Трыкутнік: геамэтрычная фігура

Інакш кажучы, трыкутнік — найпрасьцейшы шматкутнік, які мае 3 вяршыні і 3 бакі.

Вяршыні трыкутніку звычайна пазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні кутоў пры адпаведных вяршынях — грэцкімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні супрацьлеглых бакоў — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трыкутнік зьяўляецца шматграньнікам і 2-сымплексам. У эўклідавай геамэтрыі трыкутнік адназначна задае роўніцу. Усе трыкутнікі двухмерныя.

Віды трыкутнікаў паводле велічыні кутоў
Вастракутны	Тупакутны	Прастакутны

Паводле велічыні кутоў

Паколькі сума кутоў трыкутніку роўная 180°, то ня менш за два куты ў трыкутніку маюць быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трыкутнікаў:

• Калі ўсе куты трыкутніку вострыя, то трыкутнік завецца вастракутным;
• Калі адзін з кутоў трыкутніку тупы (большы за 90°), то трыкутнік завецца тупакутным;
• Калі адзін з кутоў трыкутніку просты (роўны 90°), то трыкутнік завецца прастакутным. Два бакі, што ўтвараюць просты кут, завуцца катэтамі, а бок, супрацьлеглы простаму куту, завецца гіпатэнузай.

Віды трыкутнікаў паводле колькасьці роўных бакоў
Рознабаковы	Раўнаплечы	Роўнабаковы

Паводле колькасьці роўных бакоў

• Рознабаковым завецца трыкутнік, у якога даўжыні трох бакоў парамі розныя.
• Раўнаплечым завецца трыкутнік, у якога два бакі роўныя. Гэтыя бакі завуцца бочнымі, трэці бок завецца асновай. У раўнаплечым трыкутніку куты пры аснове роўныя. Вышыня, мэдыяна і раўнасечная раўнаплечага трыкутніку, апушчаныя на аснову, супадаюць.
• Роўнабаковым завецца трыкутнік, у якога ўсе тры бакі роўныя. У роўнабаковым трыкутніку ўсе куты роўныя 60°, а цэнтры умежанай і акрэсьленай акружынаў супадаюць.

Бакі трыкутніку нельга задаваць адвольна, іх зьвязваюць наступныя няроўнасьці

• ${\displaystyle a$ 
• ${\displaystyle b$ 
• ${\displaystyle c$ 

У выпадку выкананьня роўнасьці ў адным зь іх трыкутнік завецца звыродным, далей усюды мяркуецца незвыродны выпадак.

Трыкутнік адназначна (з дакладнасьцю да кангруэнтнасьці) можна вызначыць па наступных тройках асноўных элемэнтаў:

• a, b, c (роўнасьць паводле трох бакоў);
• a, b, γ (роўнасьць паводле двух бакоў і куту паміж імі);
• a, β, γ (роўнасьць паводле бока і двух прылеглых кутоў).

Акружына, датычная ўсіх трох бакоў трыкутніку, завецца яго ўмежанай акружынай. Яна адзіная. Акружына, якая праходзіць праз усё тры вяршыні трыкутніку, завецца яго акрэсьленай акружынай. Акрэсьленая акружына таксама адзіная.

Мэдыянай трыкутніку, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адцінак, які злучае гэтую вяршыню зь сярэдзінай супрацьлеглага боку. Усе тры мэдыяны трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт перасячэньня завецца цэнтроідам або цэнтрам цяжару трыкутніку. Апошні назоў зьвязаны з тым, што ў трыкутніку, зробленага з аднастайнага матэрыялу, цэнтар цяжару знаходзіцца ў пункце перасячэньня мэдыянаў. Цэнтроід падзяляе кожную мэдыяну ў стасунку 1:2, калі лічыць ад асновы мэдыяны.

Пэрпэндыкуляр, апушчаны зь вяршыні трыкутніку на супрацьлеглы бок або яго працяг, завецца вышынёй трыкутніку. Тры вышыні трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце, які называецца артацэнтрам трыкутніку.

Раўнасечнай трыкутніку, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адцінак, які злучае гэтую вяршыню з пунктам на супрацьлеглым боку і якая дзеліць кут пры дадзенай вяршыні напалову. Раўнасечныя трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам умежанай акружыны.

Як было зазначана, у роўнабаковым трыкутніку раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Дакладна і зваротнае: калі раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трыкутнік роўнабаковы. Калі трыкутнік рознабаковы, то для любой яго вяршыні раўнасечная, праведзеная зь яе, ляжыць паміж мэдыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Пасярэднія пэрпэндыкуляры да бакоў трыкутніку таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам акрэсьленай акружыны.

Пазаўмежанай акружынай завецца акружына, датычная аднаго боку трыкутніку і працягу двух іншых бакоў.

Сярэдзіны трох бакоў трыкутніку, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адцінкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружыне, якая завецца акружынай дзевяці пунктаў.

У любым трыкутніку цэнтар цяжару, артацэнтар, цэнтар акрэсьленай акружыны і цэнтар акружыны дзевяці пунктаў ляжаць на адной простай лініяй, якая называецца простай Ойлера.

Калі вядомыя тры велічыні, паказаныя вышэй, то астатнія можна знайсьці па наступных формулах:

Тэарэма сынусаў

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}$ 

(З тэарэмы выцякае, што калі a < b < c, то α < β < γ)

Тэарэма косынусаў

c² = a² + b² — 2ab cos γ

(Зьяўляецца абагульненьнем тэарэмы Пітагора)

Тэарэма пра суму кутоў трыкутніку

α + β + γ = 180° (π)

Іншыя суадносіны

Мэтрычныя суадносіны ў трыкутніку прыведзеныя для трыкутніку ${\displaystyle \triangle ABC}$ :

1. ${\displaystyle {a \over b}={a_{L} \over b_{L}}}$ 
2. ${\displaystyle l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L}}}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$ 
3. ${\displaystyle m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$ 
4. ${\displaystyle h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c}}}$ 
5. ${\displaystyle \ d^{2}=R^{2}-2Rr}$  — формула Ойлера
6. ${\displaystyle {\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1}$ 

Дзе:
${\displaystyle \ l_{a},l_{b},l_{c}}$  — адпаведна раўнасечныя кутоў ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  і ${\displaystyle C}$ ,
${\displaystyle \ a_{L},b_{L}}$  — адцінкі, на якія раўнасечная ${\displaystyle \ l_{c}}$  дзеліць бок ${\displaystyle \ c}$ ,
${\displaystyle \ m_{a},m_{b},m_{c}}$  — мэдыяны, праведзеныя адпаведна да бакоў ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  і ${\displaystyle c}$ ,
${\displaystyle \ h_{a},h_{b},h_{c}}$  — вышыні, апушчаныя адпаведна на бакі ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  і ${\displaystyle c}$ ,
${\displaystyle \ r}$  — радыюс умежанай акружынай,
${\displaystyle \ R}$  — радыюс акрэсьленай акружынай,
${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$  — напаўпэрымэтар,
${\displaystyle \ S}$  — плошча,
${\displaystyle \ d}$  — адлегласьць паміж цэнтрамі ўмежанай і акрэсьленай акружынаў.

Найвядомейшая й найпрасьцейшая формула:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh_{b}}$ 

Дзе:

${\displaystyle \ b}$  — даўжыня асновы трыкутніку (бок, на які праведзены пэрпэндыкуляр)
${\displaystyle \ h_{b}}$  — вышыня, праведзеная на бок ${\displaystyle \ b}$ ,

Гэтая формула можа быць выкарыстана толькі тады, калі можна лёгка знайсьці вышыню.

 

Трыганамэтрычны спосаб

Вышыню трыкутніку можна вызначыць з выкарыстаньнем трыганамэтрычных формулаў. У адпаведнасьці з пазначэньнямі на выяве леваруч, вышыня роўная ${\displaystyle \ h_{b}=a\sin \gamma }$ . Калі падставіць вышыню ў формулу ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh_{b}}$  якая прыведзеная вышэй, атрымаем:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta .}$ 

Апроч гэтага, ${\displaystyle \ sin\alpha =sin(\pi -\alpha )=sin(\beta +\gamma )}$ , што справядліва і для іншых двух кутоў:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}$ 

З выкарыстаньнем вэктараў

Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вэктараў. Няхай вэктары AB і AC спраставаны адпаведна ад A да B і ад A да C. Тады плошча паралелаграма ABDC роўная |AB × AC|, г.зн. лічбаваму значэньню вэктарнаму множаньню AB і AC. |AB × AC| роўнае |h × AC|, дзе h — вышыня паралелаграма як вэктар.

Плошча трыкутніку ABC роўная палове плошчы паралелаграма S = ½|AB × AC|.

Плошчу трыкутніку ABC таксама можна вылічыць як скалярнае множаньне вэктараў.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}\,.}$ 

Выкарыстаньне каардынатаў

Калі пункт А разьмешчаны ў пункце адліку (0, 0) Дэкартавай каардынатнай сыстэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B = (x_B, y_B) і C = (x_C, y_C), тады плошча S можа быць вылічана як ½ абсалютнага значэньня дэтэрмінанту:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$ 

У больш агульным выпадку:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.}$ 

У трохмернай прасторы плошча трыкутніку {A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) і C = (x_C, y_C, z_C)} роўная Пітагоравае суме адпаведных праекцыяў на тры галоўныя роўніцы (для якіх x = 0 або y = 0 або z = 0):

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.}$ 

Формула Герона

Форма трыкутніку адназначна вызначаецца трыма бакамі. Адпаведна, для таго каб падлічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыню бакоў. Паводле формулы Герона:

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ 

де s = ½ (a + b + c) — напаўпэрымэтар

Іншы спосаб запісу формулы Герона:

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.}$ 

Іншыя формулы

1. ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr=(p-b)r_{b}}$ 
2. ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}}$ 
3. ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}}$ 
4. ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}$ 
5. ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}[x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})]}$  у дадзенай формуле варта зьвярнуць увагу на абыход вяршыняў, калі ісьці паводле гадзіньнікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
6. ${\displaystyle S_{\triangle ABC}=r^{2}+2rR}$  — для прастакутнага трыкутніку

Дзе:

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$  — напаўпэрымэтар,
${\displaystyle \ r}$  — радыюс умежанае акружыны,
${\displaystyle \ r_{b}}$  — радыюс пазаўмежанае акружыны, датычны боку ${\displaystyle \ b}$ ,
${\displaystyle \ R}$  — радыюс акрэсьленае акружыны,
${\displaystyle \ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})}$  — каардынаты вяршыняў трыкутніку.

• Тэарэма пра суму кутоў трыкутніку
• Тэарэма сынусаў
• Тэарэма косынусаў
• Формула Герона
• Выбітныя пункты трыкутніку
• Сярэдняя лінія трыкутніку