Pytagorova Veta: Vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine

Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$,

kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ sú dĺžky odvesien a ${\displaystyle c}$ je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý.

 

Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti ${\displaystyle k}$  je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca ${\displaystyle k}$ -násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou ${\displaystyle k}$  a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , ${\displaystyle \mathbf {b} }$ , ${\displaystyle \mathbf {c} }$ , pre ktoré platí

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} -\mathbf {a} \qquad \mathbf {a} \perp \mathbf {b} .}$ 

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {c} \|^{2},}$ 

kde ${\displaystyle \|\cdot \|}$  je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku ${\displaystyle ABC}$  s pravým uhlom pri vrchole ${\displaystyle C}$  označíme

${\displaystyle \mathbf {a} =B-C,\ \ \mathbf {b} =A-C,\ \ \mathbf {c} =A-B,}$ 

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Dôkaz číslo 1

 

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou ${\displaystyle a+b}$  je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami ${\displaystyle a}$  a ${\displaystyle b}$ 
• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou ${\displaystyle c}$ .

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

• Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka ${\displaystyle a}$  a ${\displaystyle b}$ . Pre jeho obsah teda platí:

${\displaystyle S=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ .

• Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou ${\displaystyle c}$ . Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov (${\displaystyle {\begin{matrix}4{\frac {ab}{2}}=2ab\end{matrix}}}$ ) a bieleho štvorca so stranou c (${\displaystyle c^{2}}$ ). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

${\displaystyle S=2ab+c^{2}}$ .

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}$ 

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .

Dôkaz číslo 3

 

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (${\displaystyle DCB}$  a ${\displaystyle DAC}$ , ktorý sa rovná uhlu ${\displaystyle BAC}$ ) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (${\displaystyle \pi }$  ${\displaystyle \mathrm {rad} }$ ). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

1. ${\displaystyle {\mathit {|BAC|+|ACB|+|CBA|}}=180^{\circ }}$ 
2. ${\displaystyle {\mathit {|CBD|+|BDC|+|DCB|}}=180^{\circ }}$ 
3. ${\displaystyle {\mathit {|DAC|+|ACD|+|CDA|}}=180^{\circ }}$ 

z uvedeného vyplýva, že

1. ${\displaystyle {\mathit {|BAC|+|CBA|}}=90^{\circ }}$ 
2. ${\displaystyle {\mathit {|CBD|+|DCB|}}=90^{\circ }}$ 
3. ${\displaystyle {\mathit {|DAC|+|ACD|}}=90^{\circ }}$ 

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly ${\displaystyle BAC}$  a ${\displaystyle DAC}$  sú zhodné), že platí |${\displaystyle CBA}$ | = |${\displaystyle ACD}$ |. Ak ${\displaystyle CBA}$  dosadíme do 3. rovnice na miesto ${\displaystyle ACD}$ , z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |${\displaystyle BCD}$ | = |${\displaystyle DAC}$ |. Trojuholníky sú si teda podobné.

Samotný dôkaz

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

${\displaystyle a/p=c/a\quad \Rightarrow \quad a^{2}/p=c\quad \Rightarrow \quad a^{2}=cp}$ 

a rovnako platí aj

${\displaystyle b/q=c/b\quad \Rightarrow \quad b^{2}/q=c\quad \Rightarrow \quad b^{2}=cq.}$ 

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=cp+cq\quad \Rightarrow \quad a^{2}+b^{2}=c(p+q).}$ 

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že ${\displaystyle c=p+q}$ , čo po dosadení dá:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ 

 

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  a ${\displaystyle c}$ , pre ktoré platí ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ . Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

Základné pytagorejské trojice

• Pytagorejské čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, napríklad 7, 24, 25, sú základné pytagorejské trojice.
• Pytagorejská trojica 6,8,10, nie je základná, lebo má spoločného deliteľa 2 (trojuholník so stranami 6, 8, 10 má koeficient podobnosti rovný 2), so základnou pytagorejskou trojicou 3,4,5.
• Základné Pytagorejské čísa do 100 sú:

• Euklidov vzorec pre generovanie pytagorejských čísel a, b, c je s použitím ľubovoľných celých čísel m a n, kde m > n > 0:

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$ 

Použitie pytagorejských čísel

Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...