Pisagor Teoremi: Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı arasındaki bağıntı

Teoreme gerçek hayattan örnek olarak telli çalgıları gösterilebilir; 'telin uzunluğu arttıkça titreşim artar' prensibine dayanır. Pisagor'un denklemi olarak da isimlendirilen bu teorem, a, b ve c kenarlarının arasındaki ilişkiyi şu şekilde açıklar:

Pisagor teoremi
Tür	Teorem
Alan	Öklid geometrisi
İfade	Dik kenarlardaki (a ve b) iki karenin alanlarının toplamı, hipotenüs (c) üzerindeki karenin alanına eşittir.
Sembolik gösterim	${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$
Genelleştirmeler	Kosinüs teoremi Uzay geometri Öklid dışı geometri Diferansiyel geometri
Sonuçlar	Pisagor üçlüsü Çarpımsal ters Pisagor teoremi Karmaşık sayı Öklid uzaklığı Pisagor trigonometrik özdeşliği

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

burada c hipotenüsün uzunluğunu, a ve b üçgenin diğer iki tarafının uzunluklarını temsil eder. Tarihî anlamda çok tartışılan teorem, adını eski Yunan filozof ve matematikçi Pythagoras'dan ‪(Πυθαγόρας, MÖ 570 – MÖ 495) almıştır.

Bu teorem, birçok matematiksel teoremin ispatlanmasını sağlamıştır. Binlerce yıl öncesine dayanan geometrik ispatlar ve cebirsel ispatlar da dahil olmak üzere bu, çok çeşitlidir. Bu teorem, yüksek boyutlu uzaylardan, Öklid olmayan uzaylara, doğru üçgen olmayan nesnelere ve aslında hiç üçgen olmayan nesnelere, n boyutlu katılara çeşitli şekillerle entegre edilip genelleştirilebilir. Pisagor teoremi, matematiksel soyutlamanın, mistik ya da entelektüel gücün sembolü olarak matematiğin ilgisini çekmiştir; edebiyat, sinema, müzikal, şarkı ve çizgi filmlerde de popüler olmuştur.

 

Şekilde gösterilen iki büyük karenin her biri dört özdeş üçgen içerir ve iki büyük kare arasındaki tek fark, üçgenlerin farklı şekilde konumlandırılmasıdır. Bu nedenle, iki büyük karenin her birinin içindeki beyaz boşluk eşit alana sahip olmalıdır. Beyaz boşluğun alanını eşitlemek Pisagor teoremini verir, Q.E.D.

Heath, Öklid'in Elementler'i'ndeki Önerme I.47 üzerine yaptığı yorumda bu kanıtı verir ve Bretschneider ve Hankel'in, Pisagor'un bu ispatı biliyor olabileceğine dair önerilerinden bahseder. Heath, Pisagor teoreminin ispatı için farklı bir öneriyi destekliyordu, ancak tartışmasının başlangıcından itibaren şunu kabul ediyor: "Pisagor'dan sonraki ilk beş yüzyıla ait olan Yunan edebiyatı, bu veya buna benzer herhangi büyük bir keşfi belirten hiçbir ifade içermiyor." Son araştırmalar Pisagor'un, matematiğin babası olma rolünde yüksek olasılık gösterdi ancak bu konudaki tartışmalar devam ediyor.

Eğer c hipotenüs uzunluğunu, a ve b diğer iki tarafın uzunluğunu gösteriyorsa Pisagor teoremi, cebirsel olarak şöyle ifade edilir:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ 

Hem a hem de b'nin uzunlukları biliniyorsa, c şu şekilde hesaplanır:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$ 

Hipotenüs c'nin ve en az bir tarafın (a veya b) uzunluğu biliniyorsa, diğer tarafın uzunluğu şu şekilde hesaplanır:

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$ 

veya

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}$ 

Pisagor denklemi, dik üçgenin kenarlarını basit bir şekilde ilişkilendirir. Böylece herhangi bir iki tarafın uzunluğu biliniyorsa üçüncü tarafın uzunluğu bulunabilir. Teoremin başka bir sonucu, herhangi bir dik üçgende hipotenüsün diğer taraflardan herhangi birinden daha büyük, ancak toplamlarından daha az olmasıdır.

Bu teoremin genelleştirilmesi, diğer iki tarafın uzunlukları ve aralarındaki açı göz önüne alındığında, herhangi bir üçgenin herhangi bir tarafının uzunluğunun hesaplanmasını sağlayan kosinüs yasasıdır. Diğer taraflar arasındaki açı dikaçı ise, kosinüs yasası Pisagor denklemine indirgenir. Matematikte Pisagor teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan MÖ 6. yüzyılda Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler. Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.

 

Bu teoremin, diğer birçok teoremden daha fazla ispatı olabilir (ikinci dereceden karşılıklılık yasası, bu ayrım için başka bir rakiptir); sadece The Pythagorean Proposition kitabı 370 ispat içeriyor.

Üçgende benzerliği kullanarak ispat

 

Bu ispat, benzer iki üçgenin kenar oranlarına, yani benzer üçgenlere karşılık gelen herhangi iki kenarın birbirine oranına, üçgenlerin boyutuna bakılmaksızın aynı olmasına dayanmaktadır.

ABC, şekilde gösterildiği gibi C'ye uzanan dik açılı bir dik üçgeni temsil etsin. Yüksekliği, C noktasından olsun ve H ile, AB doğrusu üzerinde kesişsin. H, hipotenüs c'nin uzunluğunu d ve e'ye bölsün. Yeni ACH üçgeni, ABC üçgeni ile benzer olsun, çünkü her ikisi de bir dik açıya sahip (yükseklik tanımına göre) ve açıyı A'da paylaşsınlar (bu, üçüncü açı θ'nın her iki üçgende de aynı olacağı anlamına gelir). Üçgenlerin benzerliğinin ispatı, üçgen varsayımını gerektirir: "Bir üçgendeki açıların toplamı iki dik açıya eşit ve paralel postülata eşdeğerdir" varsayımla eşdeğerdir. Üçgenlerin benzerliği, karşılık gelen tarafların oranlarının eşitliğine yol açar:

${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ ve }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$ 

İlk sonuç θ açısının kosinüslerine eşittir, ikinci sonuç ise sinüslerine eşittir.

${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ ve }}AC^{2}=AB\times AH.}$ 

Bu iki eşitliğin toplanması,

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}$ 

birkaç basitleştirmeden sonra, Pisagor teoremini şöyle ifade eder:

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\ .}$ 

En yaygın olarak karşılaşılan örneklerden biri "3-4-5" üçgenidir. ${\displaystyle (3^{2}+4^{2}=5^{2})\!\,}$ 

Bu, komşu kenarları sırasıyla 3 birim, 4 birim ve karşı kenarı 5 birim olan bir dik üçgeni temsil eder.

Diğer örnekleri ise ${\displaystyle 5-12-13,8-15-17,7-24-25,9-40-41,11-60-61\!\,}$ ...