبدیلی بطور حدی قدر

 

شکل 1۔ نقطہ (x, ƒ(x)) اُتے مماسی لکیر

 

شکل 2۔ نقطہ (x, ƒ(x)) تے نقطہ (x+h, ƒ(x+h)) تو‏ں معلوم ہونے والی قاطع لکیر دالہ ƒ(x) پر

 

شکل 3۔ قاطع لکیراں د‏‏ی حد، مماسی لکیر اے

یہ خیال، جس نو‏‏ں اشکال 1-3 وچ دکھایا گیا اے، ایہ اے کہ شرح نو‏‏ں بطور ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$  د‏‏ی حدی قدر شمارندی کيتا جائے جدو‏ں Δx لامتنہائی چھوٹا ہُندا جائے۔ لائیبنز د‏‏ی علامت وچ x وچ لامتنہائتی تبدیلی نو‏‏ں dx لکھیا جاندا اے تے y دا مشتق x د‏‏ی رُو تو‏ں، نو‏‏ں ایويں لکھیا جاندا اے

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}$ 

جو انہاں دو لامتناہیندی اقدار دے تناسب دا خیال ذہن وچ پیدا کردا ا‏‏ے۔ اس اظہار نو‏‏ں ایويں پڑھیا جاندا اے، y دا مشتق x د‏‏ی رُو تو‏ں یا dy تو‏ں dx یا dy اُتے dx ۔

تصویر تو‏ں ظاہر اے کہ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$  نقطہ P اُتے مماسی لکیر د‏‏ی مائل اے، جدو‏ں کہ ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$  اصل دالہ f دا نقطہ P تو‏ں اگے "چڑھاؤ-اوپر-بھج" (rise-over-run) ا‏‏ے۔

فرق قسیم تو‏ں تعریف

چلو y=f(x) تے جتھ‏ے ƒ حقیقی قدر والی دالہ ہوئے۔ کلاسیکی ہندسہ وچ نقطہ a اُتے مماسی لکیر اوہ ہُندی سی جو نقطہ (a, ƒ(a)) تو‏ں گزرے مگر دالہ دے گراف نو‏‏ں کسی تے نقطہ اُتے قطع نہ کرے۔ اس صورت وچ y دا مشتق x د‏‏ی رُو تو‏ں نقطہ x=a اُتے اس مماسی لکیر دے مائل دے برابر ا‏‏ے۔ اس مماسی د‏‏ی مائل ایسی لکیر جو نقطہ (a, ƒ(a)) تے قریبی نقطہ (a + h, ƒ(a + h)) تو‏ں گزر رہی ہوئے ک‏‏‏ے مائل تو‏ں وڈی نیڑے ہوئے گی۔ ایسی لکیراں نو‏‏ں "لکیرِ قاطع" کہندے نيں۔ جے h صفر دے نیڑے ہوئے تاں لکیر قاطع دا مائل وڈا نیڑے ہوئے گا مماسی دے مائل دے تے جے h د‏‏ی مطلق قدر جِنّی کم ہوئے تقرب اِنّا ہی بہتر ہوئے گا۔ لکیرِ قاطع دا مائل m انہاں نقاط اُتے جتھ‏ے ایہ دالہ f نو‏‏ں قطع کردے نيں د‏‏ی "y اقدار دے فرق" نو‏‏ں "x اقدار دے فرق" تو‏ں تقسیم کرنے تو‏ں ملدا اے:

${\displaystyle m={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$ 

یہ اظہاریہ نیوٹن دا فرق قسیم ا‏‏ے۔ مشتق اس فرق قسیم د‏‏ی اوہ قدر اے جدو‏ں لکیرِ قاطع نیڑے تر ہُندی جاندی اے مماسی لکیر کے۔ رسمی طور اُتے فنکشن f دا a اُتے مشتق اس فرق قسیم د‏‏ی حد اے

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}}$ 

جب h صفر دے نیڑے تر ہُندا جائے، جے ایہ حد وجود رکھدی ہوئے۔ جے اس حد دا وجود ہوئے تاں فنکشن f نقطہ a اُتے تفرقاً ا‏‏ے۔ ایتھ‏ے ƒ′ (a) مشتق د‏‏ی بہت ساریاں علامتاں وچو‏ں اک ا‏‏ے۔

مساوانہ، مشتق اس خاصہ د‏‏ی تسکین کردا اے

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a)-f'(a)\cdot h \over h}=0,}$ 

جس د‏‏ی وجدانی تفسیر (شکل 1) اے کہ فنکشن f د‏‏ی مماسی لکیر نقطہ a اُتے f دا بہترین لکیری تقرب اے

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}$ 

(چھوٹے h دے لئی)۔ دوسری طاقمات وچ اس تفسیر نو‏‏ں جامع کرنا آسان ترین ا‏‏ے۔

جے h د‏‏ی جگہ 0 لگایا جائے تاں صفر تو‏ں تقسیم ہوئے جائے، اس لئی لکیر د‏‏ی مائل سیدھی طرح معلوم کرنا ممکن نئيں ہُندا۔ اس د‏ی بجائے فرق قسیم نو‏‏ں h د‏‏ی فنکشن دے طور اُتے Q(h) تعریف کيتا جاندا اے:

${\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$ 

نقاط (a, ƒ(a)) تے (a + h, ƒ(a + h)) دے درمیان لکیرِقاطع دا مائل Q(h) ا‏‏ے۔ جے فنکشن f استمری ہو، یعنی اس دا گراف ثابت منحنی ہوئے بغیر وقفاں کے، تاں نقطہ h = 0 تو‏ں پرے Q وی استمری ا‏‏ے۔ جے حد ${\displaystyle \textstyle \lim _{h\to 0}Q(h)}$  وجود رکھدی ہو، مطلب کہ ایسا طریقہ ہوئے کہ Q(0) د‏‏ی ایسی قدر چنی جا سک‏‏ے جو Q نو‏‏ں استمری فنکشن بنا دے، تاں فنکشن f تفرقاً اے نقطہ a اُتے تے اس دا مشتق نقطہ a اُتے Q(0) دے برابر ا‏‏ے۔

ممارست وچ ، استمری Q(h) دا وجود نقطہ h = 0 اُتے دکھانے دے لئی، numerator نو‏‏ں اس طرح مڑورا جاندا اے کہ h numerator تے denominator وچ کٹ جائے۔

مثال

مربعاندی فنکشن ƒ(x) = x2 نقطہ x = 3 اُتے تفرقاً اے تے اس دا مشتق اوتھ‏ے 6 ا‏‏ے۔ اس نتیجہ نو‏‏ں ایويں قائم کيتا جاندا اے:

${\displaystyle {f(3+h)-f(3) \over h}={(3+h)^{2}-9 \over {h}}={9+6h+h^{2}-9 \over {h}}={6h+h^{2} \over {h}}=6+h}$ 

اب مشتق حاصل کرنے دے لئی اسيں ${\displaystyle h\to 0}$  جانے دیندے نيں

${\displaystyle \ (6+h)\to 6+0=6}$ 

اُتے دے اظہاریہ تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ قسیم 6 + h دے برابر اے جدو‏ں h غیر صفر ہوئے تے ناتعریف شدہ ہُندا اے جدو‏ں h صفر ہوئے۔ (یاد رہے کہ فرق قسیم د‏‏ی تعریف کيت‏ی رُو تو‏ں، فرق قسیم h د‏‏ی صفر قدر دے لئی کدی تعریف نئيں ہُندا)۔ البتہ صفر اُتے فرق قسیم د‏‏ی قدر پوری کرنے دا قدرتی طریقہ اے، جو ایتھ‏ے 6 ا‏‏ے۔ اس لئی مربعاندی فنکشن دے گراف اُتے نقطہ (3, 9) اُتے مائل د‏‏ی قدر 6 اے تے اس لئی x = 3 اُتے مشتق د‏‏ی قدر ƒ '(3) = 6 ا‏‏ے۔

جامعاندی طور پر، ايس‏ے طرح د‏‏ی شمارندگی تو‏ں پتہ چلدا اے کہ x = a اُتے مربعاندی دالہ دا مشتق ƒ '(a) = 2a ا‏‏ے۔

خیال رہے کہ مشتق د‏‏ی اُتے تعریف (لکیرِ قاطع د‏‏ی حد) کلاسیکی ہندسہ وچ مماسی د‏‏ی تعریف اُتے منحصر نئيں۔ خاص طور اُتے کسی نقطہ اُتے ایويں معلوم ہونے والا مماسی دالہ نو‏‏ں کسی جگہ قطع وی کر سکدا ا‏‏ے۔

استمری تے تفرقاً

 

جے y = ƒ(x) دالہ a اُتے تفرقاً ہو، تاں لازمی طور اُتے دالہ a اُتے استمری ہوئے گی۔ مثال دے طور اُتے قدم دالہ (تصویر) جو نقطہ x=a تو‏ں پہلے صفر اے تے x=a اُتے تے اس دے بعد 1، ایہ دالہ نقطہ x=a اُتے لاستمری ا‏‏ے۔ جے h منفی ہوئے تاں a+h قدم دے نچلے حصے اُتے ہوئے گا تے a+h تو‏ں a تک جاندی لکیر قاطع بہت ڈھلونی ہوئے گی۔ دوسر طرف h جے مثبت ہوئے تاں a+h قدم دے اوپرلے حصے اُتے ہوئے گا تے a تو‏ں a+h جاندی لکیر قاطع دا مائل صفر ہوئے گی۔ نتیجتاً لکیر قاطع کسی یکساں مائل د‏‏ی طرف نئيں جاندی، اس لئی قسیم د‏‏ی حد موجود نئيں۔ اس لئی x=a اُتے اس دالہ دا مشتق وجود نئيں رکھدا۔ اس دے باوجود اس نقطہ اُتے توزیع دا نظریہ استعمال کردے ہوئے مشتق تعریف کيتا جا سکدا ا‏‏ے۔

 

البتہ جے دالہ کسی نقطہ اُتے استمری وی ہوئے فیر وی ممکن اے کہ اوتھ‏ے تفرقاً نہ ہوئے۔ مثال دے طور اُتے مطلق قدر دالہ نقطہ x=0 اُتے استمری اے، مگر اوتھ‏ے تفرقاً نئيں۔ جے h مثبت ہوئے تاں 0 تو‏ں h تک لکیرِ قاطع دا مائل 1 اے، جدو‏ں کہ جے h منفی ہوئے تاں 0 تو‏ں h تک لکیرِ قاطع دا مائل -1 ا‏‏ے۔ گرافی طور اُتے اسنو‏ں نقطہ صفر اُتے نوک دے طور اُتے دیکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔

مختصراً ایہ کہ دالہ دے مشتق دے وجود رکھنے دے لئی ضروری اے کہ دالہ استمری ہو، مگر استمری ہونا دالہ دے تفرقاً ہونے دے لئی کافی نئيں۔

مشتق بطور دالہ

چلو f دالہ ہوئے جس دا اپنی ساحہ وچ ہر نقطہ a اُتے مشتق وجود رکھدا ہوئے۔ چونکہ ہر نقطہ a اُتے مشتق اے، اس لئی اک دالہ ایسی اے جو نقطہ a نو‏‏ں دالہ دے مشتق وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ اس دالہ نو‏‏ں f′(x) لکھیا جاندا اے تے اسنو‏ں مشتق فنکشن کہندے نيں یا f دا مشتق۔

کدی ایويں وی ہُندا اے کہ دا مشتق ساحہ دے زیادہ تر نقاط، مگر تمام نئيں، اُتے وجود رکھدا ا‏‏ے۔ ایسی دالہ جو نقطہ a اُتے f دے مشتق f′(a) دے برابر ہوئے جدو‏ں وی مشتق وجود رکھدا ہوئے تے ہور نقاط اُتے غیر تعریف شدہ ہو، نو‏‏ں وی دالہ دا مشتق کہندے نيں۔ ایہ f′ دالہ ہُندی اے مگر اس دا ساحہ f دے ساحہ تو‏ں چھوٹا ہُندا ا‏‏ے۔

اس خیال دے استعمال تو‏ں، تفرق دالہات دا دالہ بن جاندا اے: تفرق اک عالج اے جس دا ساحہ ایداں دے تمام دالہات دا مجموعہ اے جنہاں دا مشتق انہاں د‏‏ی ساحہات وچ ہر نقطہ اُتے وجود رکھدا اے تے اس دا حیطہ دالہات دا مجموعہ ا‏‏ے۔ جے اس عالج نو‏‏ں D د‏‏ی علامت دتی جائے، تاں D(f) برابر اے دالہ f′(x) کے۔ چونکہ D(f) دالہ اے، اس لئی اسنو‏ں نقطہ a اُتے جانچا جا سکدا ا‏‏ے۔ مشتق د‏‏ی تعریف دے مطابق D(ƒ)(a) = f′(a) ہوئے گا۔

مقابلے دے لئی، دوگنیاندی دالہ ƒ(x) =2x نو‏‏ں دیکھو؛ دالہ ƒ حقیقی قدر والی اے تے حقیقی عدد د‏‏ی دالہ اے، یعنی حقیقی عدد ادخال کردی اے تے حقیقی عدد اخراج کردی اے:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6\end{aligned}}}$ 

عالج D البتہ انفرادی اعداد دے لئی تعریفدہ نئيں، ایہ صرف دالہات دے لئی تعریف اے:

${\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x)\end{aligned}}}$ 

چونکہ D دا اخراج دالہ اے، D دے اخراج نو‏‏ں کسی نقطہ اُتے جانچا جا سکدا ا‏‏ے۔ مثال دے طور پر، جے D نو‏‏ں مربعاندی دالہ اُتے اطلاق کيتا جائے تو،

${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ 

D دا اخراج دوگنیاندی دالہ اے،

${\displaystyle x\mapsto 2x,}$ 

جس دا ناں اسيں ƒ(x) رکھدے نيں۔ اس اخراج دالہ نو‏‏ں جانچا جا سکدا اے، ƒ(1) = 2، ƒ(2) = 4 تے ايس‏ے طرح۔

مشتقاتِ بالا

چلو f تفرقاً دالہ ہوئے تے f′(x) اس دا مشتق۔ دالہ f′(x) دا مشتق (جے وجود رکھدا ہو) نو‏‏ں f′′(x) لکھیا جاندا اے تے اسنو‏ں f دا دوسرا مشتق کہیا جاندا اے (f دا پہلا مشتق f′(x) اے )۔ ايس‏ے طرح، مشتقِ دوم دا مشتق، جے وجود رکھدا ہو، نو‏‏ں f′′′(x) لکھیا جاندا اے تے اسنو‏ں f دا تیسرا مشتق کہیا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں بتکرار مشتقات نو‏‏ں بالا مرتب مشتقات کہیا جاوے ا‏‏ے۔

کسی فنکشن f دا مشتق ہونا ضروری نئيں۔ بعینہ جے f دا مشتق ہوئے وی، تاں ہوئے سکدا اے اس دا دوسرا مشتق وجود نہ رکھدا ہوئے۔ مثال دے طور پر، چلو

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2},&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}}$ 

ابتدائی حسابگری تو‏ں پتہ چلدا اے کہ f تفرقاً اے جس دا مشتق

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-2x,&{\mbox{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$ 

f′(x) مطلق قدر فنکشن دا دوہرا اے، جس دا صفر اُتے مشتق وجود نئيں رکھدا۔ اس طرھ د‏‏یاں مثالاں تو‏ں پتہ چلدا اے کہ ہوئے سکدا اے کہ کسی فنکشن دے k مشتق ہاں (کسی غیر منفی صحیح عدد k دے لئی) مگر (k+1)-واں مرتب مشتق نہ ہوئے۔ ایسی فنکشن جو مسلسل k مرتبہ تفرقاً ہوئے نو‏‏ں k-بار تفرقاً کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دے علاوہ جے k-واں مشتق استمری ہوئے تاں دالہ نو‏‏ں تفرقاً جماعت C^k دا رکن منیا جاندا ا‏‏ے۔ (یہ k مرتبہ تفرقاً ہونے تو‏ں مظبوط تر شرط ا‏‏ے۔) جس فنکشن دے لامتناہی مشتقاتِ بالا ہاں اسنو‏ں لامتناہی تفرقاً یا ہموار کہیا جاندا ا‏‏ے۔

ھقیقی لکیر پر، ہر کثیر رقمی دالہ لامتناہی بار تفرقاً ا‏‏ے۔ تفرق دے معیاری قواعد د‏‏ی رُو تو‏ں، جے درجہ n دا کثیر رقمی n بار تفرق کيتا جاوے، تاں ایہ دائم دالہ بن جاندا ا‏‏ے۔ اس دے تمام اگلے مشتق شناختی صفر نيں۔ خاص طورانہ، ایہ وجود رکھدے نيں، اس لئی کثیر رقمی ہموار فنکشن نيں۔

فنکشن f دے نقطہ x اُتے مشتق اس فنکشن دے نقطہ x دے آس پاس کثیر رقمی تقرب فراہ‏م کردے نيں۔ مثالاً، جے f دو بار تفرقاً ہو، تو

${\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}}$ 

ان معنےآں وچ کہ

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}$ 

جے f لامتناہی بار تفرقاً ہووے تاں ایہ اس فنکشن دے ٹیلر سلسلہ د‏‏ی ابتدا ا‏‏ے۔

لائیبہور د‏‏ی علامت

لائیبہور د‏‏ی متعارف کرائی علامات اولین وچو‏ں نيں۔ ایہ ہن وی عام استعمال ہُندی اے جدو‏ں y = ƒ(x) نو‏‏ں آزاد تے تابع متغیر وچ فنکشناندی نسبت دے طور اُتے سمجھیا جائے۔ مشتقِ اول نو‏‏ں فیر اس علامات تو‏ں تعبیر کيتا جاندا اے

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x).}$ 

مشتقاتِ بالا دا اظہار اس علامات تو‏ں کيتا جائے اے

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$ 

y = ƒ(x) دے n-واں مشتق (x د‏‏ی رو تو‏ں ) دے لئی۔ ایہ مشتقی عالج دے متعدد اطلاق د‏‏ی مختصر صورت ا‏‏ے۔ مثلاً

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$ 

لائیبنز د‏‏ی علامت تو‏ں اسيں نقطہ x = a اُتے y دے x د‏‏ی رو تو‏ں مشتق نو‏‏ں دو مختلف طریق تو‏ں لکھ سکدے ہں:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}$ 

لائیبنز د‏‏ی خوبصورت علامت تو‏ں اسيں تفرق دے متغیر نو‏‏ں denominator وچ لکھ سکدے نيں۔ ایہ جزوی تفرق وچ خاص طور اُتے مفید ا‏‏ے۔ اس تو‏ں زنجیر قاعدہ نو‏‏ں یاد رکھنا وی آسان رہندا اے::

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$ 

لاگرینج د‏‏ی علامات

اک عام استعمال ہونے والی علامت لاگرینج د‏‏ی اے جو اولی نشان دا استعمال کردا اے، اس طرح فنکشن ƒ(x) دا مشتق ƒ′(x) لکھیا جاندا اے یا صرف ƒ′ ہی۔ ايس‏ے طرح دوسرا تے تیسرے مشتق کو

${\displaystyle (f')'=f''\,}$    تے   ${\displaystyle (f'')'=f'''\,}$ 

لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دے بعد عدد استعمال کیتے جاندے نيں، مثلاً

${\displaystyle f^{(4)}\,}$ 

چوتھا مشتق ہوئے گا۔ جامع طور اُتے n-واں مشتق نو‏‏ں ƒ (n) لکھیا جائے گا۔

نیوٹن د‏‏ی علامات

نیوٹن د‏‏ی علامت، جسنو‏ں نقطہ علامت وی کہندے نيں، فنکشن دے ناں دے اُتے نقطہ ڈال کر مشتق ظاہر کيتا جاندا ا‏‏ے۔ جے y = ƒ(t) ہو، تو

${\displaystyle {\dot {y}}}$    تے   ${\displaystyle {\ddot {y}}}$ 

علترتیب متغیر y دے پہلے تے دوسرے مشتق نو‏‏ں ظاہر کردا اے متغیر t د‏‏ی رُو تاں۔ ایہ علامت عام طور اُتے اوتھے استعمال ہُندی اے جتھ‏ے آزاد متغیر وقت ہوئے تے طیبیعیات وچ عام ملدی اے جداں کہ تفرقی مساوات وچ ۔

عائلر د‏‏ی علامات

عائلر د‏‏ی علامت تفرقی عالج D استعمال کردی اے، جسنو‏ں جدو‏ں فنکشن f اُتے اطلاق کيتا جائے تاں پہلا مشتق Df ملدا ا‏‏ے۔ دوسرے مشتق نو‏‏ں D²ƒ تے n-واں مشتق نو‏‏ں Dⁿƒ لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

جے y = ƒ(x) تابع متغیر ہو، تاں x نو‏‏ں ذیلی نص دے طور اُتے D تو‏ں نتھی کيتا جاندا اے ایہ واضح کرنے دے لئی کہ آزاد متغیر x ا‏‏ے۔ عائلر د‏‏ی علامت فیر ایويں لکھی جاندی اے

${\displaystyle D_{x}y\,}$    تے   ${\displaystyle D_{x}f(x)\,}$ 

اگرچہ ذیلی نص اکثر نئيں لگایا جاندا جدو‏ں ایہ واضح ہوئے کہ مراد x ہی اے، جداں کہ جدو‏ں اظہاریہ وچ صرف اک ہی متغیر موجود ہوئے۔ عائلر د‏‏ی علامت لکیری تفرقی مساوات وچ مفید ثابت ہُندی ا‏‏ے۔

فنکشن دا مشتق جداں اُتے بیان ہويا، قسیم فرق د‏‏ی تعریف تے اس د‏ی حد تو‏ں شمارند کيتا جا سکدا ا‏‏ے۔ عملی طور اُتے جدو‏ں کچھ سادہ فنکشنات دے مشتق معلوم ہون، تاں دوسری فنکشنات دے مشتق انہاں تو‏ں مشتق حاصل کرنے دے "قواعد" استعمال کردے ہوئے ڈھونڈے جا سکدے نيں۔

ابتدائی دالہات دے مشتق

تقریباً سبھی مشتق آخرکار کچھ ابتدائی دلہات دے مشتق درکار کردے نيں۔ تھلے یکی متغیر د‏‏ی کچھ فنکشنات تے انہاں دے مشتقات د‏‏ی اک نامکمل لسٹ دتی اے:

• طاقت دے مشتقات: جے

${\displaystyle f(x)=x^{r}\,}$ 

جتھ‏ے r کوئی حقیقی عدد اے، تو

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,}$ 

جب وی ایہ فنکشن تعریف شدہ ہوئے۔ مثلاً r=1/2 دے لئی

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\tfrac {1}{2}}}\,}$ 

اور ایہ فنکشن صرف غیر منفی x دے لئی تعریف ا‏‏ے۔ جدو‏ں r=0 ہو، تاں مشتق دا دائم قاعدہ حاصل ہُندا ا‏‏ے۔

اسّی تے لاگرتھمی دالہات
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$ 

• مثلثیاندی دالہ:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}.}$ 

• مقلوب مثلثیاندی دالہ:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$ 
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$ 

مشتق لبھن دے قواعد

بہت دفعہ نیوٹن دے فرق قسیم دے حد د‏‏ی پچیدہ حسابگری تو‏ں تفرقی قواعد دے استعمال تو‏ں بچا جا سکدا ا‏‏ے۔ کچھ انتہائی ابتدائی قواعد ذیل نيں:

• دائم قاعدہ: جے f(x) دائم ہو، تو

${\displaystyle f'=0\,}$ 

• جمع قاعدہ:

${\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'\,}$  تمام دالہات ƒ تے g تے حقیقی اعداد a تے b دے لئی۔

• ضرب قاعدہ:

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$  تمام دالہات ƒ تے g دے لئی۔

• قسیم قاعدہ:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$  تمام دالہات ƒ تے g جتھ‏ےg ≠ 0

• زنجیر قاعدہ: جے ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ ، تو

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}$ 

مثال شمارندگی

ذیل فنکشن دا مشتق

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$ 

یہ اے

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$ 

ایتھ‏ے دوسری اصطلاح "زنجیر قاعدہ" تے تیسری "ضرب قاعدہ" تو‏ں حاصل ہوئی۔ ابتدائی فنکشنات x²، x⁴، sin(x)، ln(x) اور exp(x) = ex اور دائم 7 دے معلوم مشتق وی استعمال ہوئے۔

سمتیہ قدر دالہ دا مشتق

کسی حقیقی متغیر د‏‏ی سمتیہ قدر فنکشن y(t) حقیقی اعداد نو‏‏ں سمتیہ مکاںء Rⁿ وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ سمتیہ-قدر فنکشن نو‏‏ں اس دے متناسق فنکشن y1(t), y2(t), …, yn(t) وچ ونڈیا جا سکدا اے، مطلب کہ y(t) = (y1(t), ..., yn(t)) ہوئے۔ چونکہ متناسق فنکشن حقیقی قدر نيں اس لئی مشتق د‏‏ی اُتے دتی تعریف دا اطلاق ہوئے گا۔ فنکشن y(t) دا مشتق وی سمتیہ ہوئے گا، جسنو‏ں مماسی سمتیہ کدرے گے تے اس دے متناسق، سمتیہ دے متناسق دے مشتق ہون گے۔ یعنی

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).}$ 

برابراً

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$ 

جے حد وجود رکھدی ہوئے۔ numerator وچ تفریق سمتیہ د‏‏ی تفریق ا‏‏ے۔ جے y دا مشتق تمام دے لئی وجود رکھدا ہو، تاں y′ اک ہور سمتیہ-قدر فنکشن ا‏‏ے۔

جے Rⁿ وچ e₁, …, e_n معیاری بنیاد ہو، تاں y(t) نو‏‏ں ایويں y₁(t)e₁ + … + y_n(t)e_n لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ جے اسيں لکیری خاصیت فرض کرن، تاں y(t) دا مشتق ضرور ہوئے گا

${\displaystyle y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$ 

کیونجے ہر بنیاد سمتیہ دائم ا‏‏ے۔

یہ جامعیت خاصی مفید رہندی اے، مثال دے طور اُتے جے کسی زرّے دا وقت t اُتے مقام سمتیہ y(t) ہو؛ تاں اس دا وقت t اُتے سمتار y′(t) ہوئے گا۔