Den pythagoræiske læresætning beskriver forholdet mellem sidelængderne i en retvinklet trekant.
Det er en af de grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri. Den siger, at i alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat lig hypotenusens kvadrat. Sætningen kan også udtrykkes som ligning, idet kateternes længder benævnes og og hypotenusens benævnes , ligesom på illustrationen:
Det er derfor muligt at beregne en sidelængde i en retvinklet trekant, når de to andre sidelængder er kendte. Fx findes hypotenusen ved at tage kvadratroden af summen af og s kvadrater, altså
Læresætningen er opkaldt efter Pythagoras. Princippet var velkendt både for egyptere og babylonere længe før Pythagoras' tid, når det gjaldt en trekant med målene 3, 4 og 5; men Pythagoras beviste, at princippet gjaldt i alle tilfælde.
Sæt af heltalige løsninger til den pythagoræiske læresætning kaldes pythagoræiske tal.
Der findes flere måder at bevise den pythagoræiske læresætning på.
Det omskrevne kvadrat har arealet:
Det samme areal kan beregnes som summen af arealerne af de fire trekanter og arealet af det indskrevne kvadrat:
Disse to forskellige udtryk for det samme areal sættes lig hinanden:
Denne ligning reduceres til:
Hermed er sætningen bevist.
Fra billedet . Og ved at erstatte ligninger (1) og (2):
Mangedobling for c:
Der findes imidlertid også en udvidet pythagoræisk læresætning, som gælder for alle trekanter, ikke kun de retvinklede. Denne kaldes cosinusrelationen. Den kaldes den udvidede Pythagoras, da den for det første i sin opbygning minder meget om Pythagoras' læresætning og desuden er beviset for sætningen baseret herpå.
Cosinusrelationerne er givet ved
hvor er vinklen mellem linjerne og . Her er det lige meget hvilke af siderne der benævnes med , og .
Den omvendte sætning af den pythagoræiske læresætning er også sand. Det vil sige at hvis længden af siderne i en trekant opfylder: : , så er vinkel C en ret vinkel, og derfor er trekanten retvinklet.
This article uses material from the Wikipedia Dansk article Den pythagoræiske læresætning, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Indholdet er udgivet under CC BY-SA 4.0 medmindre andet er angivet. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Dansk (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.