Trougao: Osnovni trostrani oblik u geometriji

Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao ${\displaystyle \triangle ABC}$. Zbir svih unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180°.

Trouglovi se mogu razlikovati na osnovu dužina stranica, odnosno njihovom međusobnom odnosu kao i veličini unutrašnjih uglova.

Prema unutrašnjim uglovima

Pravougli trougao

Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
Obim je
${\displaystyle O=a+b+c}$ 
Površina je
${\displaystyle P={\frac {ab}{2}}={\frac {ch_{c}}{2}}}$ 

Prečnik opisanog kruga: ${\displaystyle R=2t_{c}=c}$ 

Tupougli trougao

Tupougli trougao je trougao kod kojeg je jedan unutrašnji ugao veći od 90 stepeni i taj ugao se naziva (tupi ugao).

Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manja od 90 stepeni (kosi uglovi).

•  
  Pravougli trougao
•  
  Tupougli trougao
•  
  Oštrougli trougao

Osim uglova, trouglovi se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

Prema stranici i njihovom međusobnom odnosu

Jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =60^{o}}$ 
${\displaystyle a=b=c}$ 
Obim ${\displaystyle O=3a}$ 
Površina ${\displaystyle P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}}$ 
Visina ${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$ 
Poluprečnik opisanog kruga ${\displaystyle R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}}$ 
Poluprečnik upisanog kruga ${\displaystyle r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}}$ 

Jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Iste stranice jednakokrakog trougla nazivaju se kraci a preostala stranica je osnovica. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla.

${\displaystyle \alpha \neq \beta =\gamma }$ 
${\displaystyle a\neq b=c}$ 
Obim ${\displaystyle O=a+2b}$ 
Površina je ${\displaystyle P={\frac {ah_{a}}{2}}={\frac {bh_{b}}{2}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}$ 
Visina ${\displaystyle h_{a}^{2}=b^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}$ 

Raznostranični trougao

Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također različiti.

${\displaystyle \alpha \neq \beta \neq \gamma }$ 
${\displaystyle a\neq b\neq c}$ 
Poluprečnik opisamog kruga ${\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$ 

•  
  Jednakostranični trougao
•  
  Jednakokraki trougao
•  
  Raznostranični trougao

Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

${\displaystyle O=a+b+c}$ 

Obim jednakokrakog trougla je

${\displaystyle O=a+2b}$ 

Obim istostraničnog trougla je

${\displaystyle O=3a}$ 

• Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.

P = (b·h)/2,

 

Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): ${\displaystyle P=\scriptstyle {\sqrt {(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))}}}$  gdje je ${\displaystyle s}$  poluobim trougla; ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$ 

${\displaystyle P={\frac {abc}{4R}}=rs}$ 
${\displaystyle P={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ac\sin \beta }{2}}}$ 
Neka su date koordinate vrhova trougla ${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ , ${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ ,${\displaystyle C(x_{3},y_{3})}$  površina trougla je
${\displaystyle P={\frac {(x_{2}-x_{1})(y_{2}+y_{1})+(x_{3}-x_{2})(y_{3}+y_{2})+(x_{1}-x_{3})(y_{1}+y_{3})}{2}}}$ 

• Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{o}}$ .

Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma veća ili manja od 180 °;

Zbir spoljašnjih uglova iznosi ${\displaystyle 360^{o}\,}$ .
${\displaystyle \alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1}=360^{o}}$ .
Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha =180^{o}}$ 
${\displaystyle \beta _{1}+\beta =180^{o}}$ 
${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma =180^{o}}$ 
Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.
${\displaystyle \alpha _{1}=\beta +\gamma }$ 
${\displaystyle \beta _{1}=\alpha +\gamma }$ 
${\displaystyle \gamma _{1}=\alpha +\beta }$ 

• Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine treće stranice, a razlika manja.
• Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ 

• U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}}$ 

Centar opisane kružnice trougla ${\displaystyle O_{o}}$  nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je
${\displaystyle R=O_{o}A=O_{O}B=O_{o}C}$ 
Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.

Centar upisane kružnice trougla ${\displaystyle O_{u}}$  nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je
${\displaystyle r=O_{u}P}$ 

Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla
${\displaystyle t_{a}\cap t_{b}\cap t_{c}=T}$ 
${\displaystyle TA=2TA_{1}}$ 
${\displaystyle TB=2TB_{1}}$ 
${\displaystyle TC=2TC_{1}}$ 

Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla
${\displaystyle h_{a}\cap h_{b}\cap h_{c}=H}$ 

Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}=k}$ ; ${\displaystyle \measuredangle \alpha =>\measuredangle \alpha _{1}=>}$  :${\displaystyle \vartriangle {ABC}\sim \vartriangle {A_{1}B_{1}C_{1}}}$ 
Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična
${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}={\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}=k=>}$ ; <${\displaystyle \vartriangle {ABC}\sim \vartriangle {A_{1}B_{1}C_{1}}}$ 
Ako se stranice dva slična trougla odnose kao :${\displaystyle m:n}$  tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :${\displaystyle O:O_{1}=m:n}$ , a površine se odnose kao :${\displaystyle P:P_{1}=m^{2}:n^{2}}$ .
Ako je dužina hipotenuze ${\displaystyle c=p+q}$  onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo
${\displaystyle a^{2}=qc}$ 
${\displaystyle b^{2}=pq}$ 
${\displaystyle {h_{c}}^{2}=pq}$ 

Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  i ${\displaystyle B_{1}B_{2}B_{3}}$  su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je ${\displaystyle {\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}={\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}}$ 

Dokaz

${\displaystyle \triangle A_{1}A_{2}A_{3}\sim \triangle B_{1}B_{2}B_{3}}$  onda i samo onda ako je ${\displaystyle A_{1}A_{2}/A_{1}A_{3}=B_{1}B_{2}/B_{1}B_{3}}$ 

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{3}-b_{1}}}\end{vmatrix}}}$  i ${\displaystyle arg{\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}=arg{\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}}$ 

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa

${\displaystyle {\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}={\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}}$ 

Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=0}$ 

Lako je provjeriti da za trouglove ${\displaystyle A_{1}(0)}$ , ${\displaystyle A_{2}(1)}$ , ${\displaystyle A_{3}(2i)}$  i ${\displaystyle B_{1}(0),B_{2}(-i),B_{3}(-2)}$  ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.

Ako su tjemena ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$  trougla ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  određena su kompleksnim brojevima ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$  respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:

1. ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  je jednakostraničan trougao
2. ${\displaystyle \mid z_{1}-z_{2}\mid =\mid z_{2}-z_{3}\mid =\mid z_{3}-z_{1}\mid }$ 
3. ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{2}z_{1}+z_{3}z_{1}}$ 
4. ${\displaystyle {\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z-1}}={\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z-2}}}$ 
5. ${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{1}}}+{\frac {1}{z-z_{2}}}+{\frac {1}{z-z_{3}}}=0}$  gdje je ${\displaystyle z={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}}}$ 
6. (z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za ${\displaystyle \epsilon =\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}}$ 
7. ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\\z_{2}&z_{3}&z_{1}\end{vmatrix}}=0}$ 

Ako su tjemena ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$  pozitivno orjentisanog trougla ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  sljedeća tvrđenja su ekvivalentna

1. ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  je jednakostraničan trougao
2. ${\displaystyle z_{3}-z_{1}=\epsilon (z_{2}-z_{1})}$  za ${\displaystyle \epsilon \cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}}$ 
3. ${\displaystyle z_{2}-z_{1}=\epsilon (z_{3}-z_{1})}$  za ${\displaystyle \epsilon \cos {\frac {5\pi }{3}}+i\sin {\frac {5\pi }{3}}}$ 
4. ${\displaystyle z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3}=0}$ 

• Kosinusni teorem
• Sinusni teorem
• Tangensni teorem
• Pedoeova nejednakost
• Pitagorina teorema
• Pravougli trougao

  Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.