Kolmnurk

Eukleidilises ruumis on kolmnurk määratud kolme punktiga, mis ei asu ühel ja samal sirgel. Neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud. Neid sirglõike nimetatakse kolmnurga külgedeks.

Osutub, et kolmnurk asub ühel tasandil: tegemist on tasapinnalise kujundiga. Kolmnurga defineerimisel võib ka kohe tingimuseks seada, et kolmnurga tipud oleksid ühel tasandil.

Mõnikord loetakse kolmnurka kuuluvaks ka kolmnurga tippudega määratud tasandi osa, mis on piiratud kolmnurga külgedega. Sel juhul kuulub selle tasandi punkt kolmnurka siis ja ainult siis, kui ta asub mõnel sirglõigul, mis ühendab kaht punkti, millest kumbki asub selle kolmnurga mõnel küljel.

Kolmnurga nurgad

 

Igas kolmest tipust moodustavad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks.

Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk π radiaani (π rad).

Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega α, β ja γ. Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega γ ning teravnurki tähtedega α ja β.

Kolmnurga sisenurga kõrvunurka nimetatakse kolmnurga välisnurgaks. Välisnurga moodustab kolmnurga üks külg ja teise külje pikendus. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga.

Kolmnurga küljed

Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki.

Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest. Kolmnurga külgi tähistatakse tavaliselt tähtedega a, b ja c. Samuti võib neid tähistada kahe suurtähega (AB, BC ja AC): näiteks külg AB ühendab tippe A ja B.

 

Kolmnurga ümberringjoon

Kõikidele kolmnurkadele saab joonestada ringjoone, millel asetsevad kolmnurga tipud. Sellist ringjoont nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Ümberringjoone keskpunkt on kolmnurga külgi poolitavate ristsirgete (kolmnurga keskristsirgete) lõikepunkt.

Nurkade järgi

Täisnurkne kolmnurk

  Pikemalt artiklis Täisnurkne kolmnurk

 

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = π/2 rad. Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on kaatetid ja ülejääv külg on hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse tavaliselt tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b.

Hüpotenuus on alati pikem mõlemast kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga.

Vastavalt Pythagorase teoreemile võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga.

Teravnurkne kolmnurk

  Pikemalt artiklis Teravnurkne kolmnurk

Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi.

Nürinurkne kolmnurk

  Pikemalt artiklis Nürinurkne kolmnurk

Nürinurkse kolmnurga üks nurk on suurem kui 90 kraadi.

Kaldnurkne kolmnurk

Nüri- ja teravnurkseid kolmnurki nimetatakse mõnikord kaldnurkseteks kolmnurkadeks.

Külgede järgi

Võrdhaarne kolmnurk

  Pikemalt artiklis Võrdhaarne kolmnurk

 

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarse kolmnurga haaradeks nimetatakse kahte võrdset külge ja aluseks kolmandat külge. Tipunurgaks nimetatakse selle kolmnurga kahe võrdse külje vahelist nurka. Võrdhaarse kolmnurga kaht teist nurka nimetatakse alusnurkadeks. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.

Võrdkülgne kolmnurk

  Pikemalt artiklis Võrdkülgne kolmnurk

 

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti võrdse suurusega 60° = π/3. Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk.

Nagu igasse korrapärasesse hulknurka, nii ka võrdkülgsesse kolmnurka joonistatud siseringjoone raadius võrdub apoteemiga. Võrdkülgse kolmnurga apoteemi pikkus on umbes 0,289 külje pikkust ${\displaystyle (a*{\sqrt {3}}/6)}$ , kus a on külje pikkus. Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone raadius on 2 korda suurem: umbes 0,577 külje pikkust ${\displaystyle (a*{\sqrt {3}}/3)}$ . Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole.

Erikülgne kolmnurk

 

Erikülgne kolmnurk on kolmnurk, millel kõik küljed on erineva pikkusega. Erikülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti erineva suurusega.

• Lihtsaim valem kolmnurga pindala arvutamiseks on

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah,}$ 

kus a on kolmnurga alus ja h selle kõrgus.

• Kolmnurga pindala siseringjoone raadiuse ja ümbermõõdu järgi:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}rP=rp,}$ 

kus r on kolmnurga siseringjoone raadius, P kolmnurga ümbermõõt ning p pool kolmnurga ümbermõõtu: ${\displaystyle p={\tfrac {P}{2}}={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$ 

• Kolmnurga pindala külgede (a,b,c) ja ümberringjoone raadiuse (R) järgi:

${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$ 

• Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ac\sin \beta }$ 

• Kolmnurga pindala ühe külje ja selle lähinurkade järgi:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}}={\frac {b^{2}}{2(\cot \alpha +\cot \gamma )}}={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin \gamma )}{2\sin(\alpha +\gamma )}}={\frac {c^{2}}{2(\cot \alpha +\cot \beta )}}={\frac {c^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )}{2\sin(\alpha +\beta )}}}$ 

• Kolmnurga pindala kolme külje järgi, e Heroni valem:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$ 

kus a, b ja c on kolmnurga külgede pikkused ning p pool kolmnurga ümbermõõtu: ${\displaystyle p={\tfrac {P}{2}}={\tfrac {a+b+c}{2}}}$ .

• [1] interaktiivne animatsioon erinevate kolmnurkade ja nende ümberringjoonte kohta

Tsitaadid Vikitsitaatides: Kolmnurk