Dr Satz Vom Pythagoras

Er säit, ass in alle ebene rächtwingglige Dreiegg d Summe vo de Flechiinhalt vo de Kathetekwadrat gliich grooss wie dr Flechiinhalt vom Hypotenusekwadrat isch. Wenn ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ d Lengene vo de Site si, wo dr rächt Winggel usmache, das si d Kathete, und ${\displaystyle c}$ d Lengi vo dr Site, wo wisawii vom rächte Winggel lit, das isch dHypotenuse, denn lutet dr Satz usdruggt as Gliichig:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Dr Satz isch noch em Pythagoras vo Samos benennt, wo mä von em verzelt, ass er as Erster e mathematische Bewiis drfür gfunde häig. Das isch in dr Forschig umstritte. D Ussaag vom Satz isch scho lang vor dr Zit vom Pythagoras z Babylon und Indie bekannt gsi. Es git aber käi Noochwiis drfür, ass mä dört au e Bewiis gha het.

Es git Hunderti vo Bewiis für dä Satz. Doo wärde nume äi geometrische und äi algebraische Bewiis daargstellt.

 

In e Kwadrat mit dr Sitelengi ${\displaystyle a+b}$  wärde vier gliichi (kongruänti) rächtwinggligi Dreiegg mit de Site ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  und ${\displaystyle c}$  (Hypotenuse) iinw gläit. Das cha mä uf zwäi Arte mache, wie mä s im Diagramm cha gsee.

D Flechene vom lingge und vom rächte Kwadrat si gliich grooss (Sitelengi ${\displaystyle a+b}$ ). S linggee bestoot us de vier rächtwingglige Dreiegg und eme Kwadrat mit ere Sitelengi ${\displaystyle c}$ , s rächte us de gliiche Dreiegg und eme Kwadrat mit ere Sitelengi ${\displaystyle a}$  und eme zwäite Kwadrat mit dr Sitelengi ${\displaystyle b}$ . D Flechi ${\displaystyle c^{2}}$  entspricht also dr Summe vo dr Flechi ${\displaystyle a^{2}}$  und dr Flechi ${\displaystyle b^{2}}$ , also

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .

 

En algebraischi Löösig git s us em linggen Bild. S groosse Kwadrat het e Sitelengi ${\displaystyle a+b}$ , und eso e Flechi vo ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ . Zieht mä vo dere Flechi die vier Dreiegg ab, wo jedes von ene e Flechi vo ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}}$  (also im Ganze ${\displaystyle 2ab}$ ) het, so blibt d Flechi ${\displaystyle c^{2}}$  übrig. Es isch also

${\displaystyle (a+b)^{2}=2ab+c^{2}}$ .

Us dr Uflöösig vo dr Chlammere folgt

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}$ .

Wemm mä jetz uf bäide Site ${\displaystyle 2ab}$  abziet, blibt dr Satz vom Pythagoras übrig.

• Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994. ISBN 3-86025-669-6
• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2, S. 114–118
• Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000. ISBN 3-7643-6189-1, S. 47–76
• Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press 2007, ISBN 0-691-12526-0
• Alfred S. Posamentier: The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. Prometheus Books 2010, ISBN 978-1-61614-181-3

  Commons: Satz des Pythagoras – Sammlig vo Multimediadateie

• Geometrischi Bewiis für e Satz vom Pythagoras (Video)
• Bewiissammlig für e Satz vom Pythagoras(änglisch)
• Java-Applets (änglisch)
• Interaktivs Leerbrogramm mit Bewiis, Ufgoobe und vile Lingg
• Eric W. Weisstein: Pythagorean theorem. In: MathWorld (änglisch). (mit verschiidene Bewiis)