Pitagorina Teorema

Pitagorina teorema glasi:

Ako je trougao pravougli, onda je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom.

Pravougli trougao je trougao s jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine prav ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. Na slici ispod, a i b su katete pravouglog trougla, a c je hipotenuza:

Koristeći se algebrom, ova teorema može se preformulisati u moderni izraz s opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:

Uzimajući da je trougao s katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda vrijedi:

a² + b² = c².

Teorema je nazvana po Pitagori, starogrčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p. n. e, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u Euklidovim Elementima.

Ako se, na primjer, prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi ugao, onda je to učinjeno pomoću "egipatskog trougla" - trougla čije su stranice dužine 3, 4 i 5. Također, stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama dužina 6, 8 i 10;  9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj način je uvedena veza između figure i broja, tj. između geometrije i algebre.

Ovo je teorema koja može imati više poznatih dokaza nego bilo koja druga (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.

Neki argumenti zasnovani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorine teoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

 

Kao i većina dokaza Pitagorine teoreme, ovaj je zasnovan na proporcionalnosti stranica dvaju sličnih trouglova.

Neka je ABC pravougli trougao, s pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjekom te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH sličan je našem početnom trouglu ABC jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i treći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan s trouglom ABC. Sličnosti vode do dviju relacija: Kako je

${\displaystyle BC=a,AC=b,{\text{ i }}AB=c,\!}$ 

tako je

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ i }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\,}$ 

Ovo se može pisati kao

${\displaystyle a^{2}=c\times HB{\mbox{ i }}b^{2}=c\times AH.\,}$ 

Sumiranjem ovih dviju jednakosti dobijamo

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!}$ 

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!}$ 

Znamo da je kvadrat četverougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama.

${\displaystyle d^{2}=2a^{2}\,\!}$ 
${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$ 

Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ABC:

${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}}$ 
${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ 

Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i uglovima. Iz Pitagorine teoreme za trougao dobija se visina trougla

${\displaystyle a^{2}=({\frac {a}{2}})^{2}+h^{2}}$ 
${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}=}$ 
${\displaystyle P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}}$ 

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuče visina iz tjemena C, dobiju se dva pravougla trougla.

${\displaystyle h_{a}={\sqrt {b^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}}$ 

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od :${\displaystyle 90^{o}}$  i međusobno se polove.

${\displaystyle h_{a}^{2}=({\frac {d_{1}}{2}})^{2}+({\frac {d_{2}}{2}})^{2}}$ 

• Pitagora
• Kvadratni korijen iz 2