पाइथागोरस प्रमेय:

पाइथागोरस या फ़ीसाग़ूरस प्रमेय यूक्लिडीय ज्यामिति में किसी समकोण त्रिभुज के तीनों भुजाओं के बीच एक सम्बन्ध बताने वाला प्रमेय है। इस प्रमेय को आमतौर पर एक समीकरण के रूप में निम्नलिखित तरीके से अभिव्यक्त किया जाता है-

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,}$

जहाँ c समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है तथा a और b अन्य दो भुजाओं की लम्बाई है। पाइथागोरस यूनान के गणितज्ञ थे। परम्परानुसार उन्हें ही इस प्रमेय की खोज का श्रेय दिया जाता है। हालांकि यह माना जाने लगा है कि इस प्रमेय की जानकारी उनसे पूर्व तिथि की है। भारत के प्राचीन ग्रंथ बौधायन शुल्बसूत्र में यह प्रमेय दिया हुआ है। काफी प्रमाण है कि बेबीलोन के गणितज्ञ भी इस सिद्धांत को जानते थे।

अगर हम कर्ण की लंबाई को c और अन्य दो भुजाओं की लंबाई को a और b लेते हैं, तो प्रमेय को निम्नलिखित समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$ 

या,

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,}$ 

यदि c तथा एक भुजा का मान पहले से दिया गया है और तीसरी भुजा की लंबाई निकालनी हो, तो निम्नलिखित समीकरण का उपयोग किया जा सकता है :

${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}\,}$ 

या

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=a^{2}.\,}$ 

यह समीकरण समकोण त्रिकोण के तीनों भुजाओं के बीच एक सरल सम्बन्ध प्रदान करता है। इस प्रमेय का सामान्यीकरण 'कोज्या नियम' (Cosine rule) कहलाता है जिसकी सहायता से किसी भी त्रिकोण के तीसरी भुजा की लम्बाई की गणना की जा सकती है यदि शेष दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण की माप दी गयी हो।

यह एक ऐसा प्रमेय है जिसके अन्य प्रमेयों की तुलना में सम्भवतः सर्वाधिक प्रमाण ज्ञात हैं (द्विघाती पारस्परिकता का नियम भी इस गौरव के लिए प्रतियोगी रह चुका है)। एलीशा स्कॉट लूमिस द्वारा रचित पायथागॉरियन थिअरम किताब में, 367 प्रमाण दिए गए हैं।

समरूप त्रिभुज के उपयोग से प्रमाण

 

पाइथागोरस प्रमेय के अधिकांश प्रमाणों की तरह, यह दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं के समानुपाती होने के गुण पर आधारित है।

माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें कोण C समकोण है, जैसा आकृति में दिखाया गया है। हम C बिंदु से कर्ण पर लम्ब डालते हैं और भुजा AB के साथ उस लम्ब की लम्बाई H हैं। यह नया त्रिकोण ACH हमारे त्रिकोण ABC के समरूप है, क्योंकि उन दोनों में ही समकोण है (ऊंचाई की परिभाषा के द्वारा) और A कोण उनका हिस्सा है। इसका मतलब है की तीसरा कोण भी दोनों त्रिभुजों में समान है। इसी आधार पर त्रिभुज CBH भी ABC के समरूप है। इन समरूपताओं से हमें दो समानुपात प्राप्त होते हैं:

जैसे

${\displaystyle BC=a,AC=b,{\text{ and }}AB=c,\!}$ 

तथा

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\,}$ 

इन्हें ऐसे भी लिखा जा सकता है

${\displaystyle a^{2}=c\times HB{\mbox{ and }}b^{2}=c\times AH.\,}$ 

इन दो समीकरणों का संक्षेप करने पर,

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!}$ 

अन्य शब्दों में, बौधायन प्रमेय :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!}$ 

यूक्लिड के प्रमाण

 

यूक्लिड के "एलिमेन्ट्स" (elements) में, पुस्तक 1 का प्रस्ताव 47, बौधायन प्रमेय निम्नलिखित लाइनों के साथ एक तर्क से साबित होता है।A, B, C को समकोण त्रिकोण के कोने मानते हैं, जिसमें समकोण A पर होगा. A से कर्ण के विपरीत एक अधोलंब छोडें वर्ग में कर्ण पर.वो रेखा कर्ण पर वर्ग को दो आयातों में विभाजित करती है, प्रत्येक का समान क्षेत्र है क्यूंकि दोनों में से एक पैरों में वर्ग बनता है।

औपचारिक प्रमाण के लिए, हमें चार प्राथमिक लेम्मटा की आवश्यकता है:

1. यदि दो त्रिकोण के दो पार्श्वों में से एक पार्श्व दूसरे के दो पार्श्वों के बराबर हो, प्रत्येक के लिए प्रत्येक और उन पार्श्वों द्वारा बना कोण बराबर हो, तो त्रिकोण अनुकूल हैं। (पार्श्व - कोण - पार्श्व प्रमेय)
2. एक त्रिकोण का क्षेत्रफल एक ही तल और ऊंचाई पर किसी भी समानांतर चतुर्भुज का आधा क्षेत्रफल है।
3. किसी भी वर्ग का क्षेत्रफल उसके दो पार्श्वों के उत्पाद के बराबर होता है।
4. किसी भी आयत का क्षेत्रफल उसके दो संलग्न पार्श्वों के उत्पाद के बराबर होता है (लेम्मा 3 से पालन करती है).

इस प्रमाण के पीछे सहज विचार, जो इसका पालन करना आसान बना सकता है, कि ऊपर के दो वर्गों को एक ही आकार के समानांतर चतुर्भुज में बदला गया है, फिर मोड़कर और बाएं और दाहिने आयत को निचले वर्ग में बदला गया है, फिर निरंतर क्षेत्र में.

 

प्रमाण निम्नानुसार है:

1. ACB को समकोण त्रिकोण मानते हैं जिसमें समकोण CAB है।
2. प्रत्येक पार्श्वों BC, AB और CA में, चौरस बनाया गया है, CBDE, BAGF, and ACIH, इस क्रम में.
3. A से, BD और CE करने के लिए एक समानांतर रेखा बनाएँ. यह लंबरूप में BC और DE को K और L में क्रमशः, काटता है।
4. CF और AD को जोडें, BCF और BDA त्रिकोण बनाने के लिए.
5. कोण CAB और BAG दोनों समकोण हैं; इसलिए C, A और G एकरेखस्थ हैं। इसी प्रकार बी, के लिए एक और एच.
6. कोण CBD और FBA दोनों समकोण हैं; इसलिए कोण ABD कोण FBC के बराबर है, क्यूंकि दोनों एक समकोण और कोण एबीसी के जोड़ के बराबर हैं।
7. क्योंकि AB और BD, FB and बक के बराबर हैं, क्रमशः, ABD त्रिकोण FBC त्रिकोण के बराबर होना चाहिए.
8. क्यूंकि A, K और L के साथ एकरेखस्थ है, आयत BDLK का क्षेत्रफल ABD त्रिकोण से दुगना होना चाहिए.
9. क्यूंकि C, A और G के साथ एकरेखस्थ है, वर्ग BAGF का क्षेत्रफल FBC त्रिकोण से दुगना होना चाहिए.
10. इसलिए आयत BDLK का क्षेत्रफल वर्ग BAGF के बराबर होना चाहिए = AB².
11. इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है की आयत चकले का क्षेत्रफल वर्ग ACIH के बराबर होना चाहिए= AC².
12. इन दो परिणामों को जोड़कर, AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
13. क्यूंकि BD = KL, BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. इसलिए एबी AB² + AC² = BC², क्यूंकि CBDE एक वर्ग है।

यह प्रमाण यूक्लिड के तत्वों में प्रस्ताव 1.47 के रूप में पेश होता है।

गारफील्ड के प्रमाण

जेम्स ए. गारफील्ड (परवर्ती संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति) को एक उपन्यास बीजीय प्रमाण द्वारा श्रेय दिया गया है:

पूरा समलम्ब (a+b) बाई (a+b) वर्ग का आधा है, तो उसका क्षेत्रफल = (a+b)²/2 = a²/2 + b²/2 + ab.

त्रिकोण 1 और त्रिकोण 2 प्रत्येक क्षेत्रफल ab/2 है।

त्रिकोण 3 का क्षेत्रफल c²/2 है और यह कर्ण पर वर्ग का आधा है।

लेकिन त्रिकोण 3 का क्षेत्रफल भी = (समलम्ब का क्षेत्रफल) - (त्रिकोण 1 और 2 का क्षेत्रफल)

= a²/2 + b²/2 + ab - ab/2 - ab/2
= a²/2 + b²/2
= अन्य दो पार्श्वों के वर्गों के जोड़ का आधा है।

इसलिए कर्ण पर वर्ग = अन्य दो पार्श्वों के वर्गों का जोड़ है।

व्यवकलन द्वारा प्रमाण

इस प्रमाण में, कर्ण पर वर्ग प्लस त्रिकोण की 4 प्रतियां को अन्य दो पार्श्वों में वर्गों के रूप में जोड़ सकते हैं प्लस त्रिकोण की 4 प्रतियां.यह प्रमाण चीन से दर्ज की गई है।

 

समानता प्रमाण

ऊपर यूक्लिड के प्रमाण के चित्र से, हम तीन समान आंकड़ों को देख सकते हैं, प्रत्येक में "एक वर्ग के ऊपर त्रिकोण" है। क्यूंकि बड़ा त्रिकोण दो छोटे त्रिकोण से बना है, उसका क्षेत्रफल इन दो छोटे का जोड़ है। समानता से, तीन वर्ग एक दूसरे के साथ उसी अनुपात में हैं जैसे वह तीन त्रिकोण और इसी तरह के बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे वर्गों के क्षेत्रफल का जोड़ है।

विपर्यय से प्रमाण

 

विपर्यय से प्रमाण को चित्रण और एनीमेशन के द्वारा दिया गया है। इस उदाहरण में, हर एक बड़े वर्ग का क्षेत्रफल (a + b)² है। दोनों में, चरों समान त्रिकोण का क्षेत्रफल हटा दिया गया है। शेष क्षेत्रों, a² + b² और c², बराबर हैं।Q.E.D

 

 

 

यह प्रमाण वास्तव में बहुत आसान है, लेकिन यह प्रारंभिक नहीं है, इस अर्थ में कि यह केवल सबसे बुनियादी सिद्धांत और युक्लीडियन ज्यामिति के प्रमेयों पर निर्भर नहीं है। विशेष रूप से, जब त्रिकोण और वर्गों के क्षेत्रफल का सूत्र देना बहुत आसान है, यह साबित करने के लिए आसान नहीं है कि एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके टुकडों के क्षेत्रों का जोड़ है। वास्तव में, आवश्यक गुण साबित करना पायथागॉरियन प्रमेय सिद्ध करने की तुलना में कठिन है (लेबेस्गु उपाय और बनाच-टार्स्कि विरोधाभास देखें).वास्तव में, यह कठिनाई सभी साधारण क्षेत्र शामिल युक्लीडियन प्रमाण को प्रभावित करता है; उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिकोण का क्षेत्र पाने के लिए एक धारणा शामिल है कि यह एक ही ऊंचाई और तल के एक आयत का आधा क्षेत्र है। इसी कारण से, ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध परिचय आम तौर पर त्रिकोण की समानता के आधार पर एक और प्रमाण का प्रयोग करता है (ऊपर देखें).

इस पायथागॉरियन प्रमेय का तीसरा ग्राफिक चित्रण में (दाहिने में पीले और नीले रंग में) कर्ण का वर्ग पार्श्वों के वर्ग में फिट बैठता है। एक संबंधित प्रमाण यह दिखा सकता है की पुनः स्थापित भाग मूल के समान हैं और, क्यूंकि समान का जोड़ समान है, की उनके क्षेत्र भी समान हैं। यह दिखाने के लिए की एक वर्ग ही परिणाम है, हमे नए पार्श्वों की लंबाई को c के बराबर दिखाना पड़ेगा.ध्यान दें की इस प्रमाण के काम करने के लिए, हमे छोटे वर्ग को और अधिक हिस्सों में काटने के तरीके को संभालने के लिए रास्ता प्रदान करना होगा चूंकि पार्श्व और छोटे होते जाएँगे.^{[मृत कड़ियाँ]}

बीजीय प्रमाण

इस प्रमाण का बीजीय भिन्नरूप निम्न तर्क द्वारा प्रदान किया गया है। चित्रण को देखते हुए जो एक बड़ा वर्ग है जिसके कोनों में समान समकोण त्रिकोण है, इन चार त्रिकोण में प्रत्येक का क्षेत्र C के साथ एक कोण के द्वारा दिया गया है।

${\displaystyle {\frac {1}{2}}AB.}$ 

इन त्रिकोण के A-पार्श्व कोण और B-पार्श्व कोण अनुपूरक कोण हैं, नीले क्षेत्र के प्रत्येक कोण समकोण हैं, इस क्षेत्र को एक वर्ग बनाते हुए जिसके पार्श्व की लंबाई C है। इस वर्ग का क्षेत्रफल है C2.इस तरह समस्त का क्षेत्र दिया जाता है:

${\displaystyle 4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.}$ 

हालांकि, बड़े वर्ग के पार्श्वों की लंबाई A + B[7], हम उसके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं जैसे (A + B)²[8], जो A² + 2AB + B²[9] में विस्तारित होता है।

${\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}=4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.\,\!}$ 
(4 का वितरण)${\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}=2AB+C^{2}\,\!}$ 
(2AB का व्यवकलन)${\displaystyle A^{2}+B^{2}=C^{2}\,\!}$ 

विभेदक समीकरणों द्वारा प्रमाण

बौधायन प्रमेय में पहुंचा जा सकता है निम्नलिखित चित्र के अध्ययन से की एक पार्श्व में परिवर्तन कैसे कर्ण में एक परिवर्तन के उत्पादन कर सकता है और एक थोडा कलन का उपयोग करके.

 

पार्श्व a के da में परिवर्तन के परिणाम स्वरुप,

${\displaystyle {\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}}$ 

त्रिकोण की समानता और अंतर में बदलाव के लिए.इसलिए

${\displaystyle c\,dc=a\,da}$ 

चर के वियोजन पर.

पार्श्व b में परिवर्तन के लिए एक दूसरा कार्यकाल जोड़ने का परिणाम है।

समेकित देता है

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+\mathrm {constant} .\ \,\!}$ 

जब a = 0 तब c = b, तो b² "निरंतर" है। इसलिए

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,}$ 

जैसे देखा जा सकता है, परिवर्तन और पार्श्वों के बीच विशेष अनुपात के कारण है यह वर्ग जबकि पार्श्वों में परिवर्तन की स्वतंत्र योगदान का परिणाम राशि है जो ज्यामितीय साक्ष्यों से स्पष्ट नहीं है। इस दिए गए अनुपात से यह दिखाया जा सकता है की पार्श्वों में परिवर्तन पार्श्वों से प्रतीपानुपाती अनुपात हैं। इस विभेदक समीकरण सुझाव देता है की यह प्रमेय संबंधित परिवर्तन के कारण है और इसके व्युत्पत्ति लगभग लाइन अभिन्न अभिकलन के समान है।

यह मात्रा da और dc क्रमशः a और c में अत्यंत छोटे परिवर्तन हैं। लेकिन हम इसके बदले वास्तविक संख्या Δa and Δc का उपयोग करते हैं, तब उनके अनुपात की सीमा da/dc है जब उनका आकार शून्य निकटता, व्युत्पन्नी और c/a भी निकटता है, त्रिकोण के पार्श्वों की लंबाई का अनुपात और विभेदक समीकरण का परिणाम पता चलता है।

इस प्रमेय का विपर्याय भी सच है:

किसी भी तीन धनात्मक संख्या a, b और c ऐसी है a² + b² = c²[10], वहाँ एक त्रिकोण मौजूद है जिसके पार्श्व हैं a, b और c और हर ऐसे त्रिकोण में पार्श्वों के बीच एक समकोण है जिनकी लम्बाई a और b है।

यह विपर्याय यूक्लिड के तत्वों में मौजूद होता है।कोसाइन की विधि का प्रयोग करके यह साबित किया जा सकता है (नीचे देखें सामान्यकरण के नीचे), या निम्नलिखित प्रमाण के द्वारा:

ABC को एक त्रिकोण मानते हैं जिसके पार्श्वों की लम्बाई a, b और c है, a² + b² = c² के साथ.हमें यह साबित करना है कि a और b पार्श्वों के बीच के कोण समकोण है। हम एक और त्रिकोण का निर्माण करते हैं जिसमें पार्श्वों के बीच एक समकोण है जिसकी लंबाई a और b है। पायथागॉरियन प्रमेय से, निम्नानुसार है कि इस त्रिकोण के कर्ण लंबाई भी c है। चूंकि दोनों त्रिकोण के पार्श्वों की एक ही लंबाई है a, b और c, वे अनुकूल हैं और इसलिए उनका एक ही कोण होना चाहिए.इसलिए, जिन पार्श्वों की लंबाई a और b है हमारे मूल त्रिकोण में उनके बीच का कोण एक समकोण है।

पायथागॉरियन प्रमेय के विपर्याय का एक अनुमान है की निर्धारण करने का एक सरल तरीका है की यदि एक त्रिकोण समकोण, ओब्ट्युस, या अक्यूट है, इस प्रकार से.जहाँ c को तीनों पार्श्वों में लंबा चुना गया है:

• अगर a² + b² = c², तो त्रिकोण समकोण है।
• अगर a² + b² > c², तो त्रिकोण ओब्ट्युस है।
• अगर a² + b² < c², तो त्रिकोण अक्यूट है।

पायथागॉरियन ट्रिपल

एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन सकारात्मक पूर्णांक हैं a, b और c, जैसे की a² + b² = c².अन्य शब्दों में, एक पायथागॉरियन ट्रिपल एक समकोण के पार्श्वों की लंबाई का वर्णन करता है जहाँ तीनों पार्श्व की पूर्णांक लंबाई है। उत्तरी यूरोप के बड़े पत्थरों से बने स्मारकों से साक्ष्य यह दिखाते हैं कि ऐसे ट्रिपल लिखने की खोज से पहले से जाने जानते थे। इस तरह के ट्रिपल सामान्यतः से लिखे गए हैं (a, b, c).कुछ प्रसिद्ध उदाहरण हैं (3, 4, 5) और (5, 12, 13)

आदिम पायथागॉरियन के ट्रिपल की 100 तक की सूची

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (6,8,10) (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

तर्कहीन संख्या का अस्तित्व

पायथागॉरियन प्रमेय के परिणामों में से एक है कि तारतम्यहीन लंबाई (ie. उनके अनुपात तर्कहीन संख्या में है), जैसे की 2 का वर्गमूल, बनाया जा सकता है। एक समकोण जिसके पैर दोनों एक इकाई के बराबर हैं उसके कर्ण की लंबाई 2 का वर्गमूल है। यह प्रमाण कि 2 का वर्गमूल तर्कहीन है लंबे समय से आयोजित विश्वास के विपरीत था कि सब कुछ तर्कसंगत था। पौराणिक कथा के अनुसार, हिप्पासुस, जिसने दो के वर्गमूल की तर्कशून्यता सबसे पहले साबित करी थी, उसे परिणाम के रूप में समुद्र में डूब गया था।

काटीज़ियन निर्देशांक में दूरस्थ

काटीज़ियन निर्देशांक में दूरस्थ फार्मूला को पायथागॉरियन प्रमेय से से प्राप्त किया गया है। अगर (x₀, y₀) और (x₁, y₁) चौरस में अंक हैं, तो उनके बीच की दूरी, जिसे युक्लीडियन दूरी भी कहा जाता है, जो दिया जाता है

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}.}$ 

अतिरिक्त सामान्यतः से, युक्लीडियन में n-अन्तर, दो बिन्दुओं के बीच की युक्लीडियन दूरी, ${\displaystyle \scriptstyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$  और ${\displaystyle \scriptstyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ , पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, परिभाषित किया गया है:

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$ 

 

यूक्लिड के तत्वों में बौधायन प्रमेय को सामान्यकृत किया गया था:

अगर कोई एक समान आंकड़े खड़ा करता है (युक्लीडियन ज्यामिति देखें) एक समकोण त्रिकोण के पार्श्वों में, तो दो छोटों के क्षेत्रों का जोड़ बड़े के क्षेत्रफल के बराबर है।

बौधायन प्रमेय, पार्श्वों की लंबाई से संबंधित अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष केस है, कोसाइन की विधि:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},\,}$ 
जहां θ पार्श्वों a और b के बीच का कोण है।
जब θ 90 डिग्री हो, तो Cos(θ) = 0, तो फार्मूला सामान्य बौधायन प्रमेय में बन जाता है।

इस जटिल आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष में दो वेक्टर v और w दिया जाए, तो बौधायन प्रमेय निम्नलिखित रूप ले लेती है:

${\displaystyle \|\mathbf {v} +\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {w} \|^{2}+2\,{\mbox{Re}}\,\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .}$ 

विशेष रूप से,||v + w||² =||v||² +||w||² अगर v और w आयतीय हैं, हालांकि विपर्याय का सच होना ज़रूरी नहीं है।

गणितीय प्रेरण का प्रयोग करके, पिछला परिणाम किसी परिमित संख्या के जोडों में आयतीय वेक्टर तक बढ़ाया जा सकता है। के किसी भी परिमित संख्या को बढ़ाया जा सकता है।v₁, v₂,…, v_n को वेक्टर मानते हैं एक आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष में जिसमें <v_i, vj> = 0 जब 1 ≤ i < j ≤ n.तब

${\displaystyle \left\|\,\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}\,\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$ 

इस अनंत-आयामी को असली आंतरिक उत्पाद स्थान के परिणाम के सामान्यकरण को पार्सेवल की पहचान के रूप में जाना जाता है।

जब ऊपर के प्रमेय वेक्टर के बारे में ठोस ज्यामिति में पुनः लिखा जाता है, तो यह निम्नलिखित प्रमेय बन जाता है। यदि AB और BC रेखाएं B में समकोण बनाते हैं, BC और कद रेखाएं C में समकोण बनाते हैं और अगर CD अधोलंब के अधोलंब है जिसमें AB और BC रेखाएं शामिल है, तो AB, BC और CD की लम्बाई के वर्ग का जोड़ AD के वर्ग के जोड़ के बराबर है। यह प्रमाण तुच्छ है।

तीन आयामों के लिए बौधायन प्रमेय का एक अन्य सामान्यकरण डी गुआ का प्रमेय है, जो जीन पॉल डी गुआ डे माल्व्स के नाम पर रखा गया है: यदि एक टेट्राहेड्रोन में एक समकोण कोन है (एक घन की तरह एक कोने), तो वर्ग का क्षेत्रफल जो समकोण कोने के विपरीत तरफ है वो अन्य तीन तरफ के क्षेत्रों के जोड़े के बराबर है।

चार और अधिक आयामों में इन प्रमेयों के अनुरूप भी हैं .

जिन त्रिकोण में तीन अक्युट कोण होते हैं, α + β > γ होता है। इसलिए, a² + b² > c² होता है।

जिन त्रिकोण में एक ओब्ट्युस कोण होता है, α + β < γ होता है। इसलिए, a² + b² < c² होता है।

एड्स्जर डिजक्स्त्रा ने इस प्रस्ताव को अक्युट, समकोण और ओब्ट्युस त्रिकोण के बारे में इस भाषा में कहा है:

sgn(α + β − γ) = sgn(a² + b² − c²)

जहाँ कोण α पार्श्व a के विपरीत है, कोण β पार्श्व b के विपरीत है और कोण γ पार्श्व c के विपरीत है।

बिना युक्लीडियन ज्यामिति के पायथागॉरियन प्रमेय

युक्लीडियन ज्यामिति के सिद्धांत से पायथागॉरियन प्रमेय से प्राप्त हुआ है, वास्तव में, ऊपर बताए पायथागॉरियन प्रमेय का युक्लीडियन प्रकार बिना युक्लीडियन ज्यामिति के नहीं होता है। (यह वास्तव में यूक्लिड के समांतर (पांचवां) स्वसिद्ध के बराबर दिखाया गया है।) उदाहरण के लिए, गोलीय ज्यामिति में, ओक्टेट से सीमित इकाई क्षेत्र के समकोण त्रिकोण के तीनों पार्श्वों की लंबाई ${\displaystyle \scriptstyle \pi /2}$  के बराबर है; युक्लीडियन पायथागॉरियन प्रमेय का उल्लंघन करती है क्यूंकि ${\displaystyle \scriptstyle \pi /2}$ 

इसका मतलब है की बिना युक्लीडियन प्रमेय में, पायथागॉरियन प्रमेय को युक्लीडियन प्रमेय से एक अलग रूप लेना चाहिए.यहाँ दो मामलों पर विचार करना पड़ेगा- गोलाकार ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण समतल ज्यामिति हैं; हर मामले में, युक्लीडियन मामले की तरह, उचित कोसाइन के नियम से परिणाम निकलता है:

एक गोला जिसकी त्रिज्या R है उसपर कोई भी समकोण त्रिकोण के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय यह रूप लेता है

${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right).}$ 

यह समीकरण कोसाइन के गोलाकार कानून का एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इस कोसाइन समारोह के लिए मैकलौरिन श्रृंखला का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि त्रिज्या R अनन्तता तक पहुंचता है, के रूप में है, पायथागॉरियन प्रमेय का गोलाकार रूप युक्लीडियन रूप तक पहुंचता है।

इस अतिशयोक्तिपूर्ण समतल में किसी भी त्रिकोण के लिए (गौस्सियन वक्रता -1 के साथ), पायथागॉरियन प्रमेय यह रूप लेता है

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b}$ 

जहाँ cosh के अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन है।

इस प्रकार्य के लिए मैकलौरिन श्रृंखला का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि जिस तरह अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण बहुत छोटी हो जात है (अर्थात जब a, b और c शून्य निकटते हैं), पायथागॉरियन प्रमेय का अतिशयोक्तिपूर्ण रूप युक्लीडियन रूप को निकटता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में, एक समकोण त्रिकोण के लिए भी लिखा जा सकता है,

${\displaystyle \sin {\bar {a}}\sin {\bar {b}}=\sin {\bar {c}}}$ 

जहाँ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {a}}}$  रेखा खंड अब की समानता का कोण जो ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {a}}}$  जहाँ μ गुणात्मक दूरी प्रकार्य है (हिल्बर्ट के अंत के अंकगणितीय देखें).

अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोणमिति में, साइन के कोण की समानता संतुष्ट करता है

${\displaystyle \sin {\bar {a}}={\frac {2a}{1+a^{2}}}.}$ 

इस प्रकार, यह समीकरण रूप लेता है

${\displaystyle {\frac {2a}{1+a^{2}}}{\frac {2b}{1+b^{2}}}={\frac {2c}{1+c^{2}}}}$ 

जहाँ a, b, and c समकोण त्रिकोण के पार्श्वों की गणात्मक दूरियाँ हैं (हार्टशोर्न, 2000).

2 से अधिक आयामों में

3 आयामों में अंक { and { के बीच की दूरी √([√((a-d)²+(b-e)²)]²+(c-f)²) = √((a-d)²+(b-d)²+(c-f)²) है और इसी प्रकार 4 या अधिक आयामों के लिए.

जटिल अंकगणितीय में: मान्य नहीं

पायथागॉरस फार्मूला को कार्टीज़इयन निर्देशांक समतल में दो अंकों के बीच की दूरी पता करने के लिए प्रयोग किया जाता है और मान्य है अगर सब निर्देशांक असली हैं: अंक {2+(b-d)²).लेकिन जटिल निर्देशांक के साथ: उदाहरण, अंक { और {i,0} के बीच की दूरी शून्य बनेगी, जिसका परिणाम है रिडाक्शियो एड़ अब्सुर्डम.यह इसलिए है क्योंकि यह फार्मूला पायथागॉरस की प्रमेय पर निर्भर है, जो अपने हस प्रमाण में क्षेत्रफल पर निर्भर है और क्षेत्रफल त्रिकोण पर निर्भर है और अन्य ज्यामितीय आंकडों पर जो अंदर को बहार से अलग करती है, जो मुमकिन नहीं होता अगर निर्देशांक जटिल होते.

 

इस बात पर बहस है कि क्या पाइथागोरस प्रमेय की खोज एक बार, या कई बार हुई थी, और पहली खोज की तारीख अनिश्चित है, जैसा कि पहले प्रमाण की तारीख है। मेसोपोटामिया के गणित के इतिहासकारों ने निष्कर्ष निकाला है कि पाइथागोरस के जन्म से एक हजार साल पहले, पुराने बेबीलोनियन काल (20 वीं से 16 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) के दौरान पाइथागोरस शासन का व्यापक उपयोग था। [69] [70] [71] [72] प्रमेय के इतिहास को चार भागों में विभाजित किया जा सकता है: पाइथागोरस त्रिगुणों का ज्ञान, एक समकोण त्रिभुजों के बीच संबंधों का ज्ञान, निकटवर्ती कोणों के बीच संबंधों का ज्ञान और कुछ समर्पण प्रणाली के भीतर प्रमेय के प्रमाण।

2000 और 1786 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए, मध्य साम्राज्य मिस्र के बर्लिन पपीरस 6619 में एक समस्या शामिल है जिसका समाधान पायथागॉरियन ट्रिपल 6: 8: 10 है, लेकिन समस्या एक त्रिकोण का उल्लेख नहीं करती है। मेसोपोटामियन टैबलेट प्लाम्पटन 322, 1790 और 1750 ईसा पूर्व के बीच हम्मुराबी द ग्रेट के शासनकाल के दौरान लिखा गया था, जिसमें पाइथागोरियन त्रिगुणों से संबंधित कई प्रविष्टियां शामिल हैं।

भारत में, बौधायन सुलबा सूत्र, जिनकी तिथियां 8 वीं और 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच बताई गई हैं, [73] में पाइथोगोरियन त्रिगुणों की एक सूची और पाइथागोरस प्रमेय का विवरण शामिल है, दोनों समद्विबाहु के विशेष मामले में दोनों त्रिभुज और सामान्य मामले में, जैसा कि आपस्तम्बा सुलबा सूत्र (c। 600 ईसा पूर्व) है। Van der Waerden का मानना ​​था कि यह सामग्री "निश्चित रूप से पहले की परंपराओं पर आधारित थी"। कार्ल बोयर कहते हैं कि औलबा-सत्तरम में पाइथागोरस प्रमेय प्राचीन मेसोपोटामियन गणित से प्रभावित हो सकता है, लेकिन इस संभावना के पक्ष या विपक्ष में कोई निर्णायक सबूत नहीं है। [the४]

इस प्रमेय का इतिहास चार भागों में बाँटा जा सकता है: पायथागॉरियन ट्रिपल का ज्ञान, समकोण त्रिकोण पार्श्वों के बीच के रिश्ते का ज्ञान, आसन्न कोण के बीच संबंधों के ज्ञान और प्रमेय के प्रमाण.

मिस्र में बड़े पत्थरों का बना स्मारक लगभग 2500 BC से और उत्तरी यूरोप में, पूर्णांक पार्श्वों के समकोण त्रिकोण शामिल हैं। बार्टेल लीनडर्ट वॉन ड़र वार्डेन का अनुमान है की यह पायथागॉरियन ट्रिपल की खोज बीजीय से हुई है।

2000 और 1786 BC के बीच लिखा गया, मिस्र की मध्यम किंगडम पापिरुस बर्लिन 6619 में एक समस्या शामिल है जिसका समाधान एक पायथागॉरियन ट्रिपल है।

मेसोपोटामिया के नोटबुक प्लिम्प्टन 322, 1790 और 1750 BC में महान हाम्मुरबी के शासनकाल के दौरान लिखा गया था, जिसमें कई प्रविष्टियों शामिल हैं जो पायथागॉरियन ट्रिपल के निकटता से संबंधित.

बौधयानासुल्बा सूत्र, जिसकी विभिन्न तारीक 8 वीं शताब्दी BC और 2 वीं शताब्दी BC के बीच दिए गए हैं, भारत में, जिसमें पायथागॉरियन ट्रिपल की एक सूची शामिल है जिसकी खोज बीजीय से हुई है, पायथागॉरियन प्रमेय का एक बयान और एक समद्विबाहु त्रिकोण

अपास्ताम्बा सुल्बा सूत्र (लगभग 600 BC) में सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय की संख्यात्मक प्रमाण शामिल हैं, एक क्षेत्र संगणना के उपयोग से.वॉन ड़र वार्डेन का विश्वास है "यह निश्चित रूप से पहले के परंपराओं पर आधारित थी"

पायथागॉरस ने, जिसकी तारीखें सामान्यतः 569-475 BC दी गई है, पायथागॉरियन ट्रिपल के निर्माण के लिए बीजीय तरीके का इस्तेमाल करके, यूक्लिड में प्रोक्लोस की कमेंट्री के अनुसार.प्रोक्लोस ने, तथापि, 410 और 485 AD के बीच लिखा था। सर थॉमस एल. हीथ के अनुसार, पायथागॉरस को प्रमेय का कोई रोपण नहीं था पाँच सदियों तक पायथागॉरस के जीवित रहने तक.हालांकि, जब प्लूटार्च और सिसेरौ जैसे लेखकों ने पायथागॉरस को प्रमेय ठहराया, उन्होंने इस तरह से किया जो कि रोपण व्यापक रूप से जाना जाए और निस्संदेह रहे.

400 BC के दौरान, प्रोक्लोस के अनुसार, प्लेटो ने पायथागॉरियन ट्रिपल को खोजने की एक विधि दी जिसे बीजगणित और ज्यामिति संघटित हुआ। लगभग 300 BC, यूक्लिड के "तत्वों" में, प्रमेय का सबसे पुराना वर्तमान सिद्धांतों वाला प्रमाण पेश किया गया था।

कुछ समय 500 BC और 200 AD के बीच लिखा गया था, चीनी पाठ चौ पी सुअन चिंग (周髀算经), (ग्नोमोन के अंकगणितीय शास्त्रीय और स्वर्ग का परिपत्र रास्ता) पायथागॉरियन प्रमेय का एक दृश्य प्रमाण देता है - चीन में इसे "गौगु प्रमेय" कहा जाता है (勾股定理) — त्रिकोण (3, 4, 5) के लिए.हान राजवंश के दौरान, 202 BC से 220 AD तक, पायथागॉरियन ट्रिपल को गणितीय कला के नौवें अध्याय में देखा गया है, समकोण त्रिकोण के एक उल्लेख के साथ.

चीन में पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग है, जो "गौगु प्रमेय" (勾股定理) के नाम से जाना जाता है, भारत में भास्कर प्रमेय के नाम से जाना जाता है।

काफी बहस है की क्या पायथागॉरियन प्रमेय की खोज एक या कई बार हुई थी। बोयर (1991) का सोचना है की शुल्बा सूत्र में पाए गए तत्व मेसोपोटामिया व्युत्पत्ति के हो सकते हैं।

पायथागॉरियन प्रमेय पूरे इतिहास में कई किस्म की मास मीडिया में संदर्भित है।

• मेजर-जनरल के संगीत का एक पद्य गिलबर्ट और सुलिवेन संगीतिक पेनज़ैन्स के समुद्री डाकू, "द्विपद प्रमेय के बारे में मैं बहुत से समाचार से भरा हुआ हूँ, कर्ण के वर्ग के कई हंसमुख तथ्यों के साथ", प्रमेय के तिरछा संदर्भ के द्वारा.
• [[विज़र्ड ऑफ़ ओज़ (1939 फ़िल्म)|विज़र्ड ऑफ़ ओज़]] का बिजूखा इस प्रमेय का एक और अधिक विशिष्ट संदर्भ बनाता है जब उसे जादूगर से डिप्लोमा प्राप्त होता है। उसने तुरंत अपने "ज्ञान" प्रदर्शन एक वध और गलत संस्करण पढ़ने के द्वारा: "एक समद्विबाहु त्रिकोण के किसी भी दो पार्श्वों के वर्ग जड़ों का जोड़ शेष पार्श्वों के वर्ग जड़ों के बराबर है। ओह, आनन्द, ओह, उमंग.मुझेमें दिमाग है

! "बिजूखा द्वारा प्रदर्शित "ज्ञान" गलत है। सही बयान "एक समकोण त्रिकोण के पैरों के वर्गों का जोड़ बाकी पार्श्वों के वर्ग के बराबर हैं" होता.

• द सिंपसन्स के एक प्रकरण में, हेनरी किसिंजर के चश्मे को स्प्रिंगफील्ड में परमाणु ऊर्जा संयंत्र के शौचालय में ढूँढने के बाद, होमर उन्हें पहनता है और उद्धरण करता है ओज़ बिजूखा के सूत्र का वध संस्करण.पास में एक शौचालय दुकान में एक आदमी रोकता है और चिलाता है "यह एक समकोण त्रिकोण है, बेवकूफ

! "(वर्ग जड़ों के बारे में टिप्पणी कभी सही नहीं हुआ।)

• इसी तरह, Apple MacBook की भाषण सॉफ्टवेयर बिजूखा के गलत बयान को संदर्भित करता है। यह भाषण का नमूना है जब आवाज सेटिंग राल्फ को चुना जाता है।
• संगतराशों में, विगत के मास्टर का एक प्रतीक यूक्लिड के 47 प्रस्ताव से एक चित्र है, पायथागॉरियन प्रमेय के यूक्लिड के प्रमाण में प्रयुक्त.राष्ट्रपति गारफील्ड एक संगतराश थे।
• 2000 में, युगांडा ने एक समकोण त्रिकोण के आकार का एक सिक्का जारी किया। सिक्के की पूँछ में पैथागोरस और पायथागॉरियन प्रमेय का चित्रण था, "पायथागॉरस मिलेनियम" के उल्लेख के साथ. ग्रीस, जापान, सैन मैरिनो, सियरा लेओन और सूरीनाम डाक टिकट जारी किए हैं पायथागॉरस और पायथागॉरियन प्रमेय के चित्रण के साथ.
• नील स्टीफेनसन के विचारवान कल्पना ऐनथम में, पायथागॉरियन प्रमेय को "अड्राखोनिक प्रमेय" के रूप में संदर्भित किया गया है। इस प्रमेय का एक ज्यामितिक प्रमाण एक विदेशी जहाज की एक तरफ गणित की उनकी समझ प्रदर्शित करने के लिए प्रदर्शित किया।

• पायथागॉरियन प्रमेय (कट-डी-नॉट से 70 से अधिक प्रमाण)
• इंटरैक्टिव लिंक:
  • जावा में पायथागॉरियन प्रमेय का इंटरएक्टिव प्रमाण
  • [1]जावा में पायथागॉरियन प्रमेय का एक और इंटरएक्टिव प्रमाण
  • इंटरैक्टिव एनीमेशन के साथ पायथागॉरियन प्रमेय
  • एनिमेटेड, अनि-बीजीय और उपयोगकर्ता-गति में पायथागॉरियन प्रमेय
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Pythagorean theorem
• पायथागॉरियन प्रमेय और समकोण त्रिकोण के फ़ार्मुले