Ամբողջ Թիվ

Բնական թվերի ${\displaystyle \mathbb {N} }$ բազմությունը ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-ի ենթաբազմություն է, որն իր հերթին բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության՝ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ի, ենթաբազմություն է, որը բոլոր իրական թվերի բազմության՝ ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ի, ենթաբազմություն է։ Ինչպես բնական թվերը, ամբողջ թվերի ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ բազմությունը նույնպես հաշվելի անվերջ է։ Ամբողջ թվերն այն իրական թվերն են, որոնք կարելի է գրել առանց կոտորակային բաղադրիչի։ Օրինակ՝ 21, 4, 0 և −2048 թվերը ամբողջ թվեր են, մինչդեռ 9.75, ${\displaystyle 5{\frac {1}{2}}}$ և ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ թվերը ամբողջ չեն։

Ամբողջ թվերը կազմում են բնական թվեր պարունակող ամենափոքր խումբն ու ամենափոքր օղակը։ Աբստրակտ թվերի տեսությունում ամբողջ թվերը երբեմն կոչվում են ռացիոնալ ամբող թվերը՝ ավելի ընդհանուր հանրահաշվական ամբողջ թվերից տարբերելու համար։

Պատմականորեն եզրը կիրառվել է 1-ի բազմապատիկ թվերը կամ կոտորակի ամբողջ մասը նշելու համար։ Սկզբնապես դիտարկվում էին միայն դրական ամբողջ թվերը, ինչի հետևանքով ամբողջ թիվ և բնական թիվ եզրերը հոմանիշներն էին։ Ամբողջ թվի սահմանումը ընդլայնվել է բացասական թվերի կարևորությունը գիտակցելուց հետո։ Օրինակ՝ Լեոնարդ Էյլերը իր 1765 թվականի «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում ամբողջ թվերը սահմանել է այնպես, որ դրանք ներառեն և՛ դրական, և՛ բացասական թվերը։ Սակայն, եվրոպացի մաթեմատիկոսները հիմնականում չեն ընդունել բացասական թվերի հասկացությունը մինչև 19-րդ դարի կեսեր։

Ամբողջ թվերի բազմությունը Z տառով նշանակման ավանդույթը կապված է գերմաներեն Zahlen (թիվ) բառի հետ և վերագրվել է Դավիթ Հիլբերտին։ Այս նշանակման հայտնի ամենավաղ օրինակ կա Նիկոլա Բուրբակի խմբի Մաթեմատիկայի տարրեր (Éléments de mathématique) դասագրքում (1947 թվական)։ Սակայն նշանակումը անմիջապես չի ընդունվել, օրինակ մեկ այլ դասագրքում կիրառվել է J տառը, իսկ 1960 թվականին տպարված հոդվածներից մեկում Z-ը օգտագործվել է ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար։ Սակայն, 1967 թվականից Z-ը լայնորեն կիրառվում էր դրական և բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար։

Հաճախ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  սիմվոլի վերտողում կամ ենթատողում ավելացնում են տարբեր նշաններ այլ բազմություններ նշելու համար։ Օրինակ՝ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ,${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$  կամ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$  սիմվոլները կիրառվում են դրական ամբողջ թվերը նշելու համար, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$  կամ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$  սինվոլները կիրառվում են ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար, իսկ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$ -ով նշանակում են զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը։ Որոշ հեղինակները կիարռում են ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ -ը զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը նշանակելու համար, մինչդեռ այլ հեղինակներ օգտագործում են այն ոչ բացասական ամբողջ թվերի կամ {–1, 1} բազմության համար։ Բացի դա, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ -ով հաճախ նշանակվում է մոդուլ p ամբողջ թվերի, կամ p-ադիկ ամբողջ թվերի նշանակման համար։

 

Բնական թվերի նման ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ը նույնպես փակ է ըստ գումարման և բազմապատկման գործողությունների, այսինքն՝ կամայական երկու ամբողջ թվի գումարը կամ արտադրյալը ամբողջ թիվ է։ Սակայն, զրոյի և բացասական թվերի ներմուծման շնորհիվ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  ամբողջ թվերը փակ են նաև ըստ հանման։

Ամբողջ թվերը կազմում են միավորով օղակ, որն ամենապարզն է հետևյալ իմաստով․ կամայական միավորով օղակի համար գոյություն ունի եզակի օղակային հոմոմորֆիզմ ամբողջ թվերից դեպի այդ օղակ։ Այս ընդհանրացված հատկությունը, մասնավորապես օղակների կատեգորիայում նախնական օբյեկտ լինելը, բնութագրում է ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  խումբը։

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ը փակ չէ ըստ բաժանման, քանի որ երկու ամբողջ թվերի քանորդը կարող է ամբողջ թիվ չլինել (օրինակ 1-ը բաժանած 2-ի)։ Ի տարբերություն բնական թվերի, ամբողջ թվերը փակ չեն ըստ աստիճանի բարձրացման, քանի որ արդյունքը կարող է լինել կոտորակ, երբ ցուցիչը բացասական է։

Հետևյալ աղյուսկում կան կամայական a, b և c ամբողջ թվերի բազմապատկման և գումարման որոշ հատկություններ․

Գումարման համար նշված առաջին հինգ հատկությունից հետևում է, որ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ը ըստ գումարման աբելյան խումբ է։ Այն նաև ցիկլային խումբ է, քանի որ զրոյից տարբեր զուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել 1 + 1 + ... + 1 կամ (−1) + (−1) + ... + (−1) վերջավոր գումարի տեսքով։ Ընդ որում, ըստ գումարման ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ը միակ անսահման ցիկլային խումբն է, քանի որ յուրաքանչյուր այլ անսահման ցուկլային խումբ իզոմորֆ է ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ին։

Բազմապատկման համար նշված առաջին չորս հատկություններից հետևում է, որ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  ըստ բազմապատկման կոմուտատիվ մոնոիդ է։ Սակայն, ոչ բոլոր ամբողջ թվերը ունեն բազմապատկային հակադիր (օրինակ՝ 2-ը), որից հետևում է, որ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ը ըստ բազմապատկման խումբ չէ։